問(wèn)題變式與訓(xùn)練在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用與思考

☉江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué) 李雅萍

筆者所聽(tīng)取的一節(jié)區(qū)級(jí)公開課的教學(xué)設(shè)計(jì)完整且教學(xué)環(huán)節(jié)規(guī)范，很好地實(shí)現(xiàn)了執(zhí)教者所預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)，例題設(shè)計(jì)對(duì)于學(xué)生理解、轉(zhuǎn)換以及解決問(wèn)題能力的考查也體現(xiàn)得相當(dāng)?shù)轿唬〉昧撕芎玫慕虒W(xué)效果.本文結(jié)合實(shí)際案例以及概念變式教學(xué)中的引入、表征、辨析、應(yīng)用這四個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)概念變式教學(xué)的策略進(jìn)行了積極的思考和小結(jié).

一、教學(xué)設(shè)計(jì)的分析

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，而變式教學(xué)則是問(wèn)題的驅(qū)動(dòng).變式教學(xué)的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)可以從概念性變式與過(guò)程性變式兩個(gè)方面來(lái)設(shè)計(jì)，前者借助直觀或具體的變式引入概念并使概念的本質(zhì)屬性得以凸顯，繼而得到概念的科學(xué)外延；而后者則在概念形成過(guò)程的揭示中，不斷通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置與解決使得特定經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的變式得以成功構(gòu)建.

有些教師在“弧度制”的教學(xué)中一般會(huì)單刀直入地給出角度制和弧度制之間的換算關(guān)系，然后再布置很多的習(xí)題供學(xué)生反復(fù)演練，這是不可取的.實(shí)際上，教師在概念教學(xué)中應(yīng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)自身的生長(zhǎng)點(diǎn)進(jìn)行問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的設(shè)計(jì)，使得數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成過(guò)程因?yàn)閱?wèn)題的驅(qū)動(dòng)而得到清晰的展示，才能獲得意想不到的良好教學(xué)效果.

問(wèn)題1：弧度制的引入有什么必要性呢？原有的角度制有什么不夠科學(xué)的地方？角度和實(shí)數(shù)的應(yīng)用范圍不夠廣泛，而且數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)于統(tǒng)一性也是比較注重的.

問(wèn)題2：實(shí)數(shù)用角來(lái)表示應(yīng)如何進(jìn)行？教師首先可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主思考與嘗試，并根據(jù)學(xué)生的情況進(jìn)行適時(shí)的點(diǎn)撥，啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生在圓周率等于圓的周長(zhǎng)和直徑的比值與新問(wèn)題的聯(lián)系上得到角的弧度制這一表示方法，然后再引導(dǎo)學(xué)生在此基礎(chǔ)上過(guò)渡到角度制和弧度制之間的換算方法的學(xué)習(xí)上，促進(jìn)知識(shí)框架搭建的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)使得教學(xué)創(chuàng)新在問(wèn)題設(shè)計(jì)中得到尤為生動(dòng)而具體的展現(xiàn).

問(wèn)題的變式只是變式教學(xué)中的一個(gè)很小的組成部分，基本概念辨析型變式、公式的深化變式、多證變式、應(yīng)用變式等等都是變式教學(xué)所涵蓋的豐富內(nèi)容.數(shù)學(xué)概念的抽象性大多都是比較強(qiáng)的，教師如果在概念教學(xué)中進(jìn)行簡(jiǎn)單而直接的呈現(xiàn)，學(xué)生一般都比較難以接受與理解，但如果教師在概念教學(xué)中能夠注重其變式的設(shè)計(jì)，學(xué)生就能更好地掌握概念所體現(xiàn)的客觀實(shí)際，教師再適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行進(jìn)一步的探討與變式研究，學(xué)生知其所以然后自然就會(huì)形成更加深刻的理解與感悟.

二、教學(xué)主要內(nèi)容

（一）變式引入

1.復(fù)習(xí)：

（1）小學(xué)：角度制.

單位（1°角）：圓周角的為1°，圓周長(zhǎng)l=2πr.

（2）初中：圓心角α所對(duì)的圓弧長(zhǎng)l=α.

（3）上節(jié)課：以度數(shù)形式將任意角分成正角、零角、復(fù)角.

（4）單位圓：復(fù)習(xí)以原點(diǎn)為圓心、一個(gè)單位長(zhǎng)為半徑的圓叫做單位圓.

問(wèn)題：對(duì)于一個(gè)量的度量在日常生活中有很多方法，“角”的度量一樣如此，函數(shù)的定義域、值域等問(wèn)題中關(guān)于角的研究，若仍然沿用小學(xué)時(shí)期學(xué)的角度制則會(huì)產(chǎn)生諸多不便.教師在教學(xué)中圍繞新授的概念進(jìn)行了多角度問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)，使學(xué)生輕松找到“知識(shí)的固著點(diǎn)”并為后續(xù)的概念應(yīng)用打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2.變式引入：弧度制

同一個(gè)圓中，圓心角的大小及其所對(duì)弧長(zhǎng)是一一對(duì)應(yīng)的，但半徑的變化會(huì)影響圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng).

如圖1，事實(shí)上

圖1

當(dāng)α不變時(shí)，不管l和r怎樣改變，都是同一個(gè)比值（常數(shù)）.

（二）變式表征

1.弧度數(shù)

將圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)和半徑的比值記作為α，那么，

圓心角所對(duì)的弧度數(shù)在圓的半徑是1個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)就是這個(gè)角的弧度數(shù)，即α=l.

分析：不同角所對(duì)的弧度數(shù)也各不相同，角越大，其弧度數(shù)也就越大，因此，弧度數(shù)也是可以度量角的大小的度量單位.

