離散社會群體優(yōu)化算法求解旅行商問題

劉亞軍，陳得寶，鄒 鋒，王蘇霞,吳樂會

(淮北師范大學物理與電子信息學院，安徽淮北 235000)

[通訊作者]陳得寶(1975- )，男，教授，碩士生導師，博士，從事智能計算、模式識別研究。

社會群體優(yōu)化算法(SGO)是Suresh Satapathy等于2016年提出的一種新型優(yōu)化算法[1]，源自社會群體學習知識提高能力的過程。此算法操作簡單，易于實現(xiàn)，故在一些問題優(yōu)化中取得了良好的效果[2]。與其他算法相比，SGO算法在兩個學習階段都以群體最好的個體作為學習向導，算法的收斂速度較快。因此，在優(yōu)化領域，SGO算法在連續(xù)域問題求解上取得了不錯的效果。SGO算法作為一種新型優(yōu)化算法，在離散域問題上的應用較少。為了使SGO算法在離散問題的解決中也取得不錯的效果，本文研究離散后的SGO算法在TSP中的應用，并分析了仿真后的結果。

本文主要對SGO算法進行離散化處理，并用于求解TSP問題。首先介紹TSP問題模型和基本SGO算法，接著將基本SGO算法的運算規(guī)則進行離散化處理，最后通過TSP問題的仿真實驗。結果表明，社會群體優(yōu)化算法在解決TSP問題中具有良好的性能。

1 TSP模型和基本SGO算法

1.1 TSP問題模型

旅行商問題(Traveling Salesman Problem，TSP)是一個典型的NP完全問題[3]。TSP問題目的：從某一個城市出發(fā)，找到一條通過所有城市再回到起點的最短路徑，每座城市必須且只能訪問一次。TSP已經(jīng)被證明是NP完全問題，且在車輛調(diào)度、物流管理等方面具有廣泛的應用[4]。研究人員對此提出多種優(yōu)化算法來解決TSP問題,都取得了不錯的效果。如遺傳算法(GA)[5]、粒子群優(yōu)化算法(PSO)[6]、蟻群算法(ACO)[7]等。本文采用TSPLIB中的TSP數(shù)據(jù)作為此次實驗數(shù)據(jù)及優(yōu)化結果的對比數(shù)據(jù)。

1.2 基本SGO算法

SGO算法是一種基于社會群體學習和提升自身解決問題能力的新型優(yōu)化算法。在現(xiàn)實生活中，很多工作或者難題的處理需要多方面因素的參與。當學習者欠缺此方面的能力時，須向周圍或擁有此項能力的個體學習，以便達到相應的目的。SGO算法是基于此種思想提出的，其實現(xiàn)過程主要包含三個步驟：種群初始化、提高階段學習、獲得階段學習。

1.2.1 種群初始化

隨機初始化種群P，如式(1)所示。

Xi,j=xmin+r*(1,D)*(xmax-xmin).

(1)

其中，i=1,2,…,N，j=1,2,…,D，N為種群的規(guī)模，D為變量的維數(shù)；r∈[0,1]；xmax與xmin分別為變量的上限與下限；P為進化種群，X為個體位置。

1.2.2 提高階段學習

SGO算法在此階段采用的學習策略如式(2)所示。

Xnewi,j=c*Xoldi,j+r*(gbestj-Xoldi,j).

(2)

其中，c為自我反省參數(shù)，c∈[0,1]。文獻[1]實驗結果表明，當c為0.2時,算法效果較好；gbestj為當前最優(yōu)個體的第j維變量。Xnewi,j與Xoldi,j分別為第i個個體更新前后的第j維變量。

1.2.3 獲得階段學習

在獲得階段，每個個體從種群中隨機選擇一個個體作為學習對象，并結合當前代群體的最優(yōu)個體信息進行學習，具體學習方法如式(3)(4)所示。

Iff(Xi)isbetterthanf(Xk)：

Xnewi,j=Xoldi,j+r1*(Xi,j-Xk,j)+r2*(gbestj-Xi,j).

