微積分中微元法在專業(yè)中的應(yīng)用案例研究
——以醫(yī)藥學(xué)專業(yè)為例

崔 艷，吳 娟

（亳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 亳州 236800）

一、高等數(shù)學(xué)與專業(yè)需要相結(jié)合的必要性

高等數(shù)學(xué)作為一門重要的基礎(chǔ)課，一方面是高職各專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課必不可少的基礎(chǔ)工具,為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程和解決實(shí)際問題提供不可少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及數(shù)學(xué)方法；另一方面,通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)培養(yǎng)學(xué)生具有比較成熟的運(yùn)算能力和自學(xué)能力、綜合運(yùn)用所學(xué)知識去分析和解決問題的能力[1]。目前數(shù)學(xué)教學(xué)知識結(jié)構(gòu)單一，數(shù)學(xué)老師對于專業(yè)需要的數(shù)學(xué)知識不了解或了解不多，所以授課過程中，與專業(yè)相關(guān)的例子很少，沒有體現(xiàn)出數(shù)學(xué)在專業(yè)課中應(yīng)用，很多學(xué)生產(chǎn)生了數(shù)學(xué)與專業(yè)無關(guān)和數(shù)學(xué)無用的錯(cuò)誤思想。

高等數(shù)學(xué)是為專業(yè)的學(xué)習(xí)服務(wù)的，因此將高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)與學(xué)生所學(xué)專業(yè)緊密結(jié)合，更能夠彰顯該課程的價(jià)值和意義[2]。對于與專業(yè)課程緊密結(jié)合的教學(xué)模式，宿彥莉[3]指出高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)要將基礎(chǔ)課程與專業(yè)課相結(jié)合，并強(qiáng)調(diào)注重學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)；張紹閣[4]介紹了高等數(shù)學(xué)為專業(yè)課程教學(xué)服務(wù)所存在的問題，提出高等數(shù)學(xué)與專業(yè)課結(jié)合應(yīng)遵循的原則。所以高等數(shù)學(xué)的教學(xué)要圍繞并立足于專業(yè)需要，在高數(shù)課程教學(xué)中滲透專業(yè)思想，為后續(xù)的專業(yè)課提供有益的支撐，強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)應(yīng)用型、復(fù)合型高素質(zhì)人才。

二、案例教學(xué)法

案例教學(xué)法起源于1920年代的美國哈佛商學(xué)院，當(dāng)時(shí)是采取一種很獨(dú)特的案例型式的教學(xué)，這些案例都是來自于商業(yè)管理的真實(shí)情境或事件，通過此種方式，有助于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生主動(dòng)參與課堂討論，與傳統(tǒng)教學(xué)法相比，案例教學(xué)法能夠啟發(fā)學(xué)生的思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，改善課堂氛圍，拓展學(xué)生的知識視野培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，促進(jìn)學(xué)生更好地發(fā)展。將案例教學(xué)法應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中對提升高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)效果有著很大的幫助。

在使用案例教學(xué)時(shí)應(yīng)注重加強(qiáng)概念、方法的實(shí)際應(yīng)用，采用具有應(yīng)用意義、與專業(yè)知識相關(guān)的案例進(jìn)行教學(xué)。以專業(yè)中的實(shí)際問題為背景，導(dǎo)入數(shù)學(xué)概念和思想，將形成的概念、方法應(yīng)用到專業(yè)實(shí)際問題中，并通過合適的案例介紹數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，同時(shí)注意加強(qiáng)與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系較多的方法、技能的訓(xùn)練，弱化計(jì)算的復(fù)雜性與技巧性，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中清楚數(shù)學(xué)在專業(yè)的作用，提高學(xué)習(xí)的進(jìn)行興趣。所以，要求教師在備課時(shí)，根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行精心的教學(xué)設(shè)計(jì)，以與專業(yè)相關(guān)的案例恰當(dāng)導(dǎo)入，使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有一個(gè)立體、深入的體驗(yàn).在教學(xué)中，注意盡量避免純理論授課，注意各部分的銜接與聯(lián)系，相關(guān)知識與專業(yè)知識的聯(lián)系與應(yīng)用，讓學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)來源于生活，運(yùn)用于生活，生活中處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的美[5]。

三、微元法的概念

微積分是為了解決實(shí)際生活中的問題而誕生的是一門學(xué)科，且它在實(shí)際應(yīng)用中得到不斷的完善和補(bǔ)充，成為了一門理論性較強(qiáng)的學(xué)科，微元法思想則是微分學(xué)的主要思想，指在處理問題時(shí)從對事物的極小部分(微元)分析入手，達(dá)到解決事物整體目的的方法，思想就是“化整為零”，先分析“微元”，再通過“微元”分析整體。

定積分的所有應(yīng)用問題，一般總可按“分割，近似求和，取極限”三個(gè)步驟導(dǎo)出所求量的積分形式，為了簡單實(shí)用起見，常采用“微元法”的形式。從定積分的角度來看，其主要思想是：在微觀條件下，對于曲線，曲頂和不均勻物體經(jīng)過無窮次的微分之后在微小部分都可以看做是直線，平面和均勻的。簡單地說，就是以“直”代“曲”，以“不變”代“變”的思想.

