Lévy過程驅(qū)動的HJM框架下貼現(xiàn)債券價(jià)格的解

杜鳳嬌

(1.中國礦業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 徐州 221106；2.徐州工程學(xué)院，江蘇 徐州 221008)

在布朗運(yùn)動下,由HJM模型可以得到貼現(xiàn)債券價(jià)格的解.本文將布朗運(yùn)動換成了Lévy過程(關(guān)于Lévy過程的詳細(xì)介紹參見文獻(xiàn)[1-2])，它在有限時(shí)段內(nèi)可以有可列無限次跳躍,將模型進(jìn)一步推廣.利用Lévy過程下即期鞅測度方法得到了貼現(xiàn)債券價(jià)格過程滿足的隨機(jī)方程，并求出了貼現(xiàn)債券價(jià)格的解.使得在布朗運(yùn)動下由HJM模型得到的貼現(xiàn)債券價(jià)格的解成為本文結(jié)論的特殊情況.

1 Lévy過程下HJM模型的即期鞅測度

選取現(xiàn)金債券作為計(jì)價(jià)單位，現(xiàn)金債券Bt滿足

到期日為T的債券價(jià)格B(t,T)滿足動態(tài)方程

dB(t,T)=B(t-,T)[a(t,T)dt+b(t,T)dYt].

Yt=cWt+Mt+αt為定義在帶流概率空間(Ω,F,(Ft),P)上的一維Lévy過程的標(biāo)準(zhǔn)分解，其中W={Wt,0≤t≤T*}是一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，M={Mt,0≤t≤T*}為純跳躍Lévy過程，c和α是常數(shù).假設(shè)對所有的h∈(-h1,h2)，0

整理得

dB(t,T)=B(t-,T)[(a(t,T)+αb(t,T))dt+cb(t,T)dWt+b(t,T)dMt].

定義貼現(xiàn)債券價(jià)格過程

則有

dZ*(t,T) =d[B(t,T)B-1(t)]

令

則

則

令

則

(1)

定義過程Zt：

其中ε(·)為Doleas-Dale指數(shù)半鞅[1].

則Zt是一個(gè)非負(fù)鞅，滿足Z0=1.

(2)

或等價(jià)地寫為：

定理1令Ρ*為FT上關(guān)于測度Ρ絕對連續(xù)的測度，定義即期鞅測度Ρ*滿足:

2 即期鞅測度下貼現(xiàn)債券價(jià)格的解

在測度Ρ*下，貼現(xiàn)債券價(jià)格過程是一個(gè)鞅，并且滿足方程：

dZ*(t,T)=-Z*(t,T)[σ*(t,T)cdWt*+σ*(t,T)dMt*]，

(3)

即

dZ*(t,T)=Z*(t-,T)[-σ*(t,T)cdWt*-σ*(t,T)dMt*].

由Dole′as-Dale公式

從而

(4)

該結(jié)果為布朗運(yùn)動下由HJM模型所得結(jié)果，可以看作本章的特殊情況.

3 結(jié)論

本文構(gòu)造了Lévy過程下HJM模型的即期鞅測度Ρ*，得到了在即期鞅測度Ρ*下貼現(xiàn)債券價(jià)格滿足的隨機(jī)方程

dZ*(t,T)=-Z*(t,T)[σ*(t,T)cdWt*+σ*(t,T)dMt*].

得到即期鞅測度下貼現(xiàn)債券價(jià)格的解

使得布朗運(yùn)動下由HJM模型所得結(jié)果

成為本文的特殊情況.

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