混凝土溫度自應(yīng)力數(shù)值計(jì)算方法

彭曉宇

(石家莊鐵道大學(xué)土木工程系 石家莊 050043)

為了保證混凝土橋梁結(jié)構(gòu)的耐久性，控制由溫度應(yīng)力產(chǎn)生的裂縫十分重要。對(duì)于溫度應(yīng)力的計(jì)算可以分為2個(gè)部分：構(gòu)件內(nèi)部溫度不同的各部分之間相互約束而引起的應(yīng)力，稱為溫度自應(yīng)力；超靜定結(jié)構(gòu)中，構(gòu)件由于溫度變化產(chǎn)生的變形受到其他構(gòu)件或外部支承的約束而引起的應(yīng)力，稱為溫度次應(yīng)力[1]。

對(duì)于溫度應(yīng)力的計(jì)算方法，目前有理論分析法、經(jīng)驗(yàn)公式法和有限元法[2-3]，其中經(jīng)驗(yàn)公式法簡單易算，但是計(jì)算精度較差；有限元法雖然計(jì)算精度高，但是計(jì)算工作量大[4]。而早在1986年劉興發(fā)[5]就提出采用有限元差分法來計(jì)算溫度場，但是該方法受限于其求解性。

為了能在工程設(shè)計(jì)中高效準(zhǔn)確地計(jì)算出溫度自應(yīng)力，特別是在太陽輻射[6]和氣溫變化等環(huán)境因素的影響下，內(nèi)部溫度呈非線性分布的橋梁結(jié)構(gòu)的溫度自應(yīng)力，本文對(duì)溫度自應(yīng)力的計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)，根據(jù)推出的公式編寫出相關(guān)計(jì)算程序，利用軟件計(jì)算以提高設(shè)計(jì)效率，并對(duì)計(jì)算程序進(jìn)行校核，對(duì)比有限元軟件Abaqus計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證程序計(jì)算的正確性。

1 溫度自應(yīng)力推導(dǎo)

1.1 截面圖示與假定

混凝土橋梁大都采用矩形、工字形截面或箱形截面，考慮到箱形截面可以等化為工字形截面，而矩形截面是工字形截面的一個(gè)特例，因此公式推導(dǎo)和編程只考慮工字形截面的情況，其截面示意見圖1。

圖1 計(jì)算截面示意圖

推導(dǎo)假定如下。

1) 截面為“工”字形梁或箱梁。

2) 在溫度力作用下橫截面保持為平面，即符合平截面假定。

3) 橫截面上各點(diǎn)處的縱向線段均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。

1.2 公式推導(dǎo)

截面在不均勻溫度荷載作用下，其內(nèi)部軸向力與彎矩的總和均為零。據(jù)此可得式(1)、式(2)：

(1)

(2)

式中：σ為截面正應(yīng)力；dA為積分面域；Ec為混凝土彈性模量；Δε為截面應(yīng)變的變化量。

采用《鐵路橋涵設(shè)計(jì)基本規(guī)范》附錄B中溫度荷載，溫度在梁各高度處產(chǎn)生總應(yīng)變表示為

εt=αty=α·t0·e-ay

(3)

式中：α為混凝土的線膨脹系數(shù)；a為溫差曲線的指數(shù)；t0為溫差。

梁各高度處的實(shí)際應(yīng)變值為

(4)

令

Δε=(εt-ε)

(5)

可得應(yīng)力：σ=Ec·Δε

對(duì)式(1)

(6)

對(duì)式(2)

(7)

將式(3)～式(5)代入式(6)、式(7),簡化得

解得

(8)

式中：

A=b1h1-b3h1+b3(h0-h2)-

b2(h0-h2)+b2h0

b3e-a(h0-h2)+b2e-a(h0-h2)-b2e-ah0]

b3e-ah1(ah1+1)-b3e-a(h0-h2)[a(h-h2)+1]-

b2e-a(h0-h2)[a(h0-h2)+1]}

σ=EcΔε=Ec(εt-ε)=

(9)

