“模型+題組”，激活學(xué)生觀察能力*
——以“三棱錐外接球問題的模型分析和教學(xué)題組設(shè)計”為例

☉廣東省廣州市玉巖中學(xué) 吳光潮

學(xué)困生，主要是“困”在思維的活躍性未被足夠喚醒，而思維的活躍首先是觀察力的敏銳.觀察力是各種能力的基礎(chǔ)和起點，觀察力和其他能力互相促進.蘇霍姆林斯基說：“思維培養(yǎng)訓(xùn)練的本質(zhì)在于，讓學(xué)生一邊觀察一邊思考，一邊思考一邊觀察，在觀察中思考，在思考中觀察.”如何激活學(xué)生，尤其學(xué)困生的觀察能力？

本文以“三棱錐外接球問題的模型分析和教學(xué)題組設(shè)計”為例，探究“模型+題組”解題教學(xué)模式在激活學(xué)生觀察能力方面的具體做法.

一、教學(xué)背景

幾何體的外接球類組合體問題，特別適合用于考查學(xué)生的空間想象和邏輯思維能力，是高考的熱點，基本屬于必考題目，一般屬于中等難度.

對于此類問題的教學(xué)，教師通常選用典型的優(yōu)秀試題為例題，并按照“側(cè)棱垂直于底面的幾何體的外接球、側(cè)棱相等的錐體的外接球、…”分類教學(xué).學(xué)生卻總是不能統(tǒng)領(lǐng)問題的基本結(jié)構(gòu)，上課能聽懂，講過的題會做，一旦遇到變式題目，就沒了思路，錯誤率很高，并且難以糾正補償，尤其對藝術(shù)、體育特長生及其他學(xué)困生.

本教學(xué)設(shè)計以三棱錐外接球問題為例，對幾何體的外接球類組合體問題從另外一個視角進行模型分析、構(gòu)建，并設(shè)計歸類型題組教學(xué)，有效挖掘共性，突破此類問題的教學(xué)難點，激活學(xué)生在模式化訓(xùn)練之下的觀察能力，提升思維品質(zhì).

二、難點分析及教學(xué)策略

1.空間想象能力不夠——培養(yǎng)、提升空間作圖能力，固化作圖技巧和圖形視角

有關(guān)幾何體的外接球類組合體問題，學(xué)生首先面臨的一個問題是作圖能力不夠，不能準(zhǔn)確畫出符合題意，且便于觀察分析的、直觀的立體圖形；再加上空間想象力缺乏，解題一籌莫展.

為此，教師需要從最簡單的球面上三點作圖——經(jīng)過球面上三點的球截面的作圖方法開始，來逐步解決組合體的作圖問題，同時讓學(xué)生熟悉各幾何量內(nèi)在的基本數(shù)量關(guān)系.同時，引導(dǎo)學(xué)生固化個人作圖技巧、固化圖形視角，以便于答題時快速反應(yīng).

為了使作圖更有立體感、更便于觀察，在畫球內(nèi)接三棱錐的底面三角形時，通常將一點A畫在邊界上，另外兩點B、C放置于截面圓O1的圓弧其他位置.如圖1，圖2，圖3，當(dāng)△ABC分別為任意三角形、等邊三角形、直角三角形時的情形及幾何量內(nèi)在基本關(guān)系：

圖1 任意△ABC

圖2 等邊△ABC

圖3Rt△ABC

2.幾何推理思路受阻——構(gòu)建、積累基本幾何模型，理順模型內(nèi)在的邏輯聯(lián)系

我們把解決一類問題的思維過程細化為解題的步驟，這個程序化的步驟叫算法，我們視為一個模型.我們把幾何圖形或幾何體中具有或者轉(zhuǎn)化后具有某種共同基本結(jié)構(gòu)特征的幾何圖形或幾何體（局部或整體的），也視為一種模型.本文所述模型，主要指后者.

（1）常規(guī)模型.

