折紙——數(shù)學(xué)之舞

飛機(jī)碼頭

說到折紙，大概每個(gè)人都折過紙飛機(jī)。說到折紙和數(shù)學(xué)有關(guān)，大概也能懵懂理解。如果我告訴你有門學(xué)問叫：折紙數(shù)理學(xué)，你會不會吃驚地反問：啥？折紙還是門科學(xué)？

Origamics，折紙數(shù)理學(xué)

“折紙”最獨(dú)一無二的特征是，一張完整的（通常是正方形）紙張，通過折疊和“整形”，可以變成任何形狀。不信你可以把折紙達(dá)人們花幾分鐘、幾小時(shí)、幾天，甚至幾個(gè)月折疊好的成果拆開，會發(fā)現(xiàn)它們還是一張完整的正方形紙張。許多折紙大師們都認(rèn)為這是像“煉金術(shù)”一樣的神奇魔術(shù)。

即使是魔術(shù)，也有科學(xué)的依據(jù)——日本筑波大學(xué)的生物化學(xué)教授芳賀和夫在等待實(shí)驗(yàn)結(jié)果的時(shí)候喜歡用折紙打發(fā)時(shí)間，在這個(gè)“游戲時(shí)間”里他發(fā)現(xiàn)了折紙與數(shù)學(xué)的重要聯(lián)系。1984年9月至1985年8月，他在日本的《數(shù)學(xué)探究》雜志發(fā)表連載文章，展示自己的徒手折疊幾何圖形的研究成果。

這就是現(xiàn)在被稱為“芳賀定理”的一組數(shù)學(xué)定理。這個(gè)定理也是一個(gè)實(shí)用的操作辦法，把正方形（紙張）的邊平均分成三等分。這是“尺規(guī)作圖”無法完成的事情。

1994年，第二屆折紙科學(xué)國際大會在日本大津市召開，芳賀和夫在會上提議，在折紙（origami）這一單詞后加上表示學(xué)術(shù)、技術(shù)的詞綴（ics），合成新的概念：折紙數(shù)理學(xué)（origamics。

2017年，麻省理工學(xué)院的天才教授Erik Demain與日本的Tomohiro Tachi從數(shù)學(xué)上證明了“折紙可以折疊出任何形狀”。這是一個(gè)里程碑，它背后的事實(shí)是：折紙?jiān)谶^去近半個(gè)世紀(jì)內(nèi)，與“計(jì)算數(shù)學(xué)”一起發(fā)展，成為其中一個(gè)極其重要的分支。

計(jì)算折紙

20世紀(jì)80年代末，美國著名折紙藝術(shù)家與科學(xué)家羅伯特朗開始用FORTRAN 77語言編程研究折紙的CP結(jié)構(gòu)。到了90年代，他開始用C++語言開發(fā)Treemaker軟件，1998年，Treemaker已經(jīng)不再是個(gè)游戲玩具而成了一個(gè)全新的設(shè)計(jì)工具，第一次能夠在計(jì)算機(jī)的幫助下，完成較為復(fù)雜的設(shè)計(jì)，這是直尺圓規(guī)鉛筆在紙上設(shè)計(jì)做不到的。

在過去的50年間，數(shù)學(xué)逐漸成為折紙?jiān)O(shè)計(jì)的重要工具，有三個(gè)主要的用途：

（1）存在性。從數(shù)學(xué)角度思考一個(gè)模型是否成立，是否能用折紙的方式形成。

（2）復(fù)雜性。預(yù)先分析折疊的復(fù)雜性。

（3）算法。使用計(jì)算機(jī)軟件是否能模擬折疊，在現(xiàn)實(shí)世界中能否折疊。

折疊語言與數(shù)學(xué)公理

在折紙的過程中不斷地拍照，把照片繪制成連續(xù)的折疊過程，這就是“折疊圖”（Origami diagram，簡稱OD），我則更喜歡稱之為“操作圖”（Operation diagram）。按圖索驥進(jìn)行折疊，就可以把白紙折疊成模型。

