復(fù)合型連帶Legendre方程邊值問題解的相似結(jié)構(gòu)

李順初，趙超超，桂欽民

(1.西華大學(xué) 理學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，四川 成都 610039；2.北京東潤科石油技術(shù)股份有限公司，北京 100029)

在解決石油等領(lǐng)域的實(shí)際問題時(shí)，常常會(huì)涉及到微分方程.因此，研究微分方程解的內(nèi)在規(guī)律，對(duì)于其求解過程的簡化起著至關(guān)重要的作用.近年來，就有相關(guān)研究報(bào)告對(duì)其作出了肯定回答[1-10].羅梅等[11]討論了一般連帶型Legendre微分方程邊值問題解的相似結(jié)構(gòu)，本文對(duì)復(fù)合型連帶Legendre方程的邊值問題進(jìn)行了研究，獲得了其解的相似結(jié)構(gòu).

本文研究如下邊值問題：

(1)

其中：a,b,c,D,E,F,G,H,α,β,m1,m2,μ1,μ2為已知實(shí)常數(shù)，且D≠0,G2+H2≠0,-1

1 主要定理及其證明

(2)

引理2關(guān)于二元函數(shù)

(3)

有：

(4)

(5)

(6)

其中i=1代表左區(qū)(a

證明根據(jù)第一、第二類連帶Legendre函數(shù)的微分性質(zhì)[13]：

(7)

(8)

即證得式(4)，同理可證式(5)、(6).

定理若邊值問題(1)有唯一解，則其左區(qū)(a

(9)

右區(qū)(c

(10)

其中：Φ*(x)稱為右區(qū)相似核函數(shù)，

(11)

Φ(x)稱為左區(qū)相似核函數(shù)，

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

聯(lián)立式(13)～(16)，求解出A1,A2,B1,B2,且根據(jù)邊值問題(1)有唯一解得，對(duì)于待定系數(shù)A1,A2,B1,B2的線性方程組(13)～(16)的系數(shù)行列式Δ≠0,且

(17)

求解線性方程組(13)～(16)，知

(18)

(19)

(20)

(21)

將式(18)～(21)代入式(2)中，利用右、左相似核函數(shù)式(11)、(12)進(jìn)行表達(dá)，即得到邊值問題(1)的左、右區(qū)解分別為式(9)、(10).

推論1在邊值問題(1)中，若右邊界條件為y2(b)=0(即H=0，G≠0)，則對(duì)應(yīng)的右相似核函數(shù)為

(22)

(23)

推論3邊值問題(1)的解式(9)和其導(dǎo)數(shù)之間有如下性質(zhì)：

(24)

2 相似構(gòu)造法步驟

第六步：由式(10)，組裝邊值問題(1)的右(c

3 舉例

求解下面的邊值問題：

(25)

第三步： 根據(jù)式(11)，生成右相似核函數(shù)Φ*(x)：

第四步： 根據(jù)式(12)，生成左相似核函數(shù)Φ(x)：

4 結(jié)語

根據(jù)相似構(gòu)造法的步驟可知，求解復(fù)合型連帶Legendre 方程的邊值問題時(shí)，首先通過連帶Legendre方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解構(gòu)造引解函數(shù)，其次由引解函數(shù)以及邊界條件中的系數(shù)進(jìn)行組裝得到邊值問題的解，可大大簡化求解此類邊值問題的運(yùn)算步驟，達(dá)到事半功倍的效果，對(duì)解決石油等領(lǐng)域的問題有很大的幫助.

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