在有關(guān)幾何體的外接球類組合體問題，教師注重通性通法的教學(xué)，給學(xué)生講解“常規(guī)模型”的基本思路.如圖4和圖5，三棱錐PABC內(nèi)接于球O，小圓圓心為O1，PP′⊥平面ABC，此模型中有兩個關(guān)鍵點和難點：

①尋找外接球的球心所在位置——OO1⊥小圓面O1，即球心在經(jīng)過小圓圓心且垂直于該小圓面的垂線上（兩個小圓面中，分別過圓心且垂直于該小圓面的垂線的交點，即為球心，如圖5）；

圖4

圖5 N為△PBC外心

②構(gòu)造平面幾何模型（如圖6）“直角梯形PP′O1O+Rt△OAO1”，其中各線段數(shù)量關(guān)系的尋找，難點在于垂足P′的位置的確定，以及高h=PP′，線段O1P′=ON的求解.

在直角梯形PP′O1O中，R2=（h-d）2+|O1P′|2；在Rt△AO1O中，R2=d2+r2；在△ABC中，三邊分別

圖6 模型“直角梯形PP′O1O+Rt△OAO1”

特別地，在圖5中，當(dāng)ON⊥平面PBC時（即N為△PBC外接圓的圓心），還有R2=ON2+PN2；

當(dāng)平面PBC⊥平面ABC，PB=PC時，P′與M重合.

關(guān)注通性通法的教學(xué)是基本原則，但此法由于上述兩個難點，基本功和接受能力一般的學(xué)生尚有難度，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、立體直觀、分析能力較弱的學(xué)困生、藝體生基本上難以順利突破.

通過長期教學(xué)實踐，結(jié)合近幾年高考及高三各地模擬試題的分析，發(fā)現(xiàn)：有關(guān)幾何體的外接球類組合體問題，基本上考查上述“常規(guī)模型”的一些特殊情況.教師幫學(xué)生構(gòu)建、積累、梳理、歸納若干如下特殊模型，各路“學(xué)渣”基本上都可以輕松順利突破此類問題.

（2）“面⊥面”模型.

在圖4中，當(dāng)平面PAC⊥面ABC，且△ABC是以AC為斜邊的直角三角形.

圖7題設(shè)：平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC（AC為小圓直徑）.

第1步：由圖知，球心O必為△PAC的外心（即△PAC在大圓面上），先求出小圓面直徑AC的長；

圖7“面⊥面”模型

第2步：在△PAC中，可根據(jù)正弦定理

圖8題設(shè)：平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=PC（AC為小圓直徑）.

第1步：確定球心O的位置，由圖8知P、O、H三點共線；

第2步：求出小圓面半徑AH=r，求出棱錐的高PH=h；

第3步：在△OAH中，勾股定理，（h-R）2+r2=R2，求出R，

圖8“面⊥面”模型特例

也可在△PAC中，可根據(jù)正弦定理，求出R.

（3）“雙直角三角形+共斜邊”模型.

圖8中，當(dāng)∠APC=∠ABC=時，顯然HP=HA=HB=HC，即H為球心.于是得到圖9模型.

圖9題設(shè)：∠APB=∠AQB=.

第1步：AB中點即為球心O的位置；

圖9“雙直角三角形共斜邊”模型

第2步，或者在等腰△POQ中，求出R.

（4）“線⊥面”模型.

圖10題設(shè)：直線PA⊥平面ABC.

第1步：將平面ABC畫在小圓面上，A為小圓面直徑一端點，作小圓面的直徑AD，連接PD，則PD中點即為球心O；

第2步：求出小圓面ABC外接圓的半徑HD=r

圖10“線⊥面”模型

第3步：在△ODH中，勾股定理，OH2+r2=R2，求出R.

圖11題設(shè)：直線PA⊥平面ABC，P的投影與△ABC的外心H重合.

第1步：確定球心O的位置，由圖知P、O、H三點共線；

第2步：求出小圓面半徑AH=r；求出棱錐的高PH=h；第3步：在△OAH中，勾股定理，（h-R）2+r2=R2，求出R.（5）“墻角”模型（三條線兩兩垂直或?qū)庀嗟鹊娜忮F）（如圖12，13，14三種情況）.

圖11“線⊥平面”模型特例

方法：將具有三條兩兩垂直線段的或?qū)庀嗟鹊娜忮F放置于長方體中，設(shè)長、寬、高分別為a，b，c.

