“證偽”思想在小學數(shù)學課堂中的滲透與實踐

摘要：課堂學習是學生對知識的不確定性到知識確定性的漸進過程，這一過程中包含著不斷嚴密的論證過程，這也是數(shù)學的主要特色和中心問題，那么圍繞這個過程的指向有兩個方面：“證實”；“證偽”?！白C實”思想在大部分小學數(shù)學課堂中是常見的，而“證偽”思想是一種否定性思維，它基本在小學數(shù)學課堂中很少見到。但是，“證偽”思想在小學數(shù)學課堂中也不可缺少，因為它有助于幫助學生科學地超越自身，找到知識新的生長點和突破口。本文試圖以筆者對“證偽”思想的理解，并結(jié)合一些課例，闡述證偽思想滲透在兒童數(shù)學學習中的意義、價值和實踐探索。

關(guān)鍵詞：“證偽”思想；“證實”思想；小學數(shù)學

課堂學習是學生對知識的不確定性到知識確定性的漸進過程，在小學數(shù)學課堂中往往會看到必有模塊——探究新知，而這個模塊的展示多以學生“證實”某一正確的猜想為主，缺少“證偽”思想，這就導致學生對知識學習的單一性和唯一性，缺少了學生對知識的自主驗證性和對知識的深度耕犁，所以筆者試圖通過以教學實踐為例，探尋“證偽”思想在小學數(shù)學階段的必要性，以及“證實”和“證偽”兩種辯證思想對于小學生形成數(shù)學思維的重要性。

一、 觀照弊端：小學數(shù)學“證偽”思想缺失的現(xiàn)象分析

在小學數(shù)學中，有一些命題需要進行驗證，這些命題多是由猜想得來的，猜想到形成命題是一個去偽存真的過程，這個過程主要以證偽和證實為主要手段，通過不斷地證偽、修正、證實的循環(huán)階段來實現(xiàn)。但是，從很多課堂上，我們看到的是過多的證實過程，而證偽卻極少涉及，從聽過的很多課中，筆者來剖析一下小學數(shù)學證偽思想缺失的主要現(xiàn)象，主要為以下幾個方面：

（一） 偏于只“證實”，忽視學生自主猜想意識的形成

證實通常是指通過一項或者多項客觀存在來證明一件事情的真實性，即用人物、事實來表明或斷定，那么，在數(shù)學課堂教學中，往往是經(jīng)常證實學生或者是老師提出的一個猜想，而對學生提出的錯誤猜想的證偽基本是沒有的，也就是說沒有“假設(shè)——探究”，再“假設(shè)——探究”等的循序漸進的過程，只有證實“正確結(jié)論”的過程。

蘇教版三年級下冊中長方形的面積公式求證，教材給予學生兩個方法作為長方形面積的公式提示：一個是用幾個1平方厘米的正方形擺出3個不同的長方形，并填寫項目欄中含有“長”“寬”的表格；另一個是用1平方厘米的小正方形量出兩個已有的長方形的面積。以上兩個提示都是在引導學生探究并感受到長方形的面積就和長、寬有關(guān)，長方形的面積就是長乘寬的積。對于這節(jié)課，本人聽了很多節(jié)公開課，基本所有的課堂都能體現(xiàn)學生自主交流、活動探究的過程，很多學生也能采用到上述的方法，探索性味道非常濃厚，但是這樣的課堂也存在著嚴重的問題——缺失“兒童自己的猜想”。雖然最后結(jié)論的形成過程呈現(xiàn)出來，但是卻忽視了“提出問題比解決問題更有難度”的數(shù)學教學思想，學生從頭到尾證實的是教師既定的結(jié)論，這對學生來說絲毫沒有難度。

（二） 偏于“非證實與非證偽”，忽視學生知識遷移的正確形成

證偽思想是由英國哲學家波普爾在其著作《猜想與反駁》中談到的，簡單地可以理解為我們應(yīng)該大膽地提出假說和猜測，然后去尋找和這一假說不符合的事例。如果用在數(shù)學中，就可以解釋為不斷地提出假設(shè)和猜想，然后找到一個反例，便可以驗證假設(shè)和猜想不對。像這樣的證偽思想，在小學數(shù)學中有用到過，但是并不常用，而且經(jīng)常忽略，甚至是有很多的猜想既不證實也不證偽，只是一帶而過，過于教師為中心，并舍去猜想過程直接將結(jié)論讓學生拿來運用，忽略學生為中心的教學。

蘇教版六年級數(shù)學下冊第91頁第11題的第三題“你發(fā)現(xiàn)了什么”，學生通過計算可以發(fā)現(xiàn)：兩次畫出的圓面積的和是不變的，都相當于正方形面積的78.5%。像這個題目，很多老師在講解的時候就止步于“發(fā)現(xiàn)”，其實此時應(yīng)該讓學生猜想：“如果繼續(xù)在正方形畫圓，那么圓的面積相當于正方形面積的百分之幾？”其實，猜想下去會發(fā)現(xiàn)所畫圓的面積都相當于正方形面積的78.5%，經(jīng)過證偽和證實的過程也會發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論是正確的。

