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    二項式定理中的“七意識”

    2018-06-25 01:49:32南京大學(xué)附屬中學(xué)杭麗華
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年11期
    關(guān)鍵詞:因式展開式二項式

    ☉南京大學(xué)附屬中學(xué) 杭麗華

    二項式定理是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中較為獨特的一個知識點,其內(nèi)容篇幅不多,但其分散于教材及習(xí)題里的解法卻豐富地展示了待定系數(shù)法、特殊值法、構(gòu)造法和逆向思維等中學(xué)數(shù)學(xué)中比較常見的基本思維方法.因此對二項式定理的學(xué)習(xí)也是集中學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法、提高思維能力的好機遇,它對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展、能力培養(yǎng)和數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高十分有益.下面就二項式定理中常見的七種意識的培養(yǎng)與應(yīng)用,結(jié)合實例加以剖析.

    一、展開意識

    二項式的展開式為(a+b)n=+…++…+b(nn∈N*).對于一些次數(shù)比較小或一些特殊的二項展開式問題,直接利用展開式加以分析與解決.

    例1 若(1+)5=a+ba,b為有理數(shù)),則a+b=( ).

    A.45 B.55 C.70 D.80

    分析:直接對二項式(1+)5加以展開,并通過計算與分析求解相應(yīng)的問題即可.

    點評:本題主要考查二項式定理及其展開式,二項展開式的運算屬于基礎(chǔ)知識、基本運算.對于次數(shù)比較小,或沒有其他更好的方法時,往往就是直接對二項式進行展開,通過展開后的特點加以分析與求解.

    二、通項意識

    凡涉及二項式(a+b)n的展開式的項及其系數(shù)(如常數(shù)項的系數(shù),某特殊項的系數(shù))等問題,往往是先寫出其通項公式Tr+1=Crnan-rbr,然后再根據(jù)題意進行求解.

    例2的展開式中的常數(shù)項是______(用數(shù)字作答).

    分析:利用二項展開式的通項公式加以轉(zhuǎn)化與化簡,令其對應(yīng)的x的指數(shù)為0,求解相應(yīng)的r的值,再去求解對應(yīng)的常數(shù)項.

    解:二項展開式的通項公式為,令6-2r=0,解得r=3,則展開式中的常數(shù)項為(-1)3=-20.

    點評:本題主要考查二項展開式及其應(yīng)用.本題通過二項式定理的通項公式,結(jié)合條件熟練寫出所需的項,解題思路實質(zhì)上是利用方程思想,根據(jù)條件列出對應(yīng)的方程,從而解出對應(yīng)項的值等問題.

    三、賦值意識

    對于(1+x)n=+x+x2+…+xn的展開式是關(guān)于x的一元n次多項式,此等式是任何數(shù)集上的恒等式,給x賦值,可得到相應(yīng)的系數(shù)或系數(shù)和.

    例3若(1-2x)2018=a0+a1x+…+a2018x2018(x∈R),則的值為( ).

    A.2 B.0 C.-1 D.-2

    分析:根據(jù)要求解的二項展開式的系數(shù)所對應(yīng)的關(guān)系式,同時觀察所求關(guān)系式的特點,通過2次賦特殊值法來求解,最后結(jié)合條件轉(zhuǎn)化求值即可.

    點評:本題主要考查了二項式定理的本質(zhì)屬性,展開式為特殊關(guān)系式的和,通過兩次對恒等式進行賦特殊值,再利用整體思維達到求解的目的.二項式定理就是一個恒等式,其對一切x的允許值都能成立.當(dāng)求展開式的相關(guān)系數(shù)的關(guān)系式或者證明有關(guān)組合數(shù)的恒等式時,常常利用此方法——賦特殊值法.

    四、轉(zhuǎn)化意識

    在二項式定理的有關(guān)問題中,經(jīng)常會碰到比較復(fù)雜的多項式問題,比如多于二項的多項式或其他類型的多項式,求解時,主要是將復(fù)雜的多項式問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的二項式定理的問題來分析求解.

