波利亞的解題理論的實(shí)踐解讀

上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 伊金鳳

“怎樣解題表“講的是“怎樣解題”“怎樣學(xué)會(huì)解題”的問(wèn)題，并按照解決問(wèn)題時(shí)思維的自然過(guò)程分成四個(gè)階段—— 弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧，描繪出解題理論的一個(gè)總體輪廓，組成了一個(gè)完整的解題教學(xué)系統(tǒng)。它集解題步驟、解題策略、解題方法于一身，融理論與實(shí)踐于一體。

下面結(jié)合示例來(lái)解讀波利亞的解題表。

弄清問(wèn)題“是認(rèn)識(shí)問(wèn)題，并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表明的過(guò)程，應(yīng)成為成功解決問(wèn)題的一個(gè)必要前提。

例 如圖：已知△ABC，AD平分∠BAC，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線，交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：DE2=BE·CE.

一、弄清問(wèn)題

在教學(xué)中，我們要幫助學(xué)生弄清問(wèn)題，可以先設(shè)計(jì)幾個(gè)有啟發(fā)性的問(wèn)題。比如：?jiǎn)栴}1：你要求解的是什么？（先明確目標(biāo)）要求解的是證明一個(gè)等積式，即DE2=BE·CE.問(wèn)題2：你有些什么？

學(xué)生的回答可能是雜亂的、無(wú)序的、想到什么就說(shuō)什么的等，要想讓學(xué)生的回答相對(duì)完整、思維有序，這就要求我們教師在平時(shí)的教學(xué)中要有意識(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)。回答這個(gè)問(wèn)題，可以從以下三個(gè)方面思考：

(1)已知量是什么？（用最精練的語(yǔ)言概括）（如：AD平分∠BAC，EG垂直平分AD）

(2)與本題相關(guān)的定義、定理、公式、法則等。（角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)）

(3)已有的解題經(jīng)驗(yàn)是什么。（是否解決過(guò)類似的問(wèn)題？）我們的解題經(jīng)驗(yàn)是：等積式可以轉(zhuǎn)化成比例式；證比例式，可以考慮證相似或比例線段。

二、擬定計(jì)劃

在整個(gè)解題表中”擬定計(jì)劃“是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容?！皵M定計(jì)劃“的過(guò)程是探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，也是一個(gè)化歸過(guò)程，波利亞的建議是分兩步走：第一，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系（模式識(shí)別），這是最簡(jiǎn)單的直接化歸；第二，如果找不出直接的聯(lián)系，就對(duì)原來(lái)的問(wèn)題做出某些必要的變更或修改，引進(jìn)輔助的問(wèn)題等，這是最實(shí)質(zhì)的曲折化歸。為此，在”怎樣解題表“中，波利亞擬出了啟發(fā)、引導(dǎo)我們不斷轉(zhuǎn)換問(wèn)題的30多個(gè)問(wèn)句或建議：把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的問(wèn)題，去考慮一個(gè)可能相關(guān)的問(wèn)題，先解決一個(gè)更特殊的問(wèn)題、或更一般的問(wèn)題、或類似的問(wèn)題，等等。都是在啟發(fā)化歸的念頭，都是在提示化歸的途徑。這實(shí)際上是闡述和應(yīng)用化歸策略，并進(jìn)行資源的提取與分配。

根據(jù)波利亞的怎樣解題表，我們的任務(wù)就是將未知量與已知量聯(lián)系起來(lái)。

問(wèn)題3：怎樣才能求得DE2=BE·CE？

問(wèn)題4：替換什么？如何進(jìn)行替換？

我們可以替換線段，也可能替換比式。先考慮替換線段。觀察圖形，我們會(huì)想到線段垂直平分線的性質(zhì)，于是，聯(lián)結(jié)AE，則AE=AD.用線段AE替換要證結(jié)論中的AD，則我們的目標(biāo)式變?yōu)榱耍?我們觀察新的比例式中的四條線段（“橫看”或“豎看”），用“三點(diǎn)定形”法，從而可證△ABE∽△CAE.

