液固分選流化床內顆粒動力學方程的簡化及應用

孫銘陽，韋魯濱，朱學帥，李大虎，李陽，劉俊麗

(中國礦業(yè)大學(北京)化學與環(huán)境工程學院，北京，100083)

液固分選流化床(liquid-solid fluidized bed separator, LSFBS)是一種廣義的散式流化床，既有粗重顆粒透過床層的向下運動，也有輕細顆粒由上升水流經溢流堰帶出，分選過程中床層減少的顆粒則由入料流不斷補充。從物料和流場角度講，液固分選流化床內的流化和分選都是一種動態(tài)平衡過程，所說的液固分選流化床層即為主分選區(qū)內所有顆粒在上升水流和入料流作用下所形成的液固兩相流動系統。全面考慮液固流化床層顆粒受力，精確研究顆粒?顆粒、顆粒?流體相互作用以得到準確的預測流場要付出很大的計算代價。實際上，研究顆粒在LSFBS內運動時，往往只對顆粒豎直方向的干擾沉降運動和最終分選結果感興趣，可以合理忽略液固兩相流動的一些細節(jié)，根據LSFBS主分選區(qū)的流場特點將不影響顆粒分離、分層結果的力忽略，而將不便于求解的力，如顆粒間相互作用，轉化為便于求解的形式，進而將液固流化床層固相顆粒的流動簡化。XIA等[1?2]對液固分選流化床顆粒受力分析進行了詳細研究，而深入討論各力量級以及密相流化床內顆粒間相互作用有效處理方法的研究較少。本文作者對液固分選流化床層內顆粒所受各力進行了量級比較，結合LSFBS主分選區(qū)內液固兩相流動特點，確定各力取舍或將其轉化為便于處理的形式；采用拉格朗日法，建立簡化的顆粒動力學方程來描述LSFBS內顆粒運動。最后，用Runge-Kutta算法求解不同粒度、密度顆粒的動力學方程來得到顆粒速度和位移隨時間的變化，并通過與試驗數據對比來評價該簡化的顆粒動力學方程建立過程的合理性以及方程本身的實用性。

1 LSFBS內顆粒受力分析及動力學方程的簡化

可將 LSFBS內顆粒分離過程看作上升水流作用下沿豎直方向的沉降運動，從力與顆粒運動方向可將顆粒受力分為2類，即與顆粒運動平行或垂直的作用力。重力G、流體靜壓力、流體阻力FD、虛擬質量力FV和Basset力FB與顆粒運動方向平行，其中流體阻力、虛擬質量力和Basset力又稱為顆粒所受廣義阻力；Saffman力FS和Magnus力FM與顆粒運動方向垂直，稱為廣義升力。根據牛頓第二定律，顆粒豎直方向(z方向)運動的動力學方程為

式中：mp為顆粒質量；z為顆粒豎直方向位移；Ft為顆粒豎直方向所受各力的合力，包括流體施加的作用力、質量力以及顆粒?顆粒和顆粒?器壁之間的碰撞作用FC；uP為顆粒和流體速度的軸向分量。豎直方向的顆粒動力方程用拉格朗日法可表示為

式中：Fp為壓力梯度力。

1.1 各力量級比較

顆粒所受重力與運動狀態(tài)無關，量級與慣性力相同，自始至終都不能忽略；顆粒以一定速度進入LSFBS后即受到流體阻力作用，量級與質量力及慣性力相同，亦不能忽略。將主分選區(qū)內顆粒所受壓力梯度力、虛擬質量力、Basset力、Saffman力和Magnus力量級與顆粒慣性力或流體阻力進行比較，并結合各力對顆粒豎直方向干擾沉降運動和分選結果的影響對各力進行簡化或取舍。

1.1.1 壓力梯度力

顆粒豎直方向所受壓力梯度力可表示為

式中：dP為顆粒直徑；ρF為流體密度；P為流物壓力；g為重力加速度；μF為流體軸向速度分量；D/Dt為隨體導數。

式(3)中由流場非定常引起，ρFg為流體靜壓力。LSFBS主分選區(qū)內流場可看做均勻穩(wěn)定上升水流，因此，有：

即 LSFBS主分選區(qū)內壓力梯度力可簡化為流體靜壓力，量級與重力相同，不能忽略。

1.1.2 附加質量力

顆粒豎直方向所受附加質量力表達式為

式中：KV為附加質量力系數，是加速度模數AC的函數，其表達式[3]分別為

假設顆粒粒度和密度分別為 1 mm和 1 500 kg/m3，水的密度和黏度分別取 998 kg/m3和 1.003 mPa.s，|uP?uF|取 0.01 m/s。由計算可知：LSFBS 正常運行時，顆粒與流體相對加速度絕對值不超過重力加速度，取最大值為10 m/s2，得到單位質量顆粒所受附加質量力為0.33d(uP?uF)/dt，即附加質量力與顆粒慣性力量級相同；當ρF，dP以及顆粒與流體介質間相對速度uP?uF一定時，不難發(fā)現附加質量力系數KV是相對加速度絕對值的減函數，即隨著相對加速度絕對值的減小，附加質量力與慣性力比值逐漸增大。以上分析表明，LSFBS正常運行時，顆粒所受附加質量力總是與慣性力有相同量級，因此不能忽略。