在小學數(shù)學課堂中，如果證實和證偽的過程長期缺失，會導致學生自身對知識遷移的正確形成。

（三） 偏于“有偽不證或證偽不實”，忽視學生對新舊知識聯(lián)系的聯(lián)通

證偽思想的滲透，可以讓學生澄清對某些概念和性質(zhì)的模糊認識，克服對數(shù)學知識的理解的偏差和負遷移。我們老師在上課時，為了達到40分鐘的高效課堂，往往過多地關(guān)注學生自主探索的過程和探索后的正確結(jié)果，但對學生的錯誤結(jié)論往往并不給予過多重視，出現(xiàn)有偽不證的現(xiàn)象；或者在遇到學生的錯誤結(jié)論時，也會進行討論，但并不追根究底，出現(xiàn)證偽不實的現(xiàn)象。

學生在蘇教版五年級上學期中會學習《用字母表示數(shù)》這節(jié)課，這節(jié)課的重點是研究用含有字母的式子可以表示數(shù)量、數(shù)量之間的關(guān)系，但是這節(jié)課還有一個重點是對含有字母的式子的簡便改寫，學生經(jīng)常會將2a和a2弄混淆，教師最常用的做法就是出幾道類似于32或52得數(shù)這樣的題目，但是學生在做題時仍然犯錯，所以教師完全可以讓學生證偽一下“2a=a2”這樣的命題，讓學生自主發(fā)現(xiàn)在不同的取值情況下，2a可能等于a2，2a可能大于a2，2a可能小于a2，這樣的驗證經(jīng)歷不僅可以讓學生理清對2a和a2的意義，還能讓學生在以后的解題過程中不容易出錯，這樣“有偽不證”的現(xiàn)象也常常能在課堂中看見。

二、 追根溯源：小學數(shù)學證偽思想缺失的原因剖析

（一 ）教師對教學目標的定位偏離

縱觀數(shù)學課堂，我們會發(fā)現(xiàn)老師對學生知識的掌握和理解，基礎(chǔ)知識和基本技能的把握都很兼顧，但是這樣就導致了目標指向知識的單一性?；诖?，學生能夠獲得正確的知識，但卻會失去“學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，所以在課堂中，我們會發(fā)現(xiàn)重視證實的探究過程，認為證偽的過程并不重要。

“偽結(jié)論”的出現(xiàn)，常常作為課堂中的小錯誤就這樣一閃而過，但其實這才是緊扣學生應(yīng)該學習的目標，在學習1/4+3/8這樣的異分母分數(shù)加法時，學生會很自然地想到用分子加分子、分母加分母來計算，但是為了節(jié)省課堂時間，此時很少有課堂會探究“為什么不用分子加分子、分母加分母來計算”的原因，只是輕描淡寫地略過。那么，這樣學生真正學習目標就發(fā)生了偏離。

（二） 教師對學生學情的把握偏頗

課堂教學是一個動態(tài)呈現(xiàn)的過程，是師生間建立友好關(guān)系的時刻，是教師傳授知識和引導學生學習的過程。教師要教會學生的“不明白”，學生要學習自己的“不明白”。課堂中，學生會提出不同的觀點或者錯誤的觀點，這時就需要教師的教學機智。其實，如果教師對學生的學情掌握地比較透徹的話，那么學生的回答是萬變不離其宗的，教師可以根據(jù)自己的教學機智引導學生進行“證偽”，并對生成的“偽結(jié)論”進行探討。

在學習圓錐的體積時，需要驗證出圓錐的體積公式，通常教師會引導學生去發(fā)現(xiàn)圓錐體積與圓柱體積的關(guān)系，最終學生能夠發(fā)現(xiàn)圓錐的體積就是與它等底等高的圓柱體積的三分之一。不過，在一次聽課時，有個學生提出了這樣的質(zhì)疑：長（正）方體的體積可以通過算出底面積，然后想象成與高那么多的底面積疊加而成，這樣可以推導出長（正）方體的體積=底面積×高；圓柱的體積公式也可以用類似的方法進行驗證，先求出圓柱的底面積，然后想象成與高那么多的底面積疊加而成，這樣可以推導出圓柱的體積=底面積×高；基于這些已知經(jīng)驗，圓錐應(yīng)該可以是相同的直角三角形旋轉(zhuǎn)疊加，疊加的個數(shù)應(yīng)該是圓錐的底面周長。按照學生的這個推導想法，似乎是對的，但是授課教師沒有進行驗證和剖析，而是一帶而過，其實這樣的方法是錯誤的。在此片段中，教師對學生的學情并沒有把握較實，所以教師難以及時應(yīng)對。

三、 透析架構(gòu)：小學數(shù)學教學“證偽”思想的滲透

（一） 內(nèi)涵解讀——“證偽”思想的價值探尋

“證偽”是一種否定性思維，它有助于科學地超越自身，找到新的生長點和突破口。波普爾認為證偽主義至少存在兩個優(yōu)點，筆者對其中的一個優(yōu)點表示非常贊同，即證偽主義可以避免對錯誤理論的辯護和教條，證偽主義使人們相信所有的科學都只是一種猜測和假說，它們不會被最終證實，但卻會被隨時證偽。

