觀特征，善總結(jié)，解一題，會(huì)一類

◎蔣麗亞

一元一次不等式是初中階段學(xué)習(xí)了一元一次方程和二元一次方程組之后，進(jìn)一步探究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要內(nèi)容.應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)解一元一次不等式是一項(xiàng)基本技能，也是同學(xué)們以后學(xué)習(xí)函數(shù)、一元二次方程以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ).它題型多變，綜合性強(qiáng)，所以，同學(xué)們不但要熟練掌握一般解法，還必須根據(jù)不等式不同題型的結(jié)構(gòu)特征，找出規(guī)律，靈活處理.下面提供了幾種常見題型的解決方法，希望能給同學(xué)們一些幫助.

一、求一元一次不等式的特征解

不等式的解集一般是一個(gè)取值范圍，但有時(shí)需要求未知數(shù)的某些特征解，如求正數(shù)解、整數(shù)解、非負(fù)整數(shù)解、最大整數(shù)解等，解答這類問題的關(guān)鍵是明確解的特征.

例 1 求不等式 3（1-x）≤2（x+9）的負(fù)整數(shù)解.

解：去括號(hào)得3-3x≤2x+18，

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得-5x≤15，

系數(shù)化為1，得x≥-3，

這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

由圖可知，原不等式的負(fù)整數(shù)解為-1，-2，-3.

【評(píng)析】解答這類題，一般先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來，進(jìn)而確定符合要求的特征解.

變式1 當(dāng)x取哪些正整數(shù)時(shí)，代數(shù)式2-的值不小于的值？解：根據(jù)題意，列不等式2-2x≥1-2x-3，335解這個(gè)不等式，得x≤4，所以原不等式的正整數(shù)解為1，2，3，4.

【評(píng)析】解答本題應(yīng)由條件構(gòu)造關(guān)于x的不等式，再正確求得不等式的解集，最后根據(jù)要求確定特征解.

二、利用不等式的解集求字母的值或取值范圍

在解一元一次不等式的有關(guān)問題時(shí)，我們常常會(huì)遇到有關(guān)字母的取值范圍問題，由于這類問題綜合性強(qiáng)、靈活性高，多數(shù)同學(xué)往往不能快速、準(zhǔn)確地求解.下面介紹這類問題的解題規(guī)律與方法，供同學(xué)們參考.

例2 關(guān)于x的不等式2x-3a≥-3的解集是x≥-2，求a的值.

【分析】解答這類題，首先把不等式的解集用字母表示出來，然后根據(jù)題意建立方程，從而求出相應(yīng)字母的值.

【分析】解答這類題，首先用字母表示方程的解，然后根據(jù)解的特征建立關(guān)于字母的不等式，從而求出字母的取值范圍.

解：將方程組中的兩個(gè)方程相加得3x+3y=k+4，因?yàn)閤+y＜4，所以3x+3y＜12，即k+4＜12，解得k＜8.又因?yàn)閗為正偶數(shù)，故k=2或4或6.

【評(píng)析】本題可以先解方程組，求出x、y的值（用含有k的代數(shù)式表示），然后按要求x+y＜4去求解，也可以根據(jù)方程組的特點(diǎn)，靈活地構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的不等式，運(yùn)用整體的思想求解.

變式2 如果關(guān)于x的不等式-k-x+6＞0的正整數(shù)解為1，2，3，則正整數(shù)k= .

解：由不等式-k-x+6＞0得x＜-k+6，因?yàn)閤的正整數(shù)解為1，2，3，則3＜6-k≤4，而且k又是正整數(shù)，所以-k+6只能為4，從而k的值為2.

【評(píng)析】本題要正確理解不等式的解、解集、正整數(shù)解之間的關(guān)系.

三、解含字母系數(shù)的一元一次不等式

例5 解關(guān)于x的不等式mx+2x＜5m+1.

【分析】解含有字母系數(shù)的一元一次不等式，由于系數(shù)化為1時(shí)，在不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)非零實(shí)數(shù)，如果是個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，如果是個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變.而字母系數(shù)的值是不確定的，所以要對(duì)系數(shù)進(jìn)行分類討論.

解：合并同類項(xiàng)，得（m+2）x＜5m+1.

（2）當(dāng)m+2=0時(shí)，0·x＜-9，不等式不成立，無解；

【分析】解答本題應(yīng)先轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的含有字母系數(shù)a的不等式，再分情況討論.

例6 關(guān)于x的不等式（2a-b）x+a-5b＞0的解集為x＞，求關(guān)于x的不等式ax＞b的解集.

【評(píng)析】這題雖然也是含有字母的一元一次不等式，但和例5又有區(qū)別：在解不等式時(shí)，移項(xiàng)得（2a-b）x＞5b-a，因?yàn)闂l件中解集為x＞，不等號(hào)方向沒有改變，明確了系數(shù)2a-b一定大于0，所以不需要再對(duì)系數(shù)分類討論.

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，一元一次不等式處于相當(dāng)重要的地位，同學(xué)們要正確運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)解決這類問題.在解題的過程中也經(jīng)常會(huì)用到一些常見的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比轉(zhuǎn)化等思想，希望同學(xué)們及時(shí)歸納各種題型的解題技巧和規(guī)律，善于總結(jié)，靈活運(yùn)用，不斷提升觀察能力、分析能力、解題能力.