從幾道小學(xué)測(cè)試題看“數(shù)形結(jié)合”思想的培養(yǎng)

◎毛鴻雁

筆者近期接觸到幾道小學(xué)五年級(jí)的測(cè)試題，深刻體會(huì)到小學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生“幾何直觀”的一個(gè)很重要的時(shí)期，很多復(fù)雜問(wèn)題都要通過(guò)“數(shù)形結(jié)合”來(lái)幫助理解從而達(dá)到簡(jiǎn)化效果，具體可以通過(guò)作“線段圖”化抽象為直觀、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，可以說(shuō)“線段圖”是學(xué)生最早接觸的“數(shù)形結(jié)合”的一種。在此，簡(jiǎn)單舉幾個(gè)例子說(shuō)明。

1：今年爸爸48歲，哥哥的年齡是弟弟的2倍，當(dāng)?shù)艿荛L(zhǎng)到哥哥現(xiàn)在的年齡時(shí)，爸爸的年齡恰好是兄弟倆的和，請(qǐng)問(wèn)今年弟弟多少歲？

分析：此題放在五年級(jí)測(cè)試卷中，主要考查學(xué)生通過(guò)列簡(jiǎn)單方程解決問(wèn)題的能力。學(xué)生解決問(wèn)題的難點(diǎn)是：由于題目條件中涉及的量有點(diǎn)多且抽象，導(dǎo)致學(xué)生理不清題意中的各個(gè)量之間的聯(lián)系，很難根據(jù)題意直接列出方程。此時(shí)若借助“線段圖”整理其中的數(shù)量關(guān)系，就讓數(shù)量關(guān)系變得直觀、簡(jiǎn)明?。ㄈ鐖D）

假設(shè)弟弟今年x歲，不難理解，“當(dāng)?shù)艿荛L(zhǎng)到哥哥現(xiàn)在的年齡”是指經(jīng)過(guò)年后，所以根據(jù)題意可以列方程：48＋x＝2x＋3x，從而解決問(wèn)題。

2：有兄弟兩人，哥哥對(duì)弟弟說(shuō)：“我在你這么大時(shí)，你才1歲！”弟弟對(duì)哥哥說(shuō)：“我到你這么大時(shí)，你已經(jīng)31歲了！”問(wèn)，兄弟倆各多少歲？

分析：這是一個(gè)推理題，學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題遇到的難點(diǎn)是題中的未知量很多，弟弟現(xiàn)在多大？哥哥現(xiàn)在多大？弟弟到哥哥那么大時(shí)是多少年后？哥哥在弟弟那么小時(shí)又是多少年前？就現(xiàn)有的兩個(gè)已知量之間很難找到相等關(guān)系，會(huì)讓很多學(xué)生覺(jué)得無(wú)從下手！但是，一旦我們作出線段圖將數(shù)量關(guān)系整理出來(lái)，就會(huì)輕松理清數(shù)量間的關(guān)系，容易發(fā)現(xiàn)在這個(gè)問(wèn)題中最關(guān)鍵的量是年齡差。（如圖）

設(shè)兄弟間年齡差為x歲，則根據(jù)題意可以列出方程：3x＝31-1，從而解決問(wèn)題。

3：請(qǐng)用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題：

三人同時(shí)從工廠乘出租車(chē)回家，事先講好三人分擔(dān)車(chē)費(fèi)，丙最后到達(dá)終點(diǎn)付車(chē)費(fèi)90元，已知甲到了全程的處下了車(chē)，乙在全程的處下了車(chē)。問(wèn)甲乙分別應(yīng)付給丙多少車(chē)費(fèi)錢(qián)？

分析：這個(gè)題相對(duì)比較開(kāi)放，題目中沒(méi)有說(shuō)清楚三人按什么方式分擔(dān)車(chē)費(fèi)。

思路一：如果簡(jiǎn)單粗暴的解決問(wèn)題，三人平均分?jǐn)傑?chē)費(fèi)，那么90÷3＝30元/人。而這樣的分配車(chē)費(fèi)方式顯然不合理，畢竟每人乘坐出租車(chē)的路程不一樣。

思路二：如果按照每人乘坐出租車(chē)的路程比例來(lái)看這個(gè)問(wèn)題，甲乘坐的路程占全程的、乙乘坐的路程占全程的、丙乘坐的路程占了全程的1。所以可以將全程分成2份，其中甲占了份，乙占了份，丙占了1份。也就是如果把車(chē)費(fèi)看成“1”的話，甲應(yīng)該付總車(chē)費(fèi)的÷2＝，同理乙應(yīng)該付總車(chē)費(fèi)的，而丙則應(yīng)該付總車(chē)費(fèi)的。（如圖）

所以甲付15元車(chē)費(fèi)，乙付30元車(chē)費(fèi)，丙則實(shí)際付45元車(chē)費(fèi)。

思路三：如果按照出租車(chē)實(shí)際行駛路程產(chǎn)生的費(fèi)用來(lái)分?jǐn)偅覀兛梢园?0元車(chē)費(fèi)看作是三段路程的車(chē)費(fèi)總和，每一段車(chē)費(fèi)30元。第一段路程3人平均分?jǐn)?，每?0元；第二段路程2人平均分?jǐn)?，每?5元；第三段丙一人承擔(dān)30元。（如圖）

所以，甲付10元車(chē)費(fèi)，乙付25元車(chē)費(fèi)，丙則實(shí)際付55元車(chē)費(fèi)。

通過(guò)幾個(gè)例子我們體會(huì)到，“數(shù)形結(jié)合”能啟迪思路，幫助理解。我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚先生就曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。”因此在教學(xué)中，要引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行思考，揭示研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，從而滲透“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。