解一題，拓一類
——一道2017年全國(guó)卷Ⅱ線性規(guī)劃的變式問(wèn)題

☉江蘇省儀征市第二中學(xué) 俞仁宗

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，往往通過(guò)對(duì)典型數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決并深入觀察，從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，并得以解決問(wèn)題，真正達(dá)到“解一題拓一類，拓一類通一片”，避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，從而真正培養(yǎng)思維品質(zhì)，提升解題思維與解題能力，以不變應(yīng)萬(wàn)變.

高考真題 （2017·全國(guó)卷Ⅱ文·7，理·5）設(shè)x，y滿足則z=2x+y的最小值是（ ）.

（A）-15 （B）-9 （C）1 （D）9

分析：先根據(jù)條件作出對(duì)應(yīng)不等式組的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)并結(jié)合可行域來(lái)確定最值問(wèn)題.

解析：作出不等式組

所表示的平面區(qū)域，其是由點(diǎn)A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），對(duì)于目標(biāo)函數(shù)z=2x+y，結(jié)合圖1知，過(guò)點(diǎn)A時(shí)取得最小值，最小值為-15，故選A.

點(diǎn)評(píng)拓展：解決線性規(guī)劃問(wèn)題關(guān)鍵是先根據(jù)線性約束條件，畫(huà)出可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合相應(yīng)的幾何意義利用圖像求最值.利用線性規(guī)劃可以解決很多的相關(guān)問(wèn)題，其解決問(wèn)題的關(guān)鍵是：設(shè)出決策變量，利用圖像在線性約束條件下找出決策變量使線性目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大或最小值.

圖1

變式1：設(shè)x，y滿足約束條件則其表示的平面區(qū)域的面積為_(kāi)_____.

相似度：考查約束條件下的線性規(guī)劃可行域問(wèn)題，區(qū)別在于本題是在線性規(guī)劃可行域約束條件下平面區(qū)域的面積問(wèn)題，降低了難度，而高考真題是在給定的可行域約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最小值.

解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，其是由點(diǎn)A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），如圖2.

圖2

由于|AB|=|6-（-6）|=12，點(diǎn)C（0，1）到直線AB：y+3=0的距離為h=d=|1+3|=4，那么S=×12×4＝24.△ABC

變式2： 設(shè)x，y滿足約束條件的最大值是（ ）.

（A）15 （B）12 （C）9 （D）6

相似度：考查在線性規(guī)劃可行域約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，區(qū)別在于本題是在給定的可行域約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最大值，而高考真題是在給定的可行域約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最小值.

解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，其是由點(diǎn)A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區(qū)域（包括邊界）.

對(duì)于目標(biāo)函數(shù)z=2x+y，結(jié)合圖1知，過(guò)點(diǎn)B時(shí)取得最大值，最大值為9，故選C.

變式3：設(shè)x，y滿足約束條件的最大值為9，則實(shí)數(shù)m=（ ）.

（A）-1 （B）-2 （C）1 （D）2

相似度：考查在線性規(guī)劃可行域約束條件下目標(biāo)函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，區(qū)別在于本題根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題求解約束條件中的相關(guān)不等式中的參數(shù)值，而高考真題直接根據(jù)可行域求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題.

解析：將目標(biāo)函數(shù)變形為y=-2x+z，當(dāng)z取最大值，則直線縱截距最大，故當(dāng)m≤0時(shí)，不滿足題意；

當(dāng)m＞0時(shí)，作出不等式組其是由點(diǎn)A（-6，-3），C（0，1）圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），如圖3.對(duì)于目標(biāo)函數(shù)z=2x+y，顯然過(guò)點(diǎn)時(shí)取得最大值，最大值為z=2×-3=9，解得m=2.故選D.

圖3

變式4：設(shè)x，y滿足約束條件（k＞0）的最小值等于-15，則實(shí)數(shù)k=______.

相似度：考查在線性規(guī)劃可行域約束條件下目標(biāo)函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，區(qū)別在于本題根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題求解相應(yīng)的參數(shù)值，而高考真題直接根據(jù)可行域求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題.

解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，其是由點(diǎn)A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），如圖1.

當(dāng)k＞0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=kx+y過(guò)點(diǎn)A（-6，-3）時(shí)取得最小值為k×（-6）-3=-15，解得k=2.

變式5：設(shè)x，y滿足約束條件最小值為_(kāi)_____，最大值為_(kāi)_____.

相似度：考查在線性規(guī)劃可行域約束條件下目標(biāo)函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，區(qū)別在于本題是在給定的可行域約束條件下，結(jié)合斜率的幾何意義確定相關(guān)分式的最值問(wèn)題，增加了知識(shí)點(diǎn)與難度，而高考真題直接根據(jù)可行域求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題.

圖4

解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，其是由點(diǎn)A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），如圖4.由表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)P（包括邊界）與點(diǎn)P（-9，-5）的連線的斜率，那么由相應(yīng)的可行域可知，當(dāng)取交點(diǎn)B（6，-3）時(shí)，此時(shí)直線PB的斜率最小，即

點(diǎn)P經(jīng)過(guò)直線AC：2x-3y+3=0，此時(shí)直線PAC的斜率最大，即

變式6：設(shè)x，y滿足約束條件9）2+（y+5）2的最小值為_(kāi)_____，最大值為_(kāi)_____.

相似度：考查在線性規(guī)劃可行域約束條件下目標(biāo)函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，區(qū)別在于本題是在給定的可行域約束條件下，結(jié)合平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式確定相關(guān)等式的最值問(wèn)題，增加了知識(shí)點(diǎn)與難度，而高考真題直接根據(jù)可行域求解目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題.

解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，其是由點(diǎn)A（-6，-3），B（6，-3），C（0，1）圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），如圖4.

由于z=（x+9）2+（y+5）2表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)（包括邊界）與點(diǎn)P（-9，-5）的連線的長(zhǎng)度的平方，

那么由相應(yīng)的可行域可知，當(dāng)取交點(diǎn)B（6，-3）時(shí)，此時(shí)線段PB的長(zhǎng)度最大，即|PB|2=（6+9）2+（-3+5）2=229；

當(dāng)取交點(diǎn)A（-6，-3）時(shí)，此時(shí)線段PA的長(zhǎng)度最小，即|PA|2=（-6+9）2+（-3+5）2=13.J