(3)

Else

Xnewi,j=Xoldi,j+r1*(Xk,j-Xi,j)+r2*(gbestj-Xi,j).

(4)

其中，Xi,j與Xk,j分別為個體i和個體k的第j維變量；Xnewi,j與Xoldi,j分別為第i個個體更新前后的第j維變量；gbestj為當前代最優(yōu)個體的第j維變量。

2 離散SGO算法

SGO算法最初是用來優(yōu)化連續(xù)域函數(shù)問題的，而在實際工程應用中有很多組合優(yōu)化問題屬于離散域范疇。基于這個前提，本文在基本SGO算法的基礎上發(fā)展了離散SGO算法來求解離散化問題。離散化問題的典型代表是TSP問題，本文以提出的離散SGO算法來解決TSP問題，提出的離散SGO算法易于實現(xiàn)。操作步驟：首先，使用隨機初始化策略產(chǎn)生一個具有NP個學習者的種群；其次，獲取此種群中的最優(yōu)個體作為教師；然后，在提高階段和獲得階段分別采用交叉、變異操作來生成新學習者，以此提高種群的多樣性；最后，通過對原學習者和新學習者的比較進行種群更新。

2.1 個體初始化和教師的確定

在此階段TSP問題中，采用隨機初始化方法生成學習者群體。假設群體的大小為NP，求解的TSP問題的城市規(guī)模為N，則初始化后會生成一個NP×N的矩陣。矩陣中的第i行對應著第i個學習者個體，學習者個體的每一列代表一個城市，從第1列到第N列代表著對應城市遍訪順序。第i個學習者個體的初始化公式如下：

Xi=randperm(N).

(5)

其中，randperm(N)表示產(chǎn)生一個包含數(shù)值1到N的隨機排列的N維向量。

在基本SGO算法中，種群中個體向當代本群的最好個體(即教師)學習知識，提高自身的能力，學習者的更新是根據(jù)教師來實現(xiàn)的。Teacher為種群中的最好學習者個體，其表達式如下所示：

Teacher=Best(X1,X2,…,Xi).

(6)

其中，X1,X2,…,Xi為種群中學習者個體。

2.2 離散SGO算法的提高階段

在基本SGO算法的提高階段，學習者是根據(jù)式(2)更新知識的，但這適用于優(yōu)化連續(xù)域問題，而TSP問題屬于離散化范疇。因此，應重新定義學習者的更新方法來求解TSP問題。在提高階段的更新公式如下所示：

TXi=Xi?Teacher.

(7)

其中，?表示交叉操作。

交叉操作的具體步驟可以概述如下：

假設以種群中任意兩個學習者個體A和B為例：

然后，隨機從A、B中選擇兩段基因位，并交換兩段基因位中相對應的元素，得到：

由于在AA、BB中出現(xiàn)了遍歷重復，根據(jù)位置合法性檢測，逐一交換，得到newA、newB：

以上交叉操作完成后，接著執(zhí)行變異操作來產(chǎn)生新的學習者，更新公式如下：

newXi=ΘTXi.

(8)

其中，Θ表示變異操作。

在本文中，種群中采用的是翻轉變異，其具體操作步驟如下：在城市序列中隨機選擇兩基因位，再將這兩基因位內(nèi)的子序列按反序插入原位置。如序列newA的兩基因位為2和6，則經(jīng)翻轉后，得到新學習者newAA如下：

與基本SGO算法一樣，在提高階段這兩部分操作完成后，種群會產(chǎn)生新的學習者，新的學習者的學習能力可能比原先的學習者的能力強。若是這樣，種群中學習能力強的學習者將會取代能力差的個體，其更新可以描述為：如果f(newXi)

2.3 離散SGO算法的獲得階段

在基本SGO算法的獲得階段，種群中學習者Xi是根據(jù)當前從種群中隨機選擇的學習者Xj之間的差異及當前種群最好學習者的信息進行知識更新的。在離散SGO算法中，此操作可以被定義如下：

TXi=Xi?Xj.

(9)

TXi=Xi?Teacher.