1.1.3 Magnus力和Saffman力

將 LSFBS內顆粒與流體微元速度分解為徑向和軸向 2個分量。在上升水流作用下(軸向)，因顆粒旋轉產生的 Magnus力在軸向上沒有分量，對顆粒豎直方向的干擾沉降沒有直接影響；徑向水流作用區(qū)域主要位于入料口下方較小的范圍內(其他分選區(qū)域內徑向水流速度很小，可以忽略)，該區(qū)域內因顆粒旋轉可產生軸向的Magnus力分量。

Saffman力方向與速度梯度方向平行，在LSFBS大部分分選區(qū)域內，流體速度梯度的軸向分量可以忽略，同樣只有在入料口下方區(qū)域，流體速度梯度的軸向分量才相對顯著[4?5]。

顆粒所受Magnus力如下式所示[6]

式中：ω為顆粒相對流體的旋轉角速度；CLM為Magnus力系數，高顆粒雷諾數下(ReP＜140)的升力系數修正[7]為

式中：ReP為顆粒雷諾數；ReR為顆粒相對流體的旋轉雷諾數，ReR=ρFdP.dP|ω|/μ；μ為黏度。

LSFBS內顆粒雷諾數主要位于過渡區(qū)[7]，假設顆粒自旋方向與液體速度方向垂直(升力最大)，令流體阻力系數CD=13/ReP0.5，則單位質量顆粒所受Magnus力與流體阻力之比為

假設顆粒性質與上文相同，則LSFBS內粗煤泥顆粒所受兩力之比如表1所示。

由表1可以看出：過渡區(qū)內，隨著顆粒直徑和顆粒自旋角速度增大，Magnus力與流體阻力的比值逐漸增大；當顆粒直徑大于3 mm且自旋角速度大于5 rad/s時，粗煤泥顆粒所受Magnus力量級與流體阻力相同；當顆粒直徑為1 mm、自旋角速度為1 rad/s時，顆粒所受Magnus力量級與流體阻力的比值僅為0.033。實際分選中，LSFBS入料粒度范圍一般為 0.25~1.00 mm，且LSFBS的液固流化床層為密相液固兩相流，顆粒的自旋角速度較小[2]，因此，可以將該力省略。

表1 Magnus力與流體阻力量級比較Table 1 Magnitude comparison between Magnus and drag force

顆粒所受Saffman力如下式所示[8]：

式中：ωF為流體旋度；f(α)為顆粒雷諾數和流體旋度雷諾數Reω的函數，具體形式為[9]

假設顆粒與流體的相對速度為 0.01 m/s，則0.25~3.00 mm顆粒的特征雷諾數處于2.5~30.0之間，得單位質量顆粒所受Saffman力與流體阻力比值為

計算得LSFBS內單位質量顆粒所受Saffman力與流體阻力之比如表2所示。

表2 Saffman力與流體阻力量級比較Table 2 Magnitude comparison between Saffman and drag force

由表 2可以看出：當速度梯度大于 10 s?1時，Saffman力與流體阻力量級相同。雖然在入料流射流邊界層內速度梯度的軸向分量相對顯著，但是數值模擬結果顯示也只有 10?1~100數量級[5]，且該區(qū)域的徑向和軸向范圍與整個分選區(qū)相比非常小，固亦可將Saffman力忽略。

1.1.4 Basset力

顆粒所受Basset力如下：

式中：KB為Basset力系數[3]；τ為時間。

為了精確的求解流場中顆粒運動軌跡，Basset力的求解方法以及對顆粒運動的影響受到了越來越多的關注[10?15]。采取文獻[15]中的方法，將顆粒與流體的相對加速度用差分的形式表示為常數，單位質量顆粒所受Basset力與流體阻力之比可表示為

令 Δt=t?t0，由式(12)可見，過渡區(qū)內，Basset力與流體阻力比值是顆粒粒度和Δt的函數。令分選過程中某時刻顆粒與流體相對速度為0.01 m/s，不同Δt、不同粒度顆粒所受Basset力與流體阻力比值見表3。