問(wèn)題5：如何證△ABE∽△CAE？

這是一典型的基本圖形，兩個(gè)三角形有一個(gè)公共角（∠AEB=∠CEA），結(jié)論讓我們證明兩邊成比例，所以我們需要再證明一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，比如想證：∠ABE=∠CAE.

問(wèn)題6：如何證∠ABE=∠CAE?

通過(guò)全等？等邊對(duì)等角？相似？我們會(huì)在心中快速地搜索可行方案，同時(shí)結(jié)合已知條件及圖形結(jié)構(gòu)特征，我們會(huì)排除全等、相似等方法。

這時(shí)，我們可能會(huì)回到原圖，進(jìn)一步搜索可以利用的條件和信息。我們有可能發(fā)現(xiàn)∠EDA=∠EAD，即∠B+∠DAB=∠CAE+∠CAD，從而∠ABE=∠CAE.

至此，我們已經(jīng)在結(jié)論與已知量之間建立起了一個(gè)不中斷的聯(lián)絡(luò)網(wǎng)，解題思路全部溝通。

三、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

這四個(gè)階段中“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃“雖為主體工作，但較為容易，是思路打通之后具體實(shí)施信息資源的邏輯配置，“我們所需要的只是耐心”。

聯(lián)結(jié)AE.

由線段垂直平分線的性質(zhì)，得AE+DE

∴∠EDA=∠EAD

即∠B+∠DAB∠CAE+∠CAD

又AD平分∠BAC，得∠DAB=∠CAD

∴ ∠ABE=∠CAE，又∠AEB=∠CAE

∴△ABE∽△CAE

四、回顧

回顧“是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來(lái)，是一個(gè)有遠(yuǎn)見(jiàn)的做法。

第一，正面檢驗(yàn)每一步，推理是有效的。

第二，“你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？”在信念上我們應(yīng)該永遠(yuǎn)而堅(jiān)定地作出肯定的回答，操作上還未實(shí)現(xiàn)只是能力問(wèn)題或暫時(shí)現(xiàn)象。對(duì)于本例，按照替換比式想法，可以有下面的解法。

再次觀察圖形結(jié)構(gòu)，注意到AD平分∠GAH，且AF⊥GH這個(gè)局部圖形。因此就會(huì)作出GF=FH的判斷。于是AD與GH互相垂直平分，所以如果聯(lián)結(jié)DG、DH，則四邊形形AGDH是菱形。

這樣我們就不難得到DH∥AB且DG∥AC，而平行線會(huì)推出比例式。

從而得證。

第三，你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他問(wèn)題？“能，我們可以把證明線段成比例的思考流程總結(jié)如下：

這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程不是單純地解題，而是通過(guò)解題獲得新知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)過(guò)程，我們的目標(biāo)不是找出可以機(jī)械地用于解決一切問(wèn)題的“萬(wàn)能方法”，而是通過(guò)對(duì)于解題過(guò)程的深入分析，特別是由已有的成功實(shí)踐，總結(jié)出一般的方法或模式，使得在以后的解題中可以起到啟發(fā)的作用，學(xué)生的推理能力也在潛移默化中得到了提升。

波利亞的這張表是他提出的數(shù)學(xué)教學(xué)要“教思考”的一個(gè)典范。前后聯(lián)系的逐步深入的所有問(wèn)句正是條理化、概括化的思維活動(dòng)的科學(xué)表達(dá)。

“怎樣解題表”講的是“怎樣解題”、“怎樣學(xué)會(huì)解題”的問(wèn)題，按照解決問(wèn)題時(shí)思維的自然過(guò)程分成四個(gè)階段——弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧，描繪出解題理論的一個(gè)總體輪廓，組成了一個(gè)完整的解題教學(xué)系統(tǒng)。它集解題步驟、解題策略、解題方法等于一身，融理論與實(shí)踐于一體。

這4個(gè)步驟需要不斷地反饋調(diào)節(jié)，即4個(gè)步驟完成了也存在反思改進(jìn)的空間：有時(shí)候思路還比較麻煩，通過(guò)反饋調(diào)節(jié)而精簡(jiǎn)；有時(shí)候思路還存在錯(cuò)誤，通過(guò)反饋調(diào)節(jié)而糾正。