局部對稱QC流形中具有平行平均曲率向量的子流形①

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 天水 741001)

0 引 言

文獻(xiàn)[1]研究了常曲率黎曼流形中具有單位平行平均曲率向量的子流形，之后文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]相繼對文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果作了改進(jìn).文獻(xiàn)[5]將文獻(xiàn)[3]中的結(jié)論由外圍空間是常曲率黎曼空間推廣到了局部對稱擬常曲率黎曼流形(簡稱QC流形)的情形.得到

定理A 設(shè)Mn是n+p維局部對稱QC黎曼流形Nn+p中的具有單位平行平均曲率向量的緊致子流形(p≥2)，若Mn的第二基本形式模長的平方σ滿足

則Mn位于Nn+p的一個n+1維全測地子流形Nn+1中.

繼續(xù)研究局部對稱QC流形具有單位平行平均曲率向量的緊致子流形，將定理A中的結(jié)果做了改進(jìn).得到

定理1 設(shè)Mn是n+p維局部對稱QC流形Nn+p中的具有單位平行平均曲率向量的緊致子流形(p≥2)，若Mn的第二基本形式模長的平方σ滿足

則Mn位于Nn+p的一個n+1維全測地子流形Nn+1中.

1 預(yù)備知識

在文中，各類指標(biāo)的取值范圍約定如下：

1≤A,B,C,…≤n+p; 1≤i,j,k,…≤n;n+1≤α,β,γ,…≤n+p.

設(shè)Nn+p是n+p維局部對稱的擬常曲率黎曼流形，Mn是Nn+p中的具有單位平行平均曲率向量的n維緊致子流形，在Nn+p上選取局部標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架場{eA}，使得限制在Mn上，{ei}與Mn相切，{ωA}是在Nn+p上與{eA}對偶的標(biāo)架場，{ωAB}是聯(lián)絡(luò)形式，限制在Mn上，有

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

因為Mn是具有平行平均曲率向量的子流形，于是H=const.

(6)

(7)

由于Nn+p是QC流形[4]，于是有

KABCD=a(δACδBD-δADδBC)+b(δACλBλD+

δBDλAλC-δADλBλC-δBCλAλD)

(8)

(9)

令

適當(dāng)選取法標(biāo)架場{eα}，使得矩陣(tr(HαHβ))可以對角化，即有

進(jìn)而，利用(5),(7),(8),(9)式通過計算得到

(10)

由文獻(xiàn)[7]知，下列不等式成立

(11)

(12)

由Schwarz不等式得到

(13)

(14)

對固定的α≠n+1,可將對稱方陣Hn+1,Hα對角化.因此有

(15)

2 定理的證明

證明由(10), (11), (12), (15)式得到

(16)

(I)當(dāng)b≥0時，利用(13)，(14)，(16)式得到

將(I)，(II)兩種情形中σ所要滿足的關(guān)系式統(tǒng)一如下

(17)

綜合上述兩種情形可見，當(dāng)σ滿足(17)式時，Mn位于Nn+p的一個n+1維全測地子流形Nn+1中.

參考文獻(xiàn)：

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