2.弧度的角（單位）

1弧度的角也就是我們通常所講的單位圓中長(zhǎng)是1個(gè)單位長(zhǎng)度的弧所對(duì)應(yīng)的圓心角，我們通常記作1rad.

注：（1）圓角的弧度數(shù)是2π（單位圓中，圓周長(zhǎng)l=2π）.

（2）角的正負(fù)決定了該角弧度數(shù)的正負(fù)，而零角的弧度數(shù)即為零.

如圖1，弧AB可以看成射線OA繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)A移至點(diǎn)B而形成的.

點(diǎn)A移動(dòng)的方向有順時(shí)針與逆時(shí)針兩種，可用“-”、“+”來(lái)表示其方向.若單位圓弧長(zhǎng)是3π，且所對(duì)圓心角α為負(fù)角，則α=-3π.

（3）半徑是r的圓中的任一角α的弧度數(shù)α的絕對(duì)值都會(huì)滿足：|α|=，其中l(wèi)為圓心角α所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，r為半徑.

（三）變式辨析

1.弧度制

度量角的又一個(gè)單位制.

2.角度和弧度之間的互換

360°=2πrad，πrad=180°.

注：（1）1°=，1rad=（）°≈57°18′；（2）rad常省去不寫；（3）角有角度制與弧度制兩種度量方法.

（四）變式應(yīng)用

例1 （1）將45°角化成弧度表示；

（2）將rad化成度數(shù)表示.

例2 如圖2，如果運(yùn)用弧度來(lái)表達(dá)陰影部分角的集合應(yīng)該是怎樣的呢？

變式應(yīng)用：（1）將下列各角化成角度或者弧度：

圖2

①-300°； ②π.

（2）思考：手表上的時(shí)針與分針在3∶00至5∶35這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，時(shí)針與分針?lè)謩e轉(zhuǎn)了______弧度與______的角.

作業(yè)：教材與練習(xí)冊(cè)上的習(xí)題.

小結(jié)：1.學(xué)生對(duì)于弧度制這一定義的理解；2.學(xué)生對(duì)于弧度制與角度制之間互相轉(zhuǎn)化的方法的掌握.

三、教學(xué)反思

1.學(xué)生對(duì)新概念的感悟與理解得益于變式教學(xué)的實(shí)施

學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與關(guān)鍵是對(duì)概念的正確理解，學(xué)生學(xué)習(xí)枯燥而抽象的數(shù)學(xué)概念時(shí)往往會(huì)產(chǎn)生索然無(wú)味的感覺(jué)，變式教學(xué)的實(shí)施不僅能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景與含義，還能使學(xué)生對(duì)概念、內(nèi)涵的理解更加深刻而鮮明.

2.學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成與發(fā)展得益于變式教學(xué)的實(shí)施

“一題多解”、“一題多變”這些變式教學(xué)中常用的手段能使所學(xué)知識(shí)在更多不同情境與層次中得到反復(fù)的滲透與利用，學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的再認(rèn)識(shí)與再深化往往就在這一過(guò)程中得到很好的感悟與實(shí)現(xiàn).

3.學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的保持得益于變式教學(xué)的實(shí)施

課堂教學(xué)的效果容易受到學(xué)生參與度的極大影響，變式教學(xué)的實(shí)施使得教材前后知識(shí)的銜接更加自然而流暢，難度逐步增強(qiáng)且具有鮮明層次性的習(xí)題也使學(xué)生在不斷的探索中加深對(duì)知識(shí)、原理的理解與應(yīng)用，學(xué)生在不斷變化的練習(xí)中能夠始終保持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新鮮情感與好奇心態(tài)，學(xué)習(xí)參與的動(dòng)力與熱情也使良好的學(xué)習(xí)效果得到了有力的保障.

4.復(fù)習(xí)課教學(xué)效率的提升得益于變式教學(xué)的實(shí)施

綜合性或者有一定難度的變式令學(xué)生在復(fù)習(xí)梳理與解題中不斷聯(lián)系前后所學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用由此變得更加靈活而科學(xué).

5.學(xué)生變式研究能力的鍛煉和提高得益于變式教學(xué)的實(shí)施

每年的高考試題都是一些基礎(chǔ)知識(shí)與常見(jiàn)典型例題加以變化而形成的，學(xué)生對(duì)于變式研究的能力越強(qiáng)也就越發(fā)能夠“窺得廬山真面目”，解題自然也就輕松了.

總之，教師一定要認(rèn)識(shí)到變式教學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的影響與價(jià)值，積極引導(dǎo)學(xué)生在探究、交流中不斷運(yùn)用自己所學(xué)知識(shí)進(jìn)行變式的研究與訓(xùn)練.教師在變式教學(xué)中不僅要能夠深入研究、把握概念的本質(zhì)內(nèi)涵，并且還應(yīng)該在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出更多有意義的變式問(wèn)題，還要在引導(dǎo)、培養(yǎng)學(xué)生參與變式問(wèn)題設(shè)計(jì)上動(dòng)腦筋、想辦法，使學(xué)生能夠在不斷地積極參與中不斷發(fā)揮出自己的潛在能力，這不僅是學(xué)生知識(shí)掌握水平與能力的準(zhǔn)確定位，也是教師衡量自身教學(xué)效果的檢驗(yàn)與歸宿.學(xué)生不斷變化角度對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行再認(rèn)識(shí)并逐漸升華必須倚賴變式教學(xué)的精心設(shè)計(jì)與實(shí)施，不僅如此，學(xué)生在親身參與和實(shí)踐的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中還能獲得自身數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、智力與綜合能力的良好發(fā)展.

1.李民權(quán).讓“活”字貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)課堂［J］.中學(xué)生數(shù)理化，2013（04）.

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