從宏觀的角度，對于求連續(xù)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上與x軸所圍的面積S時(shí)，如圖1所示，在區(qū)間[a,b]上任取一點(diǎn)x，取寬度為△x，當(dāng)△x很小時(shí)，可以認(rèn)為在區(qū)間[x,x+△x]上y=f(x)是一條直線，于是有這個(gè)小矩形的面積可表示為dS=f(x)△x=f(x)dx.

圖1 微元法的意義

此時(shí)把dS＝f（x）稱作為“面積微元”。把所以的小矩形面積全部累加求和便得到圖形的面積值S。這種累加是通過積分來實(shí)現(xiàn)的，即

此求面積S的問題可用定積分來計(jì)算應(yīng)具有的兩個(gè)特點(diǎn)：1.區(qū)間的可加性，此條件是顯然的；2.表達(dá)出小矩形面積△S，即

對于其中的f（x）△x是很好表達(dá)出的既是“長乘寬”。但對于ε△x卻是很難表示出，其實(shí)ε△x即為△x高階的無窮小量，故此項(xiàng)ε△x就可以忽略舍去，所以△S也就可以表示為：

其中的dx是△x，dS則稱為面積S的面積微元，簡稱微元。所以用定積分求面積問題其關(guān)鍵在于求出面積微元即可。

設(shè)f(x)在[a，b]是連續(xù)的函數(shù)，作它的上限可變的積分表達(dá)式：

是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，即dU（x）=f（x）dx.于是，

這表明連續(xù)函數(shù)f(x)的定積分就是△S=f（x）△x+ε△x的微分的定積分.由理論依據(jù)(2)可知，所求總量A就是其微分dU（x）=f(x)d(x)從a到b的無限累加得這種取微元f（x）dx計(jì)算積分的方法稱為微元法.運(yùn)用這種微元法思想，同理還有求出“弧長微元”、“體積微元”、“質(zhì)量微元”和“功微元”等。它在物理學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，生物學(xué)，化學(xué)、醫(yī)藥學(xué)等學(xué)科都有著廣泛的應(yīng)用；通過微元法的思想我們就可以求出生活中許多實(shí)際問題，且方便、有效。

四、醫(yī)藥學(xué)專業(yè)中微元法應(yīng)用案例

（一）胰島素平均濃度的測定

胰島素是由胰島細(xì)胞受內(nèi)源性或外源性物質(zhì)(葡萄糖、乳糖、核糖、精氨酸、胰高血糖素等)的刺激而分泌的一種蛋白質(zhì)激素；胰島素是機(jī)體內(nèi)唯一降低血糖的激素，同時(shí)促進(jìn)糖原、脂肪、蛋白質(zhì)合成。正常人空腹血漿胰島素濃度5-20mU/L,在注射大量的葡萄糖后上升至高峰,高峰為基礎(chǔ)值的5-10倍，3-4h恢復(fù)到基礎(chǔ)水平[6]。

如在實(shí)驗(yàn)中首先讓病人在實(shí)驗(yàn)前3h停服對實(shí)驗(yàn)有影響藥物,調(diào)節(jié)情緒,禁食一夜后降低血糖水平,然后注射大量的葡萄糖,測得空腹、注射后內(nèi)胰島素不同時(shí)間的濃度，計(jì)算病人1h內(nèi)血液胰島素釋放的平均濃度。例在一臨床實(shí)驗(yàn)中，先讓患者禁食，降低體內(nèi)血糖含量，然后通過給患者注射大量的糖。經(jīng)測定患者血液中胰島素的濃度C(t)（單位：ml）為，

其中時(shí)間t的單位為分鐘，求1小時(shí)內(nèi)患者血液中胰島素的平均濃度

解 先用微元法計(jì)算1h(60min)內(nèi)胰島素的總量,在［0，60］內(nèi)任取一小區(qū)間［t，t＋dt］,由于 dt變化不大，此時(shí)間內(nèi)胰島素的濃度近似等于t時(shí)刻的胰島素的濃度C（t）,所以胰島素量的微元為d(D)=C(t)dt,于是可以計(jì)算1h內(nèi)胰島素的總量為：

由連續(xù)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的平均值為可知

（二）單位時(shí)間內(nèi)流過血管截面血流量的測定

單位時(shí)間內(nèi)流過血管某一截面的血量稱為血流量，血液中的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在血管內(nèi)移動(dòng)的線速度,稱為血流速度。按血管內(nèi)流動(dòng)方式分為層流和湍流兩類，在層流的情況下，液體每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)方向都一致，與血管的長軸平行；但各質(zhì)點(diǎn)的流速不相同，在血管軸心處流速最快，越靠近管壁，流速越慢[6]。

例 設(shè)有半徑為R，長為L的一段血管，兩端測得血壓分別為P1和P2（P1＞P2）。已知血管截面上距離血管中心r處的血流速度其中 η為血液粘滯系數(shù)，求單位時(shí)間內(nèi)流過該截面的血流量Q。