由表3可以看出：隨著顆粒直徑增大或Δt減小，Basset力與流體阻力之比越來越大，且 Δt對 Basset力的影響要更加顯著；當Δt小于1 s時，Basset力超過流體阻力。需要注意的是，式(11)是稀疏兩相流中顆粒所受Basset力公式，該式對于顆粒間相互作用不能忽略的密相兩相流動的適應性還需要進一步研究[16]。此外，劉小兵等[12]認為：在定常流場中運動時，可以忽略Basset力的影響；VOJIR等[17]利用微積分變換的方法[18]對不同條件下Basset力對顆粒運動的影響進行了數值研究，發(fā)現當數值計算只對時間積分效果感興趣時，在隨機流動速度場中顆粒所受到的 Basset力可以忽略。與某時刻顆粒的加速度相比，更重要的是某顆粒進入其主分選區(qū)流場后的歸屬問題，即一定分選時間內，顆粒加速度在該分選時間內的積分。鑒于液固分選流化床主分選區(qū)流場可看作定常流以及Basset力對求解某時刻顆粒的干擾沉降速度和位移影響不大，況且密相流固系統中還沒有合適的Basset力表達式，因此，將Basset力從顆粒動力學方程中省略。

表3 Basset力與流體阻力量級比較Table 3 Magnitude comparison between Basset and drag force

1.2 顆粒間相互作用的近似處理

懸浮液中顆粒間相互作用體現在2個方面。首先，顆粒之間存在直接碰撞作用；其次，周圍顆粒的存在改變了顆粒周圍流體的流動狀態(tài)，從而間接影響了顆粒的運動。

可將液固流化床層類比為準流體，以該準流體有效密度和表觀黏度來體現周圍顆粒對目標顆粒運動的影響。假設液固流化床層內共有m個密度級，每個密度級又分為n個粒度級，對于均勻穩(wěn)定的液固流化床，顆粒表面某點處所受壓力與床層高度的關系可表示為

令ρeff為液固流化床層有效密度，由式(13)得：

式中：φij為i密度級、j粒度級顆粒在床層所占體積分數；為i密度級、j粒徑級顆粒的平均密度。

床層有效動力黏度(或者稱為流變黏度，即剪切應力與此時應變速率之比)，可按 Swanson的半經驗公式[19]計算：

式中：φmax為所有組分顆粒均勻混合時所能達到的固相最大體積分數；φ為實際液固流化床層內所有顆粒組分的體積分數之和；μ0為顆粒體積分數為0時的床層動力黏度。

Swanson公式的優(yōu)點在于引進了顆粒最大堆積體積分數，有效避免了懸浮液中顆粒體積分數接近最大堆積體積分數時計算誤差偏大的問題。這種優(yōu)勢在計算顆粒干擾沉降速度時表現更為明顯。

2 顆粒動力學方程的應用

2.1 顆粒動力學方程的求解

將式(2)中廣義升力、Basset力舍去，并將其余各力中水的密度和黏度分別用床層有效密度和表觀黏度來代替以體現周圍顆粒對目標顆粒運動的影響，最終得到液固分選流化床內簡化的顆粒動力學方程為

實際生產中大部分輕細顆粒在入料口附近即完成分選，如果計算主分選區(qū)床層平均密度時包括了入料中所有顆粒，所得計算結果將高于實際情況；此外，實際床層密度是非均勻的，沿軸向有一定梯度。在用式(16)預測顆粒在LSFBS內分離過程時，可根據實驗結果將流體阻力乘以一經驗系數，以對上述2個問題進行修正。

令液固分選流化床層內均勻穩(wěn)定上升水流速度為uF=C。由于附加質量力系數含有 d(uP?uF)/dt，因此，式(16)所示的顆粒動力學方程為隱式，計算之前應將其轉化為顯式。顆粒與流體相對速度的加速度可表示為

細粒礦物分選過程中，顆粒雷諾數一般小于1 000，從準確度高和形式簡單2方面考慮，式(16)中阻力系數選擇 Schiller–Naumann模型，CD=24(1+0.15ReP0.687)/ReP。將AC，CD，uF以及式(17)代入式(16)，可得

可利用MATLAB求解式(18)，為書寫方便，將求解結果表示為

顆粒進入液固流化床層后，某時刻所處的位置通過求解下式得到：

常微分方程的求解方法主要有歐拉法、Runge-Kutta法和預估?校正法。其中，四階Runge-Kutta法的局部截斷誤差為O(h5)，被廣泛應用于求解微分方程的初值問題，本文采用經典的四階Runge-Kutta法來同時求解式(19)和式(20)。

2.2 動力學方程的驗證和應用

首先利用簡化的顆粒動力學方程來預測不同體積分數時單一組分顆粒在水中的干擾沉降運動，以驗證式(16)的準確性。

搭建了顆粒流化試驗系統如圖1所示。上升水流由平行管流體分布器射出后，在液固流化床柱體內向上流動并沿徑向逐漸均勻分布，經第 1層孔徑 0.045 mm篩網后，流體徑向速度基本實現均勻。待流化顆粒放置于第2層篩網上，第2層篩網孔徑也為0.045 mm，以得到均勻穩(wěn)定的液固流化床層，同時篩孔遠小于待流化顆粒粒徑，保證底層顆粒受到較均勻向上的流體曳力，且不會沿近壁面區(qū)漏下。

