高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

◎楊曉晨

一、高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中存在的問題

高等代數(shù)的主要內(nèi)容包括線性代數(shù)理論、多項式理論和幾何理論等，如果說中學(xué)數(shù)學(xué)是對數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式進(jìn)行學(xué)習(xí)，那么高等代數(shù)就是在追溯數(shù)學(xué)的源頭，對各種理論進(jìn)行根本性的還原。高等代數(shù)的課程安排在高中課程中相對較少，受到高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，很多學(xué)生的面對高等代數(shù)的內(nèi)容時表示難度太大，不能對獨立性較強的知識進(jìn)行吸收和理解，而教師在教學(xué)過程中沒有將高等代數(shù)的思想與教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有效融合，導(dǎo)致學(xué)生解題的思路仍然存在僵化現(xiàn)象，因此無法獲得高效的學(xué)習(xí)成果。

二、提升高等代數(shù)在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用水平的有效策略

1.利用行列式解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題 行列式屬于高等代數(shù)中的概念，是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容，也是解決數(shù)學(xué)問題的基本數(shù)學(xué)工具。在中學(xué)數(shù)學(xué)問題的解決中，教師應(yīng)該提高對行列式的教學(xué)意識，培養(yǎng)學(xué)生用行列式解決數(shù)學(xué)問題的意識，從而在面對數(shù)學(xué)題使能夠追本求源，獲得立體化和三維化的學(xué)習(xí)效果。

（1）解決因式分解問題。因式分解問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是很多學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，雖然從中學(xué)數(shù)學(xué)的解題角度出發(fā)，能夠獲得多種途徑的解題思路和解題方法，但是并不能對因式分解有本質(zhì)上的認(rèn)識，使學(xué)生建議起數(shù)學(xué)的邏輯思維，而利用行列式解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題，能夠?qū)⒁蚴椒纸獾臉?gòu)造與行列式對應(yīng)，從而使學(xué)生的解題思路更加清晰。

例1：對a3+b3+c3-3abc進(jìn)行因式分解，通過因式分解對不等式進(jìn)行證明，詳細(xì)的證明結(jié)果如下所示：

（2）證明條件等式問題。行列式不僅可以應(yīng)用于因式分解，還可以對條件等式問題進(jìn)行證明。

例1：假如 （z-x）2-4（x-y）（y-z）＝0，求證：z+y＝2y。詳細(xì)的證明結(jié)果如下所示：

從已知條件可以得到（z-x）2-4（x-y）（y-z）＝（z+2x-2y）2＝0。

因此得到最終結(jié)論z+x-2y＝0。即z+x＝2y。

通過以上兩個舉例可以充分認(rèn)識到利用行列式解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的優(yōu)勢。當(dāng)面對數(shù)學(xué)問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造并明確需要解決的對象，然后通過對數(shù)學(xué)對象的分析，探求各種條件之間內(nèi)在的邏輯關(guān)系和聯(lián)系，從而獲得題目所求的結(jié)論，使學(xué)生的解題思路變得更加開闊。

2.利用齊次線性方程組解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題 齊次線性方程組同樣是根據(jù)已知條件構(gòu)造數(shù)學(xué)對象，然后分析已知條件與未知結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，從而將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化看待，使學(xué)生在解題的過程中獲得思維的樂趣。

例1：已知函數(shù) f（x）＝ax3-c滿足 -4≤f（1）≤ -1，-1≤f（2）≤5求出f（3）的取值范圍。

解：已知條件 f（1）＝a-c，f（2）＝4a-c，f（3）＝9a-c

這一關(guān)系式表示已知條件能夠構(gòu)成齊次線性方程組，并且還能夠得到非0的解，因此可以得到以下結(jié)論：

3.利用矩陣解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題 矩陣是高等代數(shù)中的重要研究對象，也是解決數(shù)學(xué)問題的基本概念和基本工具，能夠充分展示數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系，反映各項數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性。利用矩陣的原理和性質(zhì)解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題，可以將問題化繁為簡，得出結(jié)論。

故，所以直線L1與直線L2重合。

從上述行列式、齊次線性方程組和矩陣的舉例說明可以看到，中學(xué)數(shù)學(xué)問題可以通過高等代數(shù)的思想得到解決，并且能夠?qū)栴}化繁為簡、化難為易，使學(xué)生的解題思路得到有效拓展。從教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，將高等代數(shù)的思想應(yīng)用與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，并不僅僅具有一題多解的意義，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯能力，使學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題后能夠從宏觀的角度看待題目，從而將各項基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)能力融會貫通，最終得到合理的結(jié)論。因此教師在教學(xué)中應(yīng)該樹立起利用高等代數(shù)思維教學(xué)的意識，將相關(guān)理論、原理和性質(zhì)進(jìn)行合理的穿插。

結(jié)論：綜上所述，針對高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用的研究是非常必要的。本文主要分析當(dāng)前高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中存在的問題，然后提出一些合理化的應(yīng)用建議。研究可得，對高等代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化、對高等代數(shù)的教學(xué)方法進(jìn)行改進(jìn)、對高等代數(shù)的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行引導(dǎo)能夠有效提升中學(xué)數(shù)學(xué)的高數(shù)教學(xué)水平。希望本文可以為研究高等代數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用的相關(guān)人員提供參考。

［1］萬文婷.高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)銜接問題探究［J］.科技展望，2015，25（26）：210.

［2］郭文海.解決高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)脫節(jié)現(xiàn)象的策略［J］.科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2014，11（14）：149.