電磁場中兩個重要定理的對比研究

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(佳木斯大學，黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

電磁學屬于經典物理學的一部分，在廣泛介紹電磁現象的基礎上，更著重于基本規(guī)律的闡述，主要是研究電荷、電流產生的電場和磁場的基本規(guī)律，電磁場對電荷和電流的作用。深入到材料內部，物質的電子結構是物質的基本組成形式，任何的實物材料都是由分子或者原子組成，原子是由帶正電的原子核和帶負電的電子組成，電磁作用是物質的基本作用之一，麥克斯韋通過麥氏的方程組給出了很好的解決電磁問題的方法，這個方程組的核心就是高斯定理和安培環(huán)路定理。

1 定理的證明對比

以電場中的高斯定理和磁場中的安培環(huán)路定理為例。

圖1 高斯定理證明圖解

高斯定理在電場中的表達式是：

(1)

它表明：通過任意閉合曲面的電通量等于該面所包圍的所有電荷電量的代數和除以ε0。

磁場中的安培環(huán)路定理的表達式是：

(2)

它表明：磁感應強度沿任何閉合環(huán)路的線積分等于穿過這個環(huán)路所有電流強度的代數和的μ0倍。

通過兩個定理的表述可以看出高斯定理是面積分，左側積分數值與面內包圍的電荷電量代數和有關，安培環(huán)路定理是線積分，左側積分數值與線積分路徑包圍的電流強度代數和有關，也就是二者都與積分路徑所包圍量的代數和有關，從數學表達式上二者也具有相似性。在證明方法上二者都可以采用由簡單個例到一般的證明方法，比如電場中高斯定理首先選取特例球面，并且只有一個點電荷在球心，相對而言，磁場中的安培環(huán)路定理選取圓環(huán)并且包圍電流強度為I的一條導線；其次，高斯定理再將球面半徑擴展到任意半徑直至電荷不再位于球心，最后到任意閉合曲面，只要包圍點電荷即可，安培環(huán)路定理則也是由圓環(huán)變?yōu)橹灰鼑鷮Ь€的任意閉合曲線即可；通過都熟知的疊加原理，當有N個點電荷或有N條帶電導線時采用代數和疊加的原理得到一般性的結論，同時采用了相似的方法證明了點電荷或帶電導線位于閉合曲面和閉合環(huán)路外對于積分無貢獻的思想，由此證畢，如圖1和圖2所示為定理證明圖解。

圖2 安培環(huán)路定理證明圖解

2 定理的應用對比

無論是高斯定理還是安培環(huán)路定理它的應用都具有普遍性，但在具體使用過程中會去尋找簡單便捷的方法，這就是在電磁學中常常提到的對稱性的問題，這里以均勻帶正電的無限長細棒的場強和無限長圓柱形帶電直導線磁場分布為例，兩者都是屬于圓柱體，電場和磁場的分布都具有對稱性，電場即在任何垂直于棒的的平面內的同心圓周上場強大小都相同，磁感應強度的大小只與場點到軸線的垂直距離有關，這樣電場強度的求解只要選取分別在圓柱內外的同軸柱面，磁場強度的求解選取圓心在軸線上并與軸線垂直的圓環(huán)形回路，應用定理找到閉合圓柱面包圍的電荷的電量代數和和圓形回路包圍的電流強度的代數和即可求解。二者的相似之處就是都選取了具有對稱性的包圍曲面或曲線將要求解的問題包括在其中，使問題的求解變得簡單易懂。但這里有一點要注意應用兩個定理時左側的積分在展開的過程中要注意矢量間的夾角。

3 結 語

高斯定理和安培環(huán)路定理在數學形式表達上具有相似性，一個是面積分，一個是線積分；定理的右側都是曲面或曲線包圍的簡單易于尋找的物理量電荷和電流強度，也就是說通過對稱性的分析，我們很快就能找到問題的切入點，進而快速解決問題；在定理的證明上采用了由簡單個例到一般形式的推導，證明過程簡單易懂，用通俗的語言解釋了內容含義深奧的定理，帶來方便的同時，也增加了對定理定律的進一步了解。

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