多種角度齊切入，平面向量巧求解
——一道模擬題的多解剖析

☉江蘇省宿遷中學(xué) 李 青

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō)過(guò)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.”對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，各類試題無(wú)疑是最熟悉的一個(gè)“問(wèn)題”.如何提升學(xué)生的解題能力，是每位老師思考的重要課題.經(jīng)過(guò)理論和教學(xué)實(shí)踐證明，一題多解是提高解題能力的有效途徑.在呈現(xiàn)不同解法的同時(shí)，暴露思維過(guò)程，得以拓展與提升.

例題 （2018屆江蘇省南通、揚(yáng)州、泰州、淮安、徐州、宿遷二模第13題）在平面四邊形ABCD中，已知AB=1，BC=4，CD=2，DA=3，則A →C·B →D的值為_(kāi)_____.

分析：平面向量的數(shù)量積問(wèn)題一直是高考題、各類模擬題中的常見(jiàn)題型，涉及數(shù)量積的求解、最值的確定、參數(shù)的求值等問(wèn)題，且往往難度較大.從哪些角度切入，如何正確破解此類問(wèn)題，是處理此類問(wèn)題的重點(diǎn)所在.

思路分析1：基底法1

故填答案：10.

圖1

圖2

思路分析2：基底法2

故填答案：10.

思路分析3：余弦定理的向量式法

故填答案：10.

思路分析4：余弦定理法

解法4：在△ABC與△ADC中，根據(jù)余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=AD2+CD2-2AD·CD·cosD，整理可得2cosB-3cosD=1.

故填答案：10.

思路分析5：一般建系法

解法5：如圖3，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)C（x1，y1），D（x2，

圖3

將②式展開(kāi)，把①和③式代入整理可得=x1x2-x1+y1y2=10.

故填答案：10.

思路分析6：特殊建系法

解法6：取特殊情況∠ABC=90°，建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，可知B（0，0），A（0，1），C（4，0），此時(shí)設(shè)點(diǎn)D（m，n）為⊙A與⊙C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).

圖4

而⊙A：x2+（y-1）2=9，⊙C：（x-4）2+y2=4，把兩圓方程對(duì)應(yīng)相減并整理可得4x-y=10. 而=（4，-1），=（m，n），則有（4，-1）·（m，n）=4m-n=10.

故填答案：10.

思路分析7：極端思維法1——解三角形

解法7：由于AB=1，BC=4，CD=2，DA=3，取極端情況（B、A、D三點(diǎn)共線，如圖5，構(gòu)成等腰△BCD），此時(shí)BC=BD=4.由余弦定=1 ×4 ×cos180°+4 ×4 ×cosB=4×（-1）+16×=10.

圖5

故填答案：10.

思路分析8：極端思維法2——四點(diǎn)共線

解法8：由于AB=1，BC=4，CD=2，DA=3，取極端情況（A、B、C、D四點(diǎn)共線），此時(shí)A（0，0），B（1，0），C（5，0），D（3，0），使其滿足以上條件，此時(shí)A →C=（5，0），B →D=（2，0），則有A →C·B →D=5×2+0×0=10.

故填答案：10.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)解法1與解法2的分析可知，在平面四邊形ABCD中，恒有成 立 ，結(jié)合其中一條對(duì)角線的中點(diǎn)，利用平面向量的中點(diǎn)公式加以轉(zhuǎn)化，結(jié)合基底法來(lái)處理是解決此類問(wèn)題的最常見(jiàn)思維；而解法3與解法4分別通過(guò)余弦定理的向量式與余弦定理來(lái)轉(zhuǎn)化，借助角，設(shè)出不求，達(dá)到求解的目的；而解法5與解法6通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)處理也是常見(jiàn)解法，解法5的一般建系法，建系后計(jì)算比較復(fù)雜，而解法6通過(guò)特殊建系法，并結(jié)合兩圓公共弦所在直線的求解進(jìn)行轉(zhuǎn)化與處理，運(yùn)算相對(duì)來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)單一點(diǎn)；特別是解法7與解法8的極端思維法，結(jié)合特殊的三角形或特殊線段來(lái)處理，有時(shí)可以達(dá)到“秒殺”的效果.

通過(guò)一題多解，我們嘗試到：這樣的問(wèn)題可以使我們的解題思路開(kāi)闊，妙法頓生，提高了解題速度，培養(yǎng)了發(fā)散思維能力，有助于激發(fā)我們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性、趣味性，從而全面提高我們的知識(shí)水平和思維廣闊性，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).F