例談數(shù)列通項公式的求法

摘 要：本文試圖通過例題，闡述數(shù)列通項公式的一般求法。

關(guān)鍵詞：公式；常數(shù)；系數(shù)；數(shù)列

1. 由數(shù)列前幾項，通過觀察歸納，猜想求出通項公式。

例1 ①已知數(shù)列{an}中，a1=2，當n≥2時，an=3an-1+2，寫出這個數(shù)列的前5項，并求出通項an。

解：a1=2=3-1，a2=3a1+2=3×2+2=8=32-1

a3=3a2+2=26=33-1，a4=3a3+2=80=34-1

a5=3a4=3×80+2=242=35-1

……由此歸納，猜想，得an=3n-1。

②數(shù)列{an}中，a1=1，當n≥2時，an+1=2anan+2，求an，

解：a1=1，a2=2a1a1+2=23，a3=2anan+2=12

a4=2a3a3+2=25，a5=2a4a4+2=

∴前5項為a1=1=22，a2=23，a3=12=24，a4=25，a5=13=26……由此可見an=2n+1

2. 由Sn或Sn與an關(guān)系，求an，利用an=S1（n=1）Sn-Sn-1（n≥2）

求出后要驗證an是否滿足a1。

例2 已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前幾項和，且Sn+1=4an+2，

a1=1，設(shè)bn=an+1-2an（n∈N*），求證{bn}是等比數(shù)列，并求出它的項公式。

解：∵Sn+1=4an+2

∴Sn+2=4an+1+2

∴an+2=Sn+2-Sn+1

=4an+1+2-（4an+2）

=4（an+1-an）

∴an+2-2an+1=2（an+1-2an）

又bn=an+1-2an

∴bn+1=an+2-2an+1=2（an+1-2an）=2bn

∴{bn}是2 為公比的等比數(shù)列。

a2=3a1+2=5

∵a1=1，b1=a2-2a1=3

∴bn=b1·qn-1=3·2n-1

3. 由遞推公式（或歸納出遞推公式），求項公式an。

常見遞推公式有以下幾種形式。

Ⅰ. 形如an=an-1+f（n）+p（p為常數(shù)，f（n）是關(guān)于n的表達式），常用累加法。

例3 已知數(shù)列{an}滿足：a1=1 an=an-1+3n-1（n≥2）

①求a2，a3；②證明：an=3n-12

解：①an=1 a2=a1+32-1=4 a3=a2+33-1=13

②當n≥2時

an=an-1+3n-1

∴an-an-1=3n-1

an-1-an-2=3n-2

an-2-an-3=3n-3

……

a3-a2=32

a2-a1=3

兩邊相加，等：

an-a1=3+32+……+3n-1

=3（1-3n-1）1-3=32（3n-1-1）

∴an=123n-12=3n-12共（n-1）個等式

Ⅱ. 形如an=pan-1+q （p，q為常數(shù)且p≠0，q≠0）常轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等比數(shù)列）具體做法是：

設(shè)：an+α=p（an-1+α）比較系數(shù)，及x=qp-1，而{an+α}是以（a1+α）為首項，p為公比的等比數(shù)列。

例4 設(shè)數(shù)列{an}中，已知a1=1，當n≥2時，an=3an-1+2，求an

解：當n≥2時an+α=3（an-1+α）2α=2α=1

∴有an+1=3（an-1+1）

an+1an-1+1（n≥2）

∴數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為前項，3為公比的等比數(shù)列

∴an+1=2·3n-1an=2·3n-1-1

當n=1時a1=2·31-1=1

∴an=2·3n-1-1（n∈N*）

Ⅲ. 形如an+1=pan+qn（p≠0），轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列。

例5 設(shè)a0為常數(shù)，且an=3n-1-2an-1（n∈N*）

證明對任意n≥1，an=15[3n+（-1）n-1·2n]+（-1）n·2na0.

證明：設(shè)an-α·3n=-2（an-1-α·3n-1）

則an=-2an-1+2α·3n-1+α·3n=-2an-1+5α·3n-1

與an=-2an-1+3n-1比較系數(shù)，得：α=15

∴有an-15·3n=-2an-1-153n-1

∴an-153n是以a1-153= a1-35為前項，-2為公比的等比數(shù)列。

∴an-153n=1-2a0-35·（-2）n-1（n∈N*）

即an=15[3n+（-1）n-1·2n]+（-1）n·2na0

例6 已知數(shù)列{an}滿足an=9，an+1-3an=6·3n求其定項公式。

解：∵an+1-3an=6·3n

∴an+1=3an+6·3n

an+1=3an+2·3n+1

兩邊同除以3n+1為：

an+13n+1=an3n+2

∴an3n是以a13=3為前項，2為公差的等差數(shù)列

∴an3n=3+2（n-1）=2n+1

∴an=3n（2n+1）

Ⅳ. 形如anan-1=f（n），常用累乘法。

例7 設(shè){an}是首項為1的正項數(shù)項，且（n+1）an+12-na2n+an+1·an=0 （n∈N*），求它的定項公式。

解：把等號左邊看成一個二次三項式，因式分解為：

（an+1+an）[（n+1）a n+1-nan]=0

an>0 （n∈N*）

∴an+1+an>0

∴（n+1） a n+1-nan=0

即an+1=nn+1an

∴an=n-1n·a n-1

a n-1=n-2n-1·a n-2

a3=23a2

a2=12a1

兩邊相乘，得：an=1na1=1n

Ⅴ. 形為an+1=Pan+qran+s常用參數(shù)法轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列求解。

例8 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=5an+42an+7，求{an}的通項公式。

解：由an+1=5an+42an+7得：

an+1+t5an+42an+7+t=（2t+5）an+7t+42an+7

∴an+1+t（2t+5）·an+7t+42t+52an+7

令t=7t+42t+5 得t=-1，2

an+1-1=3·an-12an+7①

an+1+2=9·an+22an+7②

①÷② 得 an+1-1an+1+2=13·an-1an+2

∴數(shù)列{an-1an+2}是以an-1an+2=14為首項，以13為公比的等比數(shù)列。

∴an+1-1an+1+2=14·13n-1

∴an=4·3n-1+24·3n-1-1

注：當q=0，P=S，變?yōu)樾稳鏰n=pan-1ran+1+P，此時常用兩邊取例數(shù)的方法，變?yōu)椋?an=rp+1an-1轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列。

作者簡介：

郭守虎，安徽省滁州市，安徽省定遠縣第二中學。