時(shí)標(biāo)上障礙帶條件下p-Laplacian方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性

，(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

常微分方程是伴隨著微積分的產(chǎn)生和發(fā)展而逐漸成長(zhǎng)起來(lái)的一門歷史悠久的學(xué)科。在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的許多分支中，常微分方程是常用的重要工具之一。由于應(yīng)用領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大和新理論生長(zhǎng)點(diǎn)的不斷涌現(xiàn)，這一古老學(xué)科的發(fā)展至今仍充滿著生機(jī)與活力。微分方程邊值問(wèn)題是一個(gè)微分方程和一組邊界條件形成的方程組，邊值問(wèn)題的解通常是符合約束條件的微分方程的解。在物理學(xué)、生物學(xué)等中都經(jīng)常遇到邊值問(wèn)題，例如波動(dòng)方程等。

常微分方程邊值問(wèn)題是微分方程研究領(lǐng)域中一個(gè)十分重要而熱門的話題。早在1994年，Kelevedjiev[1]運(yùn)用Leary-Schauder原理討論了障礙帶條件下非線性二階兩點(diǎn)邊值問(wèn)題x′′(t)=f(t,x(t),x′(t)),t∈(0,1)分別在Dirichlet邊界條件x(0)=A,x(1)=B、Neumann邊界條件x(0)=A,x(1)=B以及混合邊界條件x(0)=A,x′(1)=B、x′(0)=A,x(1)=B下解的存在性問(wèn)題，得出了函數(shù)f在滿足一類符號(hào)條件下解的存在性定理。

在時(shí)標(biāo)理論未出現(xiàn)前，一些連續(xù)變化的現(xiàn)象或過(guò)程可以用微分方程去刻畫；對(duì)于某些離散的現(xiàn)象或變化過(guò)程，則用差分方程去描述，但對(duì)于一些既包括連續(xù)又包括離散狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型卻無(wú)從下手。時(shí)標(biāo)理論提供了一種研究實(shí)際生活中許多沒(méi)有規(guī)律現(xiàn)象的新方法，時(shí)標(biāo)理論的出現(xiàn)，引起眾多學(xué)者的關(guān)注和研究。結(jié)合時(shí)標(biāo)理論，Ma和Luo[3]運(yùn)用Leary-Schauder原理及時(shí)標(biāo)上函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并運(yùn)用截?cái)嗪瘮?shù)的技巧，結(jié)合文獻(xiàn)[1]中所用方法研究了時(shí)標(biāo)上邊值問(wèn)題

xΔΔ(t)=f(t,x(t),xΔ(t))，t∈[0,1]T，x(0)=0，xΔ(σ(1))=0

解的存在性。若將時(shí)標(biāo)T取為實(shí)數(shù)集R，即為文獻(xiàn)[1]中所研究的Dirichlet問(wèn)題。

2014年，Ma等[4]運(yùn)用拓?fù)錂M截定理研究了障礙帶條件下φ-Laplace方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題

(φ(u′))′=f(t,u,u′)，t∈(0,1)，u(0)=A，u′(1)=B

解的存在性，該文用更一般的增算子代替了p-Laplace算子，若是用p-Laplace算子作用，便是本文將時(shí)標(biāo)T推廣到實(shí)數(shù)集R的特殊情況。另外，對(duì)于不同邊值條件下解的存在性，還可以運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理、拓?fù)涠确椒?、上下解方法和非線性泛函分析等方法來(lái)研究，具體可以參考文獻(xiàn)[5-8，11-20]。

受以上文章的啟發(fā)，本文研究時(shí)標(biāo)上障礙帶條件下一類p-Laplace方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題

(φp(xΔ(t)))Δ=f(t,x(t),xΔ(t))，t∈(0,1)，

(1)

x(0)=xΔ(σ(1))=0，

(2)

或者

xΔ(σ(0))=x(1)=0，

(3)

1 預(yù)備知識(shí)

時(shí)標(biāo)T是指實(shí)直線R上的一個(gè)非空子集，當(dāng)T取R時(shí)，時(shí)標(biāo)T上的微分方程邊值問(wèn)題即是常微分方程邊值問(wèn)題。

定義1對(duì)t∈T，規(guī)定infφ=maxT。定義前跳躍算子σ：T→T為

σ(t)=inf{τ>t|τ∈T}。

對(duì)t∈T，設(shè)supφ=minT，定義后跳躍算子ρ:T→T為

ρ(t)=sup{τ

當(dāng)σ(t)>t時(shí)，稱t是右離散的:當(dāng)σ(t)=t時(shí)，稱t是右稠密的。同樣，當(dāng)ρ(t)