圖14：三棱錐B′-ACD′對棱相等，設(shè)AB′=CD′=α，AC=B′D′=β，AD′=CB′=χ，

還可得到一個重要公式

圖12 AA′⊥AB⊥AD

圖13 AB⊥BC⊥CC′

圖14 三棱錐B′ACD′對棱相等

教學(xué)中，教師幫助學(xué)生分析構(gòu)建基本模型時，不僅要強化各個基本模型的結(jié)構(gòu)特征和基本結(jié)論，還要強化模型識別意識與能力，同時更要幫助學(xué)生理清這些“特殊模型形態(tài)”與“一般模型形態(tài)”之間、解法之間內(nèi)在的特殊與一般的邏輯關(guān)系.

3.模型識別意識缺乏——設(shè)計、呈現(xiàn)合理歸類題組，強化各類模型識別和應(yīng)用

在構(gòu)建了上述關(guān)于幾何體的外接球類組合體問題的求解模型后，學(xué)生會增加模型細化后記憶上的負擔(dān)，并且解題時對模型的識別意識不強，也將勞而無功.

新行為主義心理學(xué)創(chuàng)始人斯金納，認為“教學(xué)成功的關(guān)鍵就是精確地分析強化效果，并設(shè)計特定的強化列聯(lián)”.他的程序教學(xué)法要求：把教學(xué)材料科學(xué)地分解成循序漸進而又有機地相互聯(lián)系的程序性小問題，以便學(xué)生總是能積極反應(yīng)，及時反饋學(xué)習(xí)成果.根據(jù)斯金納上述觀點，設(shè)計科學(xué)合理的若干題組，分別對每種模設(shè)計歸類題組，逐個推進，最后綜合強化訓(xùn)練，增強學(xué)生模型識別意識.學(xué)生只要完成相應(yīng)題組，就可熟練掌握應(yīng)用模型的技巧，從而提升解題能力.

三、教學(xué)題組設(shè)計

教師教學(xué)過程實施注意事項：

1.教師在上述各個小模型構(gòu)建完畢后，分別進行下列各相應(yīng)題組訓(xùn)練，如此“夾敘夾議式”循環(huán)推進.

2.每個題組的題量選擇，教師根據(jù)學(xué)生落實實際效果，可部分選做，其余留課后鞏固練習(xí).

3.對于各題組中的題目，教師要強化解題的基本操作程序，引導(dǎo)學(xué)生：先在草稿紙上單獨畫出“棱錐”，熟悉相關(guān)幾何關(guān)系；然后按作圖技巧、選擇合適視角，將其“植入”球體；最后去探索思考尋找適合的基本模型求解.

4.教師根據(jù)學(xué)生落實題組情況，及時點撥、講評，同時鼓勵全體學(xué)生“能者多勞”，從而實現(xiàn)教學(xué)的“分層落實”、“同步學(xué)習(xí)與異步學(xué)習(xí)”的統(tǒng)一.

【題組1】利用“面⊥面”模型解決三棱錐外接球問題

例1 三棱錐ABCD的一條長為a，其余棱長均為1，當(dāng)三棱錐ABCD的體積最大時，它的外接球的表面積為（ ）.

例2 平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′BCD的頂點在同一個球面上，則該球的體積為（ ）.

例3 已知：直角梯形ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=4，沿AC折疊成三棱錐DABC，當(dāng)三棱錐DABC體積最大時，其外接球的表面積為（ ）.例4 已知在三棱錐PABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱錐PABC外接球的體積為______.

例5 表面積為60π的球面上有四點S、A、B、C，且△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為，若平面SAB⊥平面ABC，則三棱錐SABC體積的最大值為______.

【題組2】利用“雙直角三角形+共斜邊”模型解決三棱錐外接球問題

例6 在三棱錐SABC中，∠SAC=∠SBC=90°，SA=，則三棱錐SABC外接球的半徑為______.

【題組3】利用“線⊥面”模型解決三棱錐外接球問題

例7 已知A、B、C是球O的球面上三點，AB=2，AC=則球O的表面積為（ ）.

（A）10π （B）24π （C）36π （D）48π

例8 已知A、B、C、D在同一球的球面上，AB=BC=，AC=2，若四面體ABCD外接球的球心O恰好在側(cè)棱DA上，DC=2則該球的表面積為（ ）.