    點評:本題主要考查二項式定理中求特定項問題.解決問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化意識的應(yīng)用,通過把較為復(fù)雜的二項式問題進行必要的運算等轉(zhuǎn)化,使其變?yōu)檩^為簡單的常規(guī)的二項式問題,這樣處理起來就達到去繁為簡、方便簡單的目的.

    五、方程意識

    在二項式定理的有關(guān)問題中,二項式定理往往和方程中的相關(guān)問題加以綜合,根據(jù)題中問題的條件,建立相應(yīng)的方程(組),通過解方程(組)來達到目的.

    例5 已知(1+ax)5=1+10x+bx2+…+a5x5,則b=______.

    分析:通過對應(yīng)項的系數(shù)的關(guān)系式聯(lián)立方程,求解含有參數(shù)a、b的方程來求解對應(yīng)的二項式定理問題.

    解:由于Tr+1=(ax)r,結(jié)合展開式有·a1=10且a2=b,解得a=2,b=40.

    點評:主要考查二項展開式及其計算,以及求解相關(guān)的方程組.通過二項式定理通項公式的分析,結(jié)合關(guān)系式聯(lián)立方程(組),通過求解方程(組)來解決對應(yīng)的二項式定理問題.

    六、模型意識

    對于一些特殊的二項展開式問題,如果給出相關(guān)項的特征,可以結(jié)合組合模型的特征,通過從相關(guān)二項式所對應(yīng)的因式中按要求提取出相關(guān)的因式,進而達到滿足條件的目的,通過組合計數(shù)模型來解決相應(yīng)的系數(shù)問題.

    例6 (x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為( ).

    A.10 B.20 C.30 D.60

    分析:根據(jù)題目條件,把二項展開式看成5個因式,根據(jù)所求的項的特征,分配各相應(yīng)的因式中所要取的關(guān)系式,利用組合模型特征來分析與處理.

    解:在(x2+x+y)5的5個因式中,要使得取出的項為x5y2,那么應(yīng)該從這5個因式中,其中2個因式取x2,剩余的3個因式中1個取x,其余2個因式取y,這樣可使得展開式中的項滿足條件,根據(jù)組合模型的特征,可得x5y2的系數(shù)為=30.故選C.

    點評:本題主要考查二項式定理、組合的性質(zhì)與運算.解決此類問題往往回歸二項式定理的本質(zhì)特征——組合,利用組合模型特征來分析,方法巧妙,簡單易懂,同時處理問題也自然流暢.

    七、整除意識

    二項式定理的一個重要用途是用于近似計算.還可以用來證明整除或求余數(shù)問題,在證明整除或求余數(shù)問題時要進行合理的變形,使被除式(數(shù))展開后的每一項都含有除式的因式,要注意變形的技巧.

    例7 若x+x2+…+xn能被7整除,則x,n的值可能為( ).

    A.x=4,n=3 B.x=4,n=4

    C.x=5,n=4 D.x=6,n=5

    分析:逆用二項式定理,并加以變形與轉(zhuǎn)化,結(jié)合各選擇項分析與判斷能被7整除所對應(yīng)的參數(shù)值的可能取值.

    解:由于x+x2+…+xn=(1+x)n-1,只有當(dāng)x=5,n=4時,(1+x)n-1=64-1=35×37能被7整除,故選C.

    點評:主要考查二項式定理的逆向運用與對應(yīng)的運算問題.通過對二項式定理的變形,結(jié)合整除問題的特征加以判斷與選擇.

    二項式定理內(nèi)容是高考中必考內(nèi)容之一,其中二項展開式中各項及系數(shù)是考查的重點,以選擇題和填空題的形式出現(xiàn),偶爾也在解答題中出現(xiàn).在解答相應(yīng)的二項式問題時,除了需要熟練掌握公式本身,還要綜合掌握以上相關(guān)的數(shù)學(xué)意識,并加以靈活應(yīng)用.F

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