(10)

其中，?表示交叉操作，與提高階段的交叉操作一樣；Teacher=Best(X1,X2,…,Xi)。

同提高階段一樣，當交叉操作完成后，接著進行變異操作來產(chǎn)生新的學習者。獲得階段的變異采用的也是翻轉變異，其操作流程與提高階段相同，表達式如下：

newXi=ΘTXi.

(11)

其中，Θ表示變異操作。

與基本SGO算法一樣，在獲得階段這兩部分操作完成后，種群會產(chǎn)生新的學習者。學習能力強的學習者將會取代能力差的個體，其更新可以描述如下：如果f(newXi)

3 求解TSP的離散SGO算法

為了驗證離散SGO算法的有效性與正確性，選用6個TSP標準測試問題進行實驗仿真測試，并與其他4個算法進行比較，得出相應的結果。

3.1 參數(shù)設置

為了檢驗算法的有效性，選取在TSPLIB庫中不同城市樣例。選取的比較算法在合適的參數(shù)下方能達到較為理想的結果。本文選取的4個比較算法是分別是ACO[8]、ABC[9]、GA和PSO算法。GA、PSO與SGO算法的參數(shù)設置如下：

SGO：pc=2，pm=0.1；

GA：pc=0.8，pm=0.4；

PSO：pm=0.3，個體經(jīng)驗保留概率為0.25，全局經(jīng)驗保留概率為0.55。

本文所有算法的種群規(guī)模均設置成40，迭代次數(shù)設置為1000。為了測試結果的真實性，每個算法獨立運行20次。

3.2 仿真結果比較

各算法仿真結果如表1所示。KOS表示在TSPLIB中已知的最好解，加粗的數(shù)字表示各個算法對不同城市個數(shù)的TSP問題獨立運行20次時所得到的平均最優(yōu)結果。

表1 試驗結果的比較

從表1可以看出，對于burma14問題，PSO、GA與SGO算法在獨立運行20次后的平均值均能達到已知最優(yōu)解30.87；對于Oliver30問題，ACO、SGO的最優(yōu)解均是423.74，比已知最優(yōu)解相差0.24，相比較其他3種算法效果要好；對于chn31問題，SGO算法的最優(yōu)結果達到了已知最優(yōu)結果15381，而其他4種算法最優(yōu)解均不能達到已知最優(yōu)解15381；對于dantzig42問題，SGO算法最優(yōu)解692.03，要比已知最優(yōu)解699好，ABC算法同樣達到了已知最優(yōu)解；對于st70和kroA100問題，SGO算法雖都未能達到已知最優(yōu)解，但是較其他3種算法結果要好，更接近已知最優(yōu)解。從表1中數(shù)據(jù)可以看出，SGO算法在求解TSP問題上有明顯的優(yōu)勢。

為了證明SGO算法的有效性，本文以chn31為例進行簡單證明。圖1為SGO算法在chn31下最優(yōu)路徑回路圖，圖2為SGO算法在chn31下的迭代收斂曲線圖。對于SGO算法，隨著迭代的進行，算法收斂速度較快(僅迭代了180代左右就實現(xiàn)了最優(yōu))，從而搜索路徑更優(yōu)(該算法得到的最短路徑長度為15381)。由圖2可以看出，在大致迭代180代后，各代的最短路徑和平均距離保持一致。

圖1 SGO算法chn31最優(yōu)路徑圖

圖2 SGO算法chn31迭代收斂曲線

4 結語

為了更好地求解TSP問題，本文將基本SGO算法進行了離散化處理。在算法的提高階段和獲得階段分別引入了交叉與變異操作，增加了算法的多樣性，減小了算法整體陷入局部最優(yōu)的可能性。對6個不同的TSP問題進行了仿真試驗，結果證明SGO算法應用在TSP問題上的有效性。但從實驗數(shù)據(jù)可知，隨著城市規(guī)模的增大，離散SGO算法的性能也隨之降低。因此,如何改進SGO算法來解決大城市規(guī)模問題將是一個新的研究方向。

[參考文獻]

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