T上的子集TK，TK分別定義為：如果T有左離散的最大值t1，則TK=T-{t1}，否則TK=T；如果T有右離散的最小值t2，則TK=T-{t2}，否則TK=T。

T上的開區(qū)間(a,b)定義為(a,b)={t∈T|a

定義1.2設(shè)f：T→R，t∈TK。如果有R中的數(shù)fΔ(t)，使得對(duì)?ε>0，存在t的一個(gè)鄰域U，使得對(duì)所有的s∈U，都有

|f(σ(t))-f(s)-fΔ(t)(σ(t)-s)|≤ε|σ(t)-s|，

則稱fΔ(t)為f在t點(diǎn)的Δ-導(dǎo)數(shù)。若對(duì)所有的t∈TK，fΔ(t)都存在，稱f在TK上是Δ-可導(dǎo)的。

定義1.3若恒有FΔ(t)=f(t)，t∈TK，則Δ-積分定義為

引理1.1[9]設(shè)f：T→R，t∈TK，則以下各條成立：

1)如果fΔ(t)存在，則f在t點(diǎn)處連續(xù)；

4)如果fΔ(t)存在，則

f(σ(t))=f(t)+(σ(t)-t)fΔ(t)。

引理1.2[10]設(shè)X,Z為實(shí)向量賦范線性空間，L:domL?X→Z是一個(gè)指標(biāo)為0的Fredhoml算子。假定Ω?X是有界開子集，N：Ω→Z是一個(gè)L-緊算子。如果kerL={0}，0∈Ω且對(duì)所有的(u,λ)∈(domL∩?Ω)×(0,1)，

Lu-λNu≠0，

2 主要結(jié)果

定理2.1設(shè)f：[0,σ(1)]×R→R連續(xù)，L：D→C[0,1]，Lx=(φp(xΔ(t)))Δ，若存在常數(shù)C使得對(duì)邊值問(wèn)題

Lx(t)=λf(t,x(t,),xΔ(t))，t∈(0,1)，x∈D，λ∈(0,1)

(2.1)

證明：首先，證明L是一一映射。在邊值條件(1.2)下，由Lx=0可得到x(t)≡0，即kerL={0}。因此L是一一映射。令N:C2[0,σ2(1)]→C[0,1]，G:C[0,1]→C2[0,σ2(1)]，且

(Nx)(t)=f(t,x(t),xΔ(t))，t∈[0,σ(1)]，

，

則LGy=y，y∈C[0,1]，GLx=x，x∈D，于是GL是零指標(biāo)的Fredholm映射。從而得出GN:C2[0,σ2(1)]→C2[0,σ2(1)]是GL緊映射。

定理2.2設(shè)f:[0,σ(1)]×R2→R連續(xù)，假設(shè)存在Li，i=1,2,3,4，滿足L2>L1≥0，L3

f(t,u,p)≥0， (t,u,p)∈[0,1]×R×[L1,L2]，

(2.2)

f(t,u,p)≤0， (t,u,p)∈[0,1]×R×[L3,L4]，

(2.3)

則問(wèn)題(1.1)，(1.2)在C2[0,σ2(1)]中至少有一個(gè)解。

證明：考慮同倫族問(wèn)題

(φp(xΔ(t)))Δ=λf(t,x(t),xΔ(t))，t∈[0,1]，

(2.4)

x(0)=xΔ(σ(1))=0。

(2.5)

由定理2.1知，若(2.4)，(2.5)的所有可能解x在C2[0,σ2(1)]中有一個(gè)不依賴于λ∈(0,1)的先驗(yàn)界，則問(wèn)題(1)，(2)在C2[0,σ2(1)]中有解。

首先估計(jì)xΔ(t)的范數(shù)。假設(shè)集合

S0={t∈[0,σ(1)]|L1

S1={t∈[0,σ(1)]|L3≤xΔ(t)

(2.6)

則由xΔ(t)的連續(xù)性可知，可取t0∈(t0,1]∩S0，但對(duì)t∈S0，有

(φp(xΔ(t)))=λf(t,x(t),xΔ(t))≥0，

所以有

即

xΔ(t)≥xΔ(t0),t∈(t0,1]。

特別地，xΔ(σ(1))≥xΔ(t0)>L1≥0，這與邊值條件xΔ(σ(1))=0矛盾。所以S0=?。同理可證S1=?。

結(jié)合xΔ(σ(1))=0以及xΔ(t)的連續(xù)性可知

|xΔ(t)|0≤C，t∈[0,σ(1)]，

(2.7)

其中C=max{|L1|,|L4|}。

另一方面，由式(2.7)知

對(duì)t=σ2(1)，

x(σ2(1)) =x(σ(1))+xΔ(σ(1))(σ2(1)-σ(1))

≤L1σ(1)+L1(σ2(1)-σ(1))

=L1(σ2(1))，

x(σ2(1)) =x(σ(1))+xΔ(σ(1))(σ2(1)-σ(1))

≥L4σ(1)+L4(σ2(1)-σ(1))

=L4(σ2(1))，

從而有

L4(σ2(1))≤x(t)≤L1(σ2(1))，t∈[0,σ2(1)]。

綜上可得

|x|0≤Cσ2(1)，t∈[0,σ2(1)]。

類似的，可得如下定理：

定理2.3設(shè)f:[0,σ(1)]×R2→R連續(xù)，假設(shè)存在Li，i=1,2,3,4，滿足L2>L1≥0，L3

f(t,u,p)≤0， (t,u,p)∈[0,1]×R×[L1,L2]，

f(t,u,p)≥0， (t,u,p)∈[0,1]×R×[L3,L4]，

則問(wèn)題(1)，(3)在C2[0,σ2(1)]中至少有一個(gè)解。

3 例子

考慮如下邊值問(wèn)題

(φp(xΔ(t)))=(xΔ(t))2-5xΔ(t)+4，t∈[0,1]，

x(0)=xΔ(σ(1))=0，

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