離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革與實踐

楊思春

（安徽工業(yè)大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032）

0 引 言

自1999年高校擴(kuò)招以來,隨著社會對計算機(jī)類人才的需求急劇擴(kuò)大,計算機(jī)類專業(yè)在全國高校的布點(diǎn)和人數(shù)都達(dá)到最多,幾乎所有的高校都開設(shè)了計算機(jī)專業(yè)。以某地方工科院校2013級計算機(jī)專業(yè)的主干專業(yè)課程體系為例,說明各類課程的大致分布情況,如圖1所示。

圖1 某地方工科院校2013級計算機(jī)專業(yè)主干專業(yè)課程體系

可以看出,離散數(shù)學(xué)作為計算機(jī)專業(yè)核心主干課程之一,為學(xué)習(xí)后續(xù)其他專業(yè)課程提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),同時對培養(yǎng)學(xué)生的專業(yè)能力和綜合素質(zhì),特別是良好的抽象思維能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力也有著非常重要的作用。但是,多年的教學(xué)實踐表明:每一屆學(xué)生中能夠真正學(xué)好這門課的并不多,特別是自高校擴(kuò)招以來,這種現(xiàn)象就越來越明顯。因此,為進(jìn)一步改進(jìn)該門課程的實際教學(xué)效果,迫切需要對該門課程進(jìn)行教學(xué)改革。

1 課程教學(xué)現(xiàn)狀

與計算機(jī)專業(yè)的其他課程相比,離散數(shù)學(xué)具有以下兩個明顯的特點(diǎn)。

(1)理論性強(qiáng)。離散數(shù)學(xué)具有一般數(shù)學(xué)課程所具有的普遍特點(diǎn),課程內(nèi)容主要以定義、定理和性質(zhì)的形式出現(xiàn),基本概念繁多,理論知識集中,因此對初學(xué)者的抽象思維能力和邏輯推理能力要求較高。

(2)內(nèi)容多。離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容豐富,包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)和圖論。一些重點(diǎn)大學(xué)將離散數(shù)學(xué)分成兩個學(xué)期上,但是對于地方工科院校,由于以應(yīng)用性人才培養(yǎng)為主,因此該門課程學(xué)時相對較少。

以某地方工科院校為例,該校開設(shè)離散數(shù)學(xué)課程已有30多年。通過實際分析多年來該門課程的教學(xué)狀況,得出以下幾點(diǎn)共性問題。

(1)現(xiàn)有教學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用性不明顯。離散數(shù)學(xué)課程的定義、定理很多,理論性非常強(qiáng),學(xué)生難以理解。同時由于課程內(nèi)容分散,學(xué)生在學(xué)習(xí)時無暇消化,難以實現(xiàn)自主學(xué)習(xí)。另外,不少學(xué)生將離散數(shù)學(xué)看成是與高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等類似的一般數(shù)學(xué)課程,認(rèn)為對自己以后從事計算機(jī)方面工作沒有什么幫助,有的學(xué)生甚至認(rèn)為學(xué)這門課的目的就是為了拿學(xué)分。因此從課程的特點(diǎn)來看,探索離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容改革是提高課程教學(xué)質(zhì)量的必要途徑。

(2)現(xiàn)有教學(xué)模式難以適應(yīng)人才能力培養(yǎng)。目前該門課程的教學(xué)基本上還是采用以教師講授為主的教學(xué)模式。雖然采用多媒體教學(xué)提高了每節(jié)課的信息量和效率,但是學(xué)生被動接受知識的方式還是沒有得到根本的改變。這不僅嚴(yán)重影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果,也制約了學(xué)生的專業(yè)能力和綜合素質(zhì)的培養(yǎng)。因此,從課程的教學(xué)效果來看,探索離散數(shù)學(xué)的教學(xué)模式改革是提高課程教學(xué)質(zhì)量的根本途徑。

(3)大班授課的日常教學(xué)管理成為難題。自高校擴(kuò)招以來,很多學(xué)校采用大班授課的形式來緩解教學(xué)資源的緊張,但是多年的教學(xué)實踐表明,大班授課也帶來了很多不利影響。課堂吃零食、玩手機(jī)屢禁不止,逃課現(xiàn)象也非常普遍。雖然學(xué)校和教師也嘗試了很多辦法,但對于有的學(xué)生還是收效甚微。因此,從課程的教學(xué)過程來看,探索離散數(shù)學(xué)的日常教學(xué)管理改革是提高課程教學(xué)質(zhì)量的重要途徑。

近年來,關(guān)于離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革已經(jīng)取得了較為顯著的實踐效果,但是還存在著諸如教學(xué)內(nèi)容應(yīng)用性不明顯、學(xué)生主體性和教師主導(dǎo)性不突出、日常教學(xué)管理缺乏有效考核等問題。因此還需要進(jìn)一步深化課程教學(xué)改革,全面提高課程教學(xué)質(zhì)量,為后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)、專業(yè)能力及綜合素質(zhì)培養(yǎng)打下更為扎實的基礎(chǔ)。