“折疊圖”就是一套棋譜，它用圖形語言的方式描述了折紙的過程。20世紀(jì)50年代，近現(xiàn)代“折紙之父”吉澤章在出版的書籍中首次用虛線和箭頭描述折紙過程。同一時(shí)期，這套不斷完善的符號語言在世界范圍內(nèi)迅速演化。

1956年，南美的Robert Harbin與美國人Sam Randlett開創(chuàng)了一套符號來描述折紙過程，最終成為現(xiàn)代折紙的通用國際語言。這就是現(xiàn)在被稱為吉澤章一蘭德列特系統(tǒng)（Yoshizawa-Randlett system）的圖形及符號語言，這使得折紙超越了文字語言的障礙，極大地推動了現(xiàn)代折紙的發(fā)展。

如果我們把折疊好的模型完全拆開，在紙上可以看到許多折痕，把折痕按照折疊方向用虛實(shí)線描出來，這個(gè)圖就是折痕圖，簡稱，CP（Creasepattern）。“折疊圖”（OD）與“折痕圖”（CP）共同構(gòu)成了折紙的圖像語言。前者是一個(gè)操作手冊，描繪了折疊過程；后者則像“模型”的“經(jīng)絡(luò)圖”，有經(jīng)驗(yàn)的折紙家一看到經(jīng)絡(luò)圖就知道最終模型的大概形狀。

在折紙過程中，每一步操作都是點(diǎn)和線之間的對齊折疊，這是物理世界的實(shí)際操作，也是數(shù)學(xué)世界的一種“運(yùn)算”。七大折紙公理闡述了“折疊”的數(shù)學(xué)意義，只需要初等幾何知識就能理解。

美麗的折紙：鑲嵌折

在過去數(shù)百年時(shí)間內(nèi)，不同的民族和文化形成了許多類型的折紙風(fēng)格，其中“鑲嵌折”是最有特色的一個(gè)流派。

從數(shù)學(xué)上來看，“鑲嵌問題”又稱為“馬賽克問題”，表示的是各種幾何圖形鋪滿整個(gè)平面。大自然中處處充滿這樣的圖形，蜂巢是正六邊形鑲嵌，用顯微鏡觀察樹葉放大后表皮細(xì)胞規(guī)則排列的圖案也是鑲嵌。從美術(shù)角度看，西班牙阿爾汗布拉宮清真寺是最具代表性的“鑲嵌圖案”，由幾何形狀規(guī)則排列構(gòu)成氣勢恢宏的對稱圖案，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)與幾何的美麗。

鑲嵌折折紙不僅涉及非常深奧的數(shù)學(xué)知識，最特別的地方是，通過幾何形狀創(chuàng)造出平面或者立體的“紋理”。一方面，平面紋理在光的透射下形成復(fù)雜的花紋，像萬花筒一樣變幻無窮，這又被稱為“Shadow folding'，折紙與光線的藝術(shù)。

另一方面，立體的結(jié)構(gòu)被稱為“Paper sculpture”，紙的雕塑，除了讓人眼前一亮，這些結(jié)構(gòu)還在基礎(chǔ)材料科學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、機(jī)器人工程、航空航天領(lǐng)域廣泛研究和利用，許多國際著名大學(xué)開始了一個(gè)新的研究方向“Structural origami”，研究折紙技術(shù)如何構(gòu)成形狀。

看了那么多關(guān)于折紙的介紹，你有沒有想自己動手折—折的沖動？

飛機(jī)老師專門設(shè)計(jì)了一張折疊圖紙，請讀者們來試試，看看折出來會是什么。我們現(xiàn)在就來體會一下芳賀定理把正方形紙張的每一條邊分成三等分的方法，折疊九宮格、風(fēng)車及飛鏢。

注一：折紙一般來說分為三個(gè)步驟：Precrease，預(yù)折，只把各個(gè)位置的折痕按照設(shè)定的位置和方向折好。

Squash，聚合，需要同時(shí)把紙張各個(gè)部分收縮起來。

Shaping，整形，像雕塑一樣塑造曲線和細(xì)節(jié)。

注二：我稱重復(fù)的步驟叫“輪折”。輪折形成首尾相接的一片壓著另一片的結(jié)構(gòu)。在最后一步通常會打開第一步的形狀。