對兩類具有無窮時滯的非稠脈沖中立型隨機微分方程解存在性的對比研究

侯婷婷

摘要：本文主要針對兩類具有無窮時滯的非稠脈沖中立型隨機泛函微分方程解的存在性證明方法進行對比研究.通過對方程的對比，約束條件的對比，以及證明方法的對比，進一步加深對Sadovskii不動點原理和逐漸逼近法地認識.

關鍵詞：隨機泛函微分方程；脈沖方程；fBm運動；非稠定算子

對比發(fā)現(xiàn)：從整體上來看，方程（1）中的約束條件更具體，更詳細.先是對f，g的對比，我們發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)都是被一個非降的連續(xù)函數(shù)來控制他們的上界，這就為接下來證明連續(xù)性做好了鋪墊.之后是函數(shù)σ（·），因為函數(shù)變量地減少，使得其范數(shù)在文獻[2]中可以直接被正數(shù)L控制.最后是方程（1）中的條件（H5）和（H6），兩者都是對函數(shù)列Ik，的約束，但是，兩個條件并不是同時成立.也正是因為約束的標準不一樣，所以在接下來的證明過程中[1]體現(xiàn)了兩種不一樣的證明思路.

而較之方程（1），方程（2）的條件從整體上來看則較為簡練，對函數(shù)f，g的約束則更為直接.其中函數(shù)f直接被一個不增的緊函數(shù)H所控制，函數(shù)g則更為直接地省略掉一個放縮條件；方程條件的不同直接決定了在接下來證明解的存在性過程中所采用的證明方法也不盡相同.

2.3 證明方法不同

根據(jù)約束條件，方程（1）的證明用的是Sadovskii不動點原理，之后通過定理（3.1）和定理（3.2）分別說明了解的存在性.但是對比這兩個定理會發(fā)現(xiàn)兩者有著異曲同工之妙.同的是都是利用不動點原理，所以基本思路和證明方法一樣；不同的是，正是因為函數(shù)列Ik，的不同，在[1]中定理（3.1）用的是條件（H1）-（H5），而定理（3.2）用的是條件（H1）-（H4）和（H6），Ik的不同導致在同一個算子Φ的作用下，在定理（3.1）中被作為壓縮算子來證明，而在定理（3.2）中被作為全連續(xù)算子來證明.由此可見約束條件的重要性：即便是對同一函數(shù)的約束，因為約束條件的不同，最終也會導致證明過程出現(xiàn)極大不同.更不用說，當函數(shù)f，g以及σ都不同時，這會直接決定證明方法出現(xiàn)本質地改變.

方程（2）則是利用逐漸逼近法來證明該系統(tǒng)解的存在性.因為函數(shù)f，g不再被連續(xù)函數(shù)控制，使得在證明方法上我們直接摒棄了方程（1）的方法.轉而在[2]的證明中，首先構造出一個迭代序列然后分兩步證明解的存在性.第一步證明是有界的；第二步證明是柯西列，最后得出結論.

3 結束語

在證明隨機微分方程解的存在性過程中，不動點原理和逐漸逼近法是常用的兩個證明方法，但是具體采用哪個方法關鍵要仔細分析方程和約束條件的特點，再結合不動點原理和逐漸逼近法所要滿足的要求，準確地選擇證明方法才會達到事半功倍的效果.

參考文獻

[1]何世峰，任永. 一類具有無窮時滯中立型非稠定脈沖隨機泛函微分方程積分解的存在性. 應用數(shù)學學報，2012

[2]Yong REN， Tingting HOU， R.SAKTHIVEL. Non-densely defined impulsive neutral stochastic functional differential equations driven by a fBm in a Hilbert space with infinite delay . Front.Math.China 2015，10（2）；351-365

[3] Hale J.k， Lunel S.M.V. Introduction to Function Differential Equations. Berlin： Springer-Verlag， 1991

[4] Lakashmikantham V， Bainov D.D， Simeonov P.S. Theory of Impulsive Differential Equations. Singapore：World Scientitic，1989

[5] Nieto J.J，Rodriguez-Lopez R. New comparision results for impulsive integro-differential equations and applications. J. Math. Anal. Appl.， 2007， 328： 1343-1368

[6] Samoilenko A.M， Perestyuk N.A. Impulsive Differential Equations. Singapore： World Scientific， 1995

[7] Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. New York： Springer-Verlag， 1996

[8] Abada N， Benchohra M， Hadda H. Existence and controllability results for nondensely defined impulsive semilinear functional differential inclusions. J. Differential Equations， 2009， 246： 3834-3863

[9] Adimy M， Ezzinbi K， Ouhinou A. Variation of constants formula and almost periodic solutions for some partial functional differential equations with infinite delay. J. Math. Anal. Appl.， 2006， 317： 668-689

[10] Benchohra M， Gatsori E， Henderson J， Ntouyas S K. Nondensely defined evolution impulsive differential inclusions with nonlocal conditions. J. Math. Anal. Appl.， 2003， 286： 307-325

[11] Benchohra M， Gorniewicz L. Existence results for nondensely defined impulsive semilinear functional differential inclusions with infinite delay.JP J. Fixed Point Theory Appl.， 2007， 2： 11-51

[12] Benchohra M， Ntouyas S K， Ouahab A. On nondensely defined semilinear stochastic functional differential equations with nonlocal conditions. J. Appl. Math. Stoch. Anal.， 2006， Art. ID 69584

[13] Hale J.K， Kato J. Phase spaces for retarded equations with infinite delay. Funkcial. Ekvac.， 1978， 21：11-41

[14] Yosida K. Functional Analysis. 6th ed. Berlin： Springer-Verlag， 1980

[15] Boufoussi B， Hajji S. Neutral stochastic functional differential equations driven by a fractional Brownian motion in a Hilbert space. Statist. Probab. Letters 2012， 82： 1549-1558

[16] Caraballo T， Garrido-Atienza M.J， Taniguchi T. The existence and exponential behavior of solutions to stochastic delay evolution equations with a fractional Brownian motion. Nonlinear Anal. TMA2011， 74： 3671-3684

[17] Sadovskii B N. On a Fixed Point Principle. Funct.Anal.Appl，1967，1：71-74