2 課程教學(xué)改革與實踐

為了全面提高離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量,進(jìn)而為后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)及專業(yè)能力和綜合素質(zhì)培養(yǎng)奠定良好的基礎(chǔ),筆者建議嘗試從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、教學(xué)管理等層面,進(jìn)行離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革。

2.1 面向應(yīng)用性人才培養(yǎng)的教學(xué)內(nèi)容改革

長期以來,地方工科院校大多采用重點(diǎn)大學(xué)使用的離散數(shù)學(xué)課程教材,但是由于這類教材普遍理論性較強(qiáng),學(xué)生看起來比較吃力?？紤]到地方工科院校計算機(jī)類專業(yè)的應(yīng)用性人才培養(yǎng)目標(biāo),以及離散數(shù)學(xué)在本專業(yè)學(xué)生能力結(jié)構(gòu)中的定位、對后期專業(yè)課程學(xué)習(xí)以及專業(yè)能力和綜合素質(zhì)的影響,需要對該門課程的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行一定的調(diào)整和優(yōu)化,使之既具有一定的理論性、又具有較強(qiáng)的應(yīng)用性。

為此,建議本著“夠用、實用”的原則,對離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理的調(diào)整和優(yōu)化、適當(dāng)降低理論性教學(xué)內(nèi)容的難度,偏難的理論性內(nèi)容選講。例如,代數(shù)系統(tǒng)是離散數(shù)學(xué)中理論性較強(qiáng)的知識模塊,這一部分內(nèi)容的定理證明很多,而且難度也較大,為此,將這一部分內(nèi)容進(jìn)行了一定的取舍,重點(diǎn)講解半群、幺半群、群、子群、交換群、循環(huán)群等概念及其主要性質(zhì)的運(yùn)用,對于拉格朗日定理等理論性較強(qiáng)的內(nèi)容,不要求掌握具體的證明過程,只要會運(yùn)用定理的結(jié)論進(jìn)行解題。同時,側(cè)重基本概念、原理的應(yīng)用,強(qiáng)調(diào)相關(guān)知識點(diǎn)與后續(xù)其他專業(yè)課程的聯(lián)系,讓學(xué)生有“學(xué)了有用”的充實感和成就感。例如,在講解數(shù)理邏輯時,突出這部分知識與后續(xù)人工智能課程中的知識表示和知識推理的具體聯(lián)系;在講解集合論時,突出這部分知識與后續(xù)數(shù)據(jù)庫概論課程中關(guān)系代數(shù)的具體聯(lián)系;在講解圖論時,突出這部分知識與后續(xù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程中圖、樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的具體聯(lián)系。另外,結(jié)合當(dāng)前計算機(jī)學(xué)科的最新發(fā)展,適當(dāng)增加與當(dāng)前計算機(jī)前沿技術(shù)密切相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容。例如,在學(xué)習(xí)集合論的二元關(guān)系時,針對當(dāng)前大數(shù)據(jù)分析技術(shù),以百度知心等知識圖譜為例,介紹實體(概念)關(guān)系抽取在大數(shù)據(jù)分析中的實際應(yīng)用;在學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯的推理時,針對當(dāng)前智能機(jī)器人技術(shù),以谷歌AlphaGo為例,介紹AlphaGo的強(qiáng)大知識庫及其推理系統(tǒng)。

經(jīng)過這樣的教學(xué)內(nèi)容改革以后,可以為后續(xù)其他專業(yè)課程學(xué)習(xí),以及專業(yè)能力和綜合素質(zhì)培養(yǎng)打下更為扎實的基礎(chǔ)。

2.2 面向工程教育專業(yè)認(rèn)證的教學(xué)模式改革

以往離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)大多采用教師講授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式,這種教學(xué)模式本質(zhì)上是“老師當(dāng)演員,學(xué)生當(dāng)觀眾”,因此很難調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。為了培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的能力,需要按照現(xiàn)階段計算機(jī)類工程教育專業(yè)認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)的要求,對離散數(shù)學(xué)課程的現(xiàn)有教學(xué)模式進(jìn)行改革,進(jìn)一步突出以學(xué)生為中心,以學(xué)生的學(xué)習(xí)效果為質(zhì)量評價的導(dǎo)向。