圖2 截面圓圖

解 在[0,R]上任取一小區(qū)間[r,r+dr]，則對應(yīng)一個(gè)小圓環(huán)，由于dr很小，環(huán)面上各點(diǎn)的流速變化不大，可用半徑r為處圓周上流速v(r)近似代替。又因?yàn)榇藞A環(huán)面積的近似值為2πrdr，故血流量微元為dQ=v(r)2πrdr，于是

可見血流量與血管兩端壓力差成正比；血流量與血管半徑的4次方成正比；血流量與血液粘滯系數(shù)成反比。

這就是1842年法國內(nèi)科醫(yī)生泊肅葉建立的一個(gè)實(shí)驗(yàn)公式，即著名的泊肅葉公式，后經(jīng)哈根(Hagen)采用積分的方法對公式進(jìn)行了推導(dǎo)，成為研究人體血液循環(huán)力學(xué)、血液流變學(xué)的重要理論基礎(chǔ)，是進(jìn)行血液粘度的測定和利用奧氏粘度計(jì)、烏氏粘度計(jì)測定液體粘度的理論依據(jù)[8]。

（三）藥物有效度的測定

藥物由給藥部位進(jìn)入血液循環(huán)的過程稱為藥物吸收,藥物吸收后從血液循環(huán)到達(dá)機(jī)體各個(gè)器官和組織的過程稱為分布。口服藥物必須先被吸收進(jìn)入血液循環(huán)，然后才能肌體的不同部位發(fā)揮作用。一種典型的吸收率函數(shù)具有以下形式：f(t)=kt(t-b)2,0≤t≤b其中k和b是常數(shù)，求藥物吸收的總量[7]。

解 在區(qū)間[0,b]上任取一小區(qū)間[t，t+dt]，由于dt變化不大，此期間內(nèi)藥物吸收率可近似于t時(shí)間的藥物吸收率，藥物吸收量的微元為dD=f(t)dt，于是

用微元法解決實(shí)際問題歸結(jié)為：(1)在區(qū)間中任意小區(qū)間以均勻變化近似值代替非均勻變化，列出所求量的微元；(2)對上式積分，即得所求量A的定積分表達(dá)式以上兩步關(guān)鍵是第一步，只有正確列出所求量的微元，才能運(yùn)用微元法解決實(shí)際問題。

五、結(jié)語

通過對高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的現(xiàn)狀分析，討論了該課程與專業(yè)結(jié)合為主要內(nèi)容的高等數(shù)學(xué)教學(xué)方式，該方式要求高等數(shù)學(xué)課程教師，不僅精通高等數(shù)學(xué)知識，還需熟悉不同學(xué)科專業(yè)的相關(guān)知識及要求，將高等數(shù)學(xué)與后續(xù)專業(yè)緊密有機(jī)結(jié)合。針對藥學(xué)專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)要配合專業(yè)課程體現(xiàn)藥學(xué)特色，突出利用數(shù)學(xué)理論知識解決專業(yè)問題的思想，強(qiáng)調(diào)實(shí)用原則；為學(xué)生提供必備的數(shù)學(xué)知識和常用的計(jì)算方法，增強(qiáng)他們的數(shù)據(jù)處理能力、邏輯思維能力以及分析、解決實(shí)際問題的能力。把數(shù)學(xué)的理論應(yīng)用到實(shí)際中去，將數(shù)學(xué)思想滲透到社會(huì)背景及學(xué)生的專業(yè)中去，學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的實(shí)用性，不但可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還有助于提高他們學(xué)習(xí)專業(yè)課的積極性。

[1]李海霞,聶東明,等.論高等數(shù)學(xué)與專業(yè)需要結(jié)合的必要性及應(yīng)對措施[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,33(19)：18-20.

[2]文傳軍,劉 坤,等.目標(biāo)驅(qū)動(dòng)、專業(yè)結(jié)合的“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)研究——以常州工學(xué)院“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)為例[J].常州工學(xué)院學(xué)報(bào),2013,26(5)：89-92.

[3]宿彥莉.以提升就業(yè)能力為目標(biāo)構(gòu)建高等數(shù)學(xué)課程體系[J].遼寧高職學(xué)報(bào),2009,11(12)：14-15.

[4]張紹閣.高等數(shù)學(xué)教學(xué)與專業(yè)課程結(jié)合的探索與實(shí)踐[J].數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志,2012,25(4)：494-495.

[5]趙 娟.關(guān)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)與專業(yè)相結(jié)合的探討[J].銅仁學(xué)院學(xué)報(bào),2016,18(4)：190-191.

[6]趙 珍.醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型中定積分微元法的構(gòu)造[J].數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志,2015,(3)：319-320.

[7]王 慧,柯善文,等.醫(yī)藥衛(wèi)生工作中微元法的應(yīng)用舉例[J].甘肅科技,2011,27(7)：183-184.

[8]于金貴.心輸出量測定方法及其評價(jià).第七次華東六省一市麻醉學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議，2008.