圖1 液固流化試驗系統Fig. 1 Experiment system for Liquid-Solid Fluidization

準備一定質量的粒度分別為 0.25~0.35 mm和0.63~0.75 mm煤粒以及粒度分別為0.25~0.35 mm和0.50~0.63 mm石英砂顆粒作為流化顆粒。4種流化顆粒相關性質及4種顆粒構成的初始床層性質如表4所示，其中H0為粒群在完全流化時突然讓上升水流速度為0 m/s，待顆粒在水中自由沉降完成后，在第2層篩網上形成的固體顆粒床層的初始高度，φ0則為此時固體顆粒床層對應的固體體積分數。通過比重瓶測出各組顆粒的真實密度。利用比重杯測出一定體積V下顆粒達到最密堆積時的質量MP，根據式(21)計算出各組顆粒最大堆積體積分數：

表4 流化顆粒性質Table 4 Properties of fluidized particles

穩(wěn)定流化床層形成后，某一時刻，床層內所有顆粒相對壁面的平均速度為0 m/s，因此，對于整個床層來講，此時床層內部所有顆粒整體上達到了相應顆粒體積分數下的干擾沉降末速，根據顆粒體積分數與流化速度得到此時顆粒干擾沉降末速uslip為

令H為上升水流速度為uF時顆粒床層高度，則此時液固流化床層內顆粒平均體積分數為

對0.25~0.35 mm和0.50~0.63 mm石英砂顆粒以及0.25~0.35 mm和0.63~0.75 mm煤粒不同體積分數時的干擾沉降末速進行預測，將得到的預測值與試驗值進行對比，如圖2所示。

由圖2可以看出：本文提出的簡化的顆粒動力學方程能相對精確的預測各種顆粒干擾沉降末速，其相對誤差基本可控制在5%以內。

基于 LSFBS流場和顆粒分離過程特點對顆粒動力學方程進行簡化，其最終目的在于利用簡化的顆粒動力學方程來預測入選物料(多組分顆粒)在LSFBS內的分選結果。按照文獻[20?21]中的入料性質及LSFBS結構參數，用式(16)分別預測了相應條件下入料顆粒在LSFBS內的干擾沉降運動，得到不同密度顆粒在底流中分配率的預測值與試驗值的差異如圖3所示。

由圖3可以看出：各密度級分配率的預測值都能較好地與試驗值吻合，其中，所有密度級顆粒在底流中分配率的預測值與文獻[20?21]中試驗值間的均方根誤差分別為5.05和3.33，溢流產率的相對誤差分別為2.84%和3.82%，說明式(16)能較正確地預測不同密度顆粒在LSFBS內的分選結果。

圖2 顆粒干擾沉降末速預測值與試驗值對比Fig. 2 Comparison between predicted and experimental hindered settling velocities at different particles volume fractions

圖3 顆粒分選結果預測值和試驗值對比Fig. 3 Separation results comparison between predicted and experimental values

3 結論

1)從各力量級比較結果發(fā)現LSFBS主分選區(qū)內顆粒所受壓力梯度力、附加質量力與慣性力量級相同；當顆粒直徑大于3 mm且自旋角速度大于5 rad/s或當地速度梯度大于10 s?1時都能使廣義升力達到流體阻力量級；Basset力與流體阻力之比是顆粒直徑和Δt函數，當Δt小于1 s時， Basset力可達到流體阻力量級。

2)Magnus力、Saffman力和Basset力對顆粒在豎直方向的干擾沉降運動影響很小，可將其從顆粒動力學方程中省略；而粒群干擾沉降運動對目標顆粒周圍流場的影響以及與目標顆粒的直接碰撞作用可通過液固懸浮液有效密度和有效黏度的概念來體現，其中引入顆粒最大堆積率并選擇Swanson的半經驗公式來計算液固懸浮液有效黏度。

3)簡化的顆粒動力學方程所預測的不同體積濃度下各種顆粒干擾沉降末速相對誤差基本可控制在5%以內；與2組分選試驗結果相比，所預測的各密度顆粒分配率的均方根誤差分別為5.05和3.33，溢流產率相對誤差分別為 2.84%和 3.82%，表明該簡化的顆粒動力學方程能較準確地預測顆粒在 LSFBS干擾沉降運動和分選結果，也說明根據LSFBS主分選區(qū)顆粒分離過程和流場特點對顆粒動力學方程進行簡化的思路是合理的。

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