為此,建議在“以學(xué)生為主體,以教師為主導(dǎo)”的工程教育專業(yè)認(rèn)證理念下,探索導(dǎo)入式、啟發(fā)式、探究式、逆向式等多元化的課程教學(xué)模式,以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性,拓展學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力,培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊合作精神和創(chuàng)新實踐能力。例如,在講解相關(guān)概念時,不是像以往那樣先給出概念的定義,再舉個例子來說明該概念,而是先給定一個例子,然后引導(dǎo)學(xué)生對這個例子進(jìn)行分析,最后由學(xué)生自己給這個概念下定義。在講解定理證明時,不是直接給出完整的證明過程,而是先將其中一些關(guān)鍵的步驟空著,然后通過講解該定理的整體證明思路,引導(dǎo)學(xué)生自己以“填空”的形式將該定理的證明過程補(bǔ)充完整。在做課堂練習(xí)時,不是像以往那樣通過點(diǎn)名喊幾名學(xué)生上黑板來做,而是留給學(xué)生一定的思考時間并鼓勵自告奮勇上黑板來做,同時在一名學(xué)生做好題目以后,不是馬上由老師對該題的正確性進(jìn)行評判,而是鼓勵臺下同學(xué)上黑板對其進(jìn)行批改,最后才由老師對該題的正確性做最終的評判。另外,還可嘗試“老師和學(xué)生同臺講課”的課堂授課方式,通過事先指導(dǎo)幾位學(xué)生提前預(yù)習(xí)課件中的教學(xué)內(nèi)容,實際授課時由老師和這幾位學(xué)生一起配合完成,經(jīng)過多次這樣的嘗試以后,學(xué)生不僅會感覺形式很新鮮,而且課堂氣氛也會得到活躍。

經(jīng)過這樣的教學(xué)模式改革以后,可以充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,培養(yǎng)學(xué)生的主動學(xué)習(xí)能力。

2.3 面向大班授課的日常教學(xué)管理方法改革

目前很多學(xué)校的離散數(shù)學(xué)課程大多實行大班授課,由于大班授課的學(xué)生來自多個不同班級,日常教學(xué)很難管理。為了確保離散數(shù)學(xué)課程的實際教學(xué)效果,需要探索更加有效的大班授課日常教學(xué)管理方法。

以某授課班級為例,由于實行的是選課制,學(xué)生分別來自計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、軟件工程、網(wǎng)絡(luò)工程、物聯(lián)網(wǎng)工程4個專業(yè)共12個班級,總?cè)藬?shù)有100多人。實際授課時遇到的最大問題就是日常教學(xué)管理問題,主要體現(xiàn)在課堂考勤時因為學(xué)生人數(shù)太多,不大可能對所有的學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)名(那樣的話太浪費(fèi)課堂時間),于是有些學(xué)習(xí)態(tài)度不端正的學(xué)生就抱著僥幸的心理經(jīng)常逃課。另外,由于在同一教室聽課的學(xué)生分別來自多個不同班級,大家彼此之間不是非常熟悉,每次交作業(yè)時大家各交各的,缺少有序的管理,發(fā)作業(yè)時也同樣遇到這個問題,這給每次收發(fā)作業(yè)帶來了很大的麻煩。為此,建議嘗試 “學(xué)生自治式”日常教學(xué)管理,并制定任務(wù)與責(zé)任并存的績效考核措施。具體地,以自然班級對學(xué)生進(jìn)行分組,每組指定小組長一名,平時的考勤、作業(yè)、討論、上機(jī)等具體管理事務(wù)交由每位小組長全權(quán)負(fù)責(zé)處理并及時上報匯總;同時,對每位小組長人選實行動態(tài)的競爭與淘汰機(jī)制,并將考勤、作業(yè)、討論、上機(jī)等平時成績與小組每位成員進(jìn)行責(zé)任掛鉤,以加強(qiáng)對小組成員的績效考核。

經(jīng)過這樣的教學(xué)管理改革以后,可以使絕大部分學(xué)生端正學(xué)習(xí)態(tài)度,進(jìn)而確保該課程的實際教學(xué)效果。

3 結(jié) 語

針對地方工科院校離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)現(xiàn)狀,突出離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容“理論適中、應(yīng)用明顯”的特點(diǎn),構(gòu)建“以學(xué)生為主體,以教師為主導(dǎo)”的教學(xué)模式,嘗試“學(xué)生自治式”日常教學(xué)管理方法,全面提高離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量。通過教學(xué)改革,可以使學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)課程的興趣和主動性普遍得到加強(qiáng),學(xué)習(xí)效果、專業(yè)能力和綜合素質(zhì)也會得到進(jìn)一步提高。

今后筆者將在該門課程教學(xué)內(nèi)容的進(jìn)一步優(yōu)化,以及 “以學(xué)生為主體”的教學(xué)模式改革等方面進(jìn)一步進(jìn)行探索。

[1]左孝凌, 李為監(jiān), 劉永才.離散數(shù)學(xué)[M]. 上海: 上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社, 1982.

[2]Bernard K R, Busby S C.Discrete mathematical structures[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2001.

[3]孫道德, 王敏生. 離散數(shù)學(xué)[M]. 合肥: 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社, 2010.

[4]汪小燕, 葉紅, 楊思春, 等. 離散數(shù)學(xué)[M]. 北京: 人民郵電出版社, 2014.