隨著課程的深化改革，課程內(nèi)容所反映的不僅要包括數(shù)學的結(jié)果，也要包括數(shù)學結(jié)果的形成過程和蘊涵的數(shù)學思想方法，在《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011版）》中強調(diào)指出學生必須有時間和空間去經(jīng)歷實驗、驗證等活動過程；同樣也強調(diào)：教師要引導學生獨立思考、主動探究、合作交流，使得學生理解和掌握基本的數(shù)學知識和技能，體會和運用數(shù)學思想與方法，獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。其實，這也反映著學生獲得知識的過程顯得更為重要，如果要使得一個猜想轉(zhuǎn)變成一個新知，那么就是一個去偽存真的過程，這個過程主要以證偽和證實為主要手段，通過不斷地證偽、修正、證實的循環(huán)階段來實現(xiàn)。

（二） 策略定位——“證偽”思想的實踐探索

1. 以“問題”促“證偽”思想的形成

數(shù)學問題是數(shù)學的心臟，數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展也總是在提出問題和解決問題的過程中進行。所以，課堂中如果有“證偽”思想的滲透，可以通過問題的設(shè)置引導學生有質(zhì)疑和批判的想法。筆者認為，可以適當加入探究性問題、錯誤性問題和開放性問題，這三種類型的問題都可以促進學生善于運用“證偽”思想進行學習，下面通過具體實例來談一談。

類型一：探究性問題

在《三角形內(nèi)角和》一課中，學生在用不同的方法探究出三角形的內(nèi)角和是180°后，可以追加一個問題“是不是所有三角形的內(nèi)角和都是180°呢？”引發(fā)學生探究和思考，學生可以想辦法用“證偽”的思想進行嘗試質(zhì)疑，這樣的課堂教學也就打破了原來的守舊課堂，讓學生主動地和開放地學習。

類型二：錯誤性問題

在學習《3的倍數(shù)特征》時，提出“3的倍數(shù)特征也具有2和5的倍數(shù)特征的規(guī)律嗎？”這樣的問題，引導學生先運用舊知（2和5的倍數(shù)特征規(guī)律）探究3的倍數(shù)特征，讓學生明確感受到證偽的思想。

類型三：開放性問題

在學習《多邊形內(nèi)角和》時，教師在帶著學生探究過四邊形和五邊形的內(nèi)角和后，教師便可以拋出一個開放性問題“接著往下分三角形的個數(shù)，你覺得多邊形內(nèi)角和的變化有什么規(guī)律？”學生通過這個開放性問題的探究，可以展開激烈的討論，并在反復找規(guī)律中能夠不斷證偽，最終可以找到多邊形內(nèi)角和的規(guī)律。

2. 以“過程性目標”促“證偽”活動的開展

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在進一步明確了數(shù)學課程“結(jié)果目標”的同時，提出了數(shù)學課程的“過程目標”，并以“經(jīng)歷”“體驗”“探索”三個行為動詞表述了相應(yīng)層次的目標要求?！皞巫C”是一種學習過程的方式，而這個過程也是引導學生“經(jīng)歷、體驗、探索”的過程，通過經(jīng)歷一定的數(shù)學過程，獲得一些經(jīng)驗，把握數(shù)學思想方法，形成數(shù)學能力，發(fā)展學生的數(shù)學思維和意識。

在學習加法交換律的時候，命題a+b=b+a是經(jīng)過一些實際的例子推導出來的，像這樣的命題，教師可以在學生生成這樣的命題后，引導學生“證偽”，讓學生試著去找一找反例，最后再確定結(jié)論。像這樣的例子在小學數(shù)學課堂中還有很多，比如乘法分配律的結(jié)論，也可以在不斷“證偽”中生成正確的結(jié)論。經(jīng)過這樣的分析和思辨，讓學生達成學習的真正目的。

3. 以“融合的方式”促“證實和證偽”的思想的價值體現(xiàn)

學生在真正認識知識的過程中，是一個去偽存真的過程，也是證實和證偽相互融合的過程。證偽是教學形式的一種補充，目的是為了讓學生形成“去偽”意識掌握“去偽”方法。小學課堂教學中應(yīng)該要有“證偽——證實——求是”這樣完整的教學范式，融合證偽與證實達到求是的目的，實現(xiàn)真正意義上的去偽存真，將原來的單一的思維訓練模式為多元的思維訓練模式，培養(yǎng)學生實現(xiàn)批判意識和探究意識的目的。

筆者認為，通過“證實”與“證偽”的教學對比或者相輔相成，讓學生去體驗和運用，在批判和求是中判斷和解決問題。

參考文獻：

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[3]中華人民共和國教育部義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：4.

作者簡介：牛德芳，一級教師，江蘇省南京市，金陵中學實驗小學。