直線(xiàn)參數(shù)方程的推導(dǎo)與參數(shù)t的意義

遼寧省撫順市德才高級(jí)中學(xué) 陳貴軍

筆者在從事一線(xiàn)教學(xué)過(guò)程中，講授高中數(shù)學(xué)人教B版選修4-4 《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》時(shí)，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?cè)?.2.1直線(xiàn)的參數(shù)方程中，應(yīng)用參數(shù)t的意義求解問(wèn)題始終不能得心應(yīng)手，不少同學(xué)只是機(jī)械的記憶與模仿例題去解題，不知其所以然。筆者認(rèn)為，其直接原因是同學(xué)對(duì)參數(shù)t意義理解不透徹，而導(dǎo)致這種現(xiàn)象的根本原因是直線(xiàn)參數(shù)方程的推導(dǎo)過(guò)程中，沒(méi)有突出參數(shù)t的意義造成的。本文中，介紹一下筆者認(rèn)為更為合理的直線(xiàn)參數(shù)方程的推導(dǎo)過(guò)程，希望能夠?qū)Ω魑焕蠋熁蛲瑢W(xué)研究直線(xiàn)的參數(shù)方程略有幫助，若有不當(dāng)之處歡迎各位老師和同學(xué)批評(píng)指正。

首先，我們先回顧曲線(xiàn)的參數(shù)方程的定義：

設(shè)在平面上取定了一個(gè)直角坐標(biāo)系xoy把坐標(biāo)表示為第三個(gè)變量t的函數(shù)，并且對(duì)于t的每一個(gè)值，由所確定的點(diǎn)都在一條曲線(xiàn)C上，而曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)上都可由t得某個(gè)值通過(guò)得到，則稱(chēng)就叫做這條曲線(xiàn)的參數(shù)方程。其中，變量t叫做參數(shù)。

下面，我們來(lái)研究直線(xiàn)的參數(shù)方程及其應(yīng)用。

已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，傾斜角為，設(shè)直線(xiàn)l上異于定點(diǎn)的任意一點(diǎn)。

若點(diǎn)M位于定點(diǎn)M0的上側(cè)，如圖1，設(shè)，則有，從而始終有下式成立。

若點(diǎn)M位于定點(diǎn)M0的下側(cè)，如圖2，設(shè)，則有，從而始終有下式成立。

當(dāng)直線(xiàn)主要經(jīng)過(guò)二、四象限時(shí)，研究方法相同。

結(jié)合以上情況，我們就可以得到直線(xiàn)的參數(shù)方程：

參數(shù)t的幾何意義：

（1）|t|表示參數(shù)t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到M定點(diǎn)M0的距離，即。

（2）因?yàn)閮A斜角，所以，因此，當(dāng)參數(shù)時(shí)，表示點(diǎn)M位于定點(diǎn)M0的上側(cè)；當(dāng)參數(shù)時(shí)，表示點(diǎn)M位于定點(diǎn)M0的下側(cè)。

新知體驗(yàn)：

(1)分別求時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

(2)求直線(xiàn)l的傾斜角；

(3)求直線(xiàn)l上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t，并說(shuō)明t的幾何意義.

例題2：已知直線(xiàn)L經(jīng)過(guò)點(diǎn)、傾斜角為，

1）求直線(xiàn)l的參數(shù)方程；

（2）求直線(xiàn)l和直線(xiàn)的交點(diǎn)到點(diǎn)的距離。

二、常用結(jié)論：

已知，直線(xiàn)l：(t為參數(shù))與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為ti,t2，則

說(shuō)明：因?yàn)閰?shù)方程本質(zhì)上仍為直角坐標(biāo)方程，因此中點(diǎn)公式依然成立。在本文中就不加以證明了。

例3：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)l與圓相交于兩點(diǎn)A,B，求的值。

(1)求

(2)求的中點(diǎn)M的坐標(biāo)及.（答案：16，(6,4)，