善歸納 巧解最值問(wèn)題

張淑波

縱觀近幾年的各地模擬卷和中考卷，考查最值問(wèn)題表現(xiàn)形式靈活，學(xué)生們對(duì)最值問(wèn)題的數(shù)學(xué)題頗感困惑，失分率也相當(dāng)?shù)酶撸槍?duì)這一現(xiàn)象，本文對(duì)初中數(shù)學(xué)的最值問(wèn)題進(jìn)行歸納，以便學(xué)生們對(duì)癥下藥，藥到病除，現(xiàn)歸納如下，與大家一起分享。

一、應(yīng)用“將軍飲馬”模型

此類問(wèn)題通常求兩邊和及兩邊差得絕對(duì)值的最值，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短，常見(jiàn)考法有：與坐標(biāo)系結(jié)合；與圓結(jié)合利用垂徑定理；利用菱形的對(duì)角線性質(zhì)等。

例1 如圖MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，B為AN弧的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為 .

解析 作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC交MN于點(diǎn)P，則P點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)。

此時(shí)PA+PB最小，且等于AC的長(zhǎng)

連接OA，OC，根據(jù)題意得：

∵∠AMN=30°，

∴弧AN的度數(shù)是60°，

∵B為AN弧的中點(diǎn)，

∴弧BN的度數(shù)是30°，

∵NO⊥BC，

∴=，

∴弧CN的度數(shù)是30°，

∴=+=90°

∴∠AOC=90°，

又∵OA=OC=1，

∴AC==

√

2

即PA+PB的最小值為：

√

2

點(diǎn)評(píng) 首先利用在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過(guò)軸對(duì)稱來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)P的位置，然后根據(jù)弧的度數(shù)發(fā)現(xiàn)一個(gè)等腰直角三角形計(jì)算。

二、應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為垂線段最短模型

這類問(wèn)題看似考某條線段的最值，實(shí)際上利用轉(zhuǎn)化思想變?yōu)橹本€外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短，常見(jiàn)考法有：利用矩形對(duì)角線相等性質(zhì)把其中一條對(duì)角線轉(zhuǎn)化；在圓中求某條線段利用勾股定理或其他等量關(guān)系轉(zhuǎn)化等。

例2 如圖 在Rt△ABO中，∠AOB=90°，OA=OB=4，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線長(zhǎng)PQ的最小值是 .

解析 連接OP、OQ，如圖所示，

∵PQ是⊙O的切線，

∴OQ⊥PQ，

根據(jù)勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，

∴當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短，

∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，

∴AB==4

√

2

，

∴OP==2

√

2

，

∴PQ===

√

7

點(diǎn)評(píng) 連接OP，OQ，由PQ為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OQ與PQ垂直，利用勾股定理列出關(guān)系式，由OP最小時(shí)，PQ最短，根據(jù)垂線段最短得到OP垂直于AB時(shí)最短，利用面積法求出此時(shí)OP的值，再利用勾股定理即可求出PQ的最短值。

三、應(yīng)用構(gòu)圓模型

這類問(wèn)題看似無(wú)圓卻有圓，利用這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡形成一個(gè)圓從而達(dá)到求最值，常見(jiàn)考法有：這個(gè)動(dòng)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是定角，這個(gè)定角所對(duì)的邊是定邊即定角對(duì)定邊。

例3 如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=4

√

2

，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長(zhǎng)度的最小值為 .

解析 連結(jié)AE，如圖1，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC=4，再根據(jù)圓周角定理，由AD為直徑得到∠AED=90°，接著由∠AEB=90°得到點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙O上，于是當(dāng)點(diǎn)O、E、C共線時(shí)，CE最小，如圖2，在Rt△AOC中利用勾股定理計(jì)算出OC=2

√

5

，從而得到CE的最小值為2

√

5

-2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題，熟練掌握?qǐng)A周角定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，會(huì)利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng).解決本題的關(guān)鍵是確定E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離問(wèn)題。

四、應(yīng)用函數(shù)模型

這類問(wèn)題看似幾何卻是利用函數(shù)的性質(zhì)求最值，常見(jiàn)考法：在幾何題中根據(jù)邊之間的數(shù)量關(guān)系利用方程思想列出兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系等。

例5 如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A（-1，0），B（3，0），點(diǎn)D是線段AB上任意一點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線l.點(diǎn)C是l上一點(diǎn)，且∠ACB是銳角，連結(jié)AC、BC，作AE⊥BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)H，連結(jié)BH，設(shè)△ABC面積為S1，△ABH面積為S2，則S1·S2的最大值是 .

解析 設(shè)AD=X BD=4-X，

易得△ADH～△CDB

∴

AD

CD

=

DH

DB

即CD·DH=X（4-X）

S1·S2=4CD·DH

=4X（4-X）

=-4X2+16X

當(dāng)X=2時(shí)，S1·S2最大值為16

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)相似找出兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系從而構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值問(wèn)題。