例9 已知三棱錐PABC，在底面△ABC中，∠A=，BC=，PA=2，PA⊥平面ABC，則此三棱錐的外接球的體積為（ ）.

【題組4】利用“墻角”模型解決三棱錐外接球問題

例10 在三棱錐PABC中，側(cè)面PAB、側(cè)面PAC、側(cè)面PBC兩兩互相垂直，且PA ∶PB ∶PC=1∶2∶3，設(shè)三棱錐PABC的體積為V1，三棱錐PABC的外接球的體積為V2，則

例11 已知三棱錐SABC，滿足SA、SB、SC兩兩互相垂直，且SA=SB=SC=2，Q是三棱錐SABC外接球上的一動點，則點Q到平面ABC的距離的最大值為______.

例12 三棱錐OABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=，BC=，AC=，O、A、B、C四點均在球S的球面上，則球S的表面積為______.

例13 在三棱錐PABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=，則三棱錐PABC的外接球的表面積為______.

例14 在三棱錐SABC中，SA=BC=，SB=AC=，SC=AB=，則三棱錐SABC的外接球的體積為______.

例15 已知三棱錐PABC中，PA=BC=2，PB=AC=10，PC=AB=2，則三棱錐PABC的的體積為______.

點評：這種“模型+題組”模式：模型的介入，讓學(xué)生縮短了觀察時間，提高了觀察的敏銳力.題組訓(xùn)練，首先讓學(xué)生抓住了“舉一反三”中“一”與“三”的某種相似性，在學(xué)困生頭腦中建立了一種條件反射.“模型+題組”不僅可以提高學(xué)習(xí)效率，還可以讓學(xué)生通過有效挖掘題目的共性，對模型有更深刻的理解，同時也培養(yǎng)了思維的深刻性.設(shè)計歸類型題組，對各類知識點進行拓展，加深學(xué)生對同一類問題的理解.對于同一難點知識或難度大的題目，可以圍繞難點，按照從易到難的梯度設(shè)計一系列小題，以化大為小，各個擊破.

四、教學(xué)反思

以上設(shè)計是筆者在平行班，含藝術(shù)、體育特長生教學(xué)實踐中實施成功的一些教學(xué)案例.課堂教學(xué)過程比較順利，每一個小問題，大多數(shù)學(xué)困生通常都能做出積極反應(yīng)；在課后作業(yè)和考試中，學(xué)生也都表現(xiàn)出令人滿意的遷移能力和應(yīng)變能力.這種“模型+題組”的教學(xué)模式對學(xué)困生的解題能力的提升，有著顯著效果.

“模型+題組”教學(xué)模式，首先，模型構(gòu)建過程要注意理順各模型之間的“特殊與一般”之間的邏輯關(guān)系；其次，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生積極構(gòu)建、提煉、總結(jié)“知識模型”；最后，題組設(shè)計要能很好地挖掘出深層次的知識點，縱橫聯(lián)系，讓學(xué)生不僅會解一道題，而且會解一類題，實現(xiàn)“以少勝多”的目標(biāo).

值得注意的是：本課題采用程序教學(xué)法，教師在處理教學(xué)材料時下足了功夫，但學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性發(fā)揮不夠，在課堂上要注意留時間讓學(xué)生充分的思考和交流.

“模型+題組”教學(xué)模式，問題簡潔，內(nèi)涵完整，目標(biāo)明確；構(gòu)建模型程序合理，難點分解，符合學(xué)困生的思維特點和接受方式.可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，逐步構(gòu)建起學(xué)生從“學(xué)會”到“會學(xué)”的橋梁，能夠有效激活學(xué)困生的觀察力，從而有效培養(yǎng)學(xué)困生的思維品質(zhì).此外，由于備課充分，教師在課堂上有更多的精力關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，能及時點撥釋疑，甚至及時添加類似的小題進行補償教學(xué).

1.張璐.再議有效教學(xué).教育理論與實踐，2002.3.

2.王廣余.有效課堂——數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒追求.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2009（1）.

3.許惠珍.關(guān)注基本“套路” 建構(gòu)系統(tǒng)數(shù)學(xué)認知.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2018（3）.J