將式(8)代入式(9)求出

式中：ε為截面應(yīng)變；A，B，C，D，E，F(xiàn)為計(jì)算參數(shù)。

2 編寫程序及校核

將上述推導(dǎo)公式用計(jì)算機(jī)語言編寫成程序，用以高效計(jì)算溫度自應(yīng)力。為了驗(yàn)證推導(dǎo)公式及編寫程序的準(zhǔn)確性，從截面在不均勻溫度荷載作用下，其截面上的軸向力與彎矩的總和均為0出發(fā)，求解程序所計(jì)算截面的軸向力及截面彎矩，判斷其是否為0。因此，校核計(jì)算可利用原程序，將整個(gè)橫截面劃分為若干段(設(shè)截面被分為NS段)，用溫度自應(yīng)力計(jì)算程序分別計(jì)算每段的軸向力及彎矩，并進(jìn)行求和，若其結(jié)果趨近于0，則證明溫度自應(yīng)力計(jì)算程序正確，計(jì)算過程如下。

假設(shè)有一工字形截面，截面對(duì)應(yīng)的參數(shù)如下：b1=1.5 m，h1=0.9 m，b2=2.3 m，h2=0.7 m，b3=0.88 m，h0=3.5 m。并取：α=10-5，a=7，t0=16 ℃，Ec=3.4×104MPa。

將上述驗(yàn)證思路編寫成程序并進(jìn)行校核計(jì)算。整理程序計(jì)算的結(jié)果，并探討不同等分塊數(shù)對(duì)應(yīng)截面軸向力及彎矩的關(guān)系，不同等分塊數(shù)與對(duì)應(yīng)的軸向力之和關(guān)系見表1及圖2，不同等分塊數(shù)與對(duì)應(yīng)的截面彎矩之和關(guān)系見表2及圖3。

表1 不同等分塊數(shù)對(duì)應(yīng)的軸向力之和

圖2 不同等分塊數(shù)對(duì)應(yīng)的軸向力之和關(guān)系曲線

NS(等分塊數(shù))∑M=∫Ωσy dA/(kN·m) 20155.8320018.1812 0001.7485 0000.79610 0000.366100 0000.035

圖3 不同等分塊數(shù)對(duì)應(yīng)的彎矩之和關(guān)系曲線

由表1、2、圖2、3可見，當(dāng)截面分段數(shù)越多，其內(nèi)力越趨近于0。計(jì)算結(jié)果與前面分析的截面在不均勻溫度荷載作用下，截面上的軸向力與彎矩的總和均為0相符。這表明工字截面溫度自應(yīng)力計(jì)算程序是正確的。

3 結(jié)合有限元軟件計(jì)算驗(yàn)證計(jì)算程序

為了進(jìn)一步證明工字截面溫度自應(yīng)力推導(dǎo)公式及計(jì)算程序的正確性。用Abaqus大型通用有限元軟件建立對(duì)應(yīng)實(shí)體模型。并分層賦予溫度以模擬溫度場的分布，然后對(duì)比計(jì)算結(jié)果。

假設(shè)一截面b1=b2=b3=1.5 m，h0=2 m，則工字形截面變?yōu)閷?.5 m、高2 m的矩形截面，取α=10-5，a=7，t0=16 ℃，Ec=3.4×104MPa，泊松比μ=0.2。

先分別取y=0.5，1 m，代入工字截面溫度自應(yīng)力計(jì)算程序，計(jì)算對(duì)應(yīng)位置的溫度自應(yīng)力，應(yīng)力計(jì)算結(jié)果分別為714，374 kPa。

然后用大型有限元軟件Abaqus建立三維有限元實(shí)體模型。不同于殼單元和梁單元可以在其厚度或梁高方向設(shè)置非線性溫度場，Abaqus實(shí)體單元只能賦予一個(gè)溫度值，因此，為了能夠模擬非線性溫度場，可以將建立的實(shí)體有限元模型沿梁高方向分為20層，然后將每層賦予對(duì)應(yīng)的溫度值。計(jì)算的溫度自應(yīng)力云圖見圖4。

圖4 Abaqus計(jì)算應(yīng)力云圖

提取y=0.5，1 m處的溫度自應(yīng)力，得應(yīng)力計(jì)算結(jié)果為710.2，376.9 kPa。

將程序計(jì)算的溫度自應(yīng)力結(jié)果與Abaqus建立實(shí)體模型計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果見表3。

表3 計(jì)算結(jié)果對(duì)比表

根據(jù)以上的校核計(jì)算結(jié)果，在y=0.5 m和y=1 m位置，本程序計(jì)算結(jié)果與Abaqus計(jì)算結(jié)果誤差在1%以下，因而可以認(rèn)為溫度自應(yīng)力計(jì)算程序正確且具有良好的精度[7]。

4 結(jié)論

1) 本文中基于3個(gè)假設(shè)下推導(dǎo)的溫度自應(yīng)力計(jì)算公式是正確的，其求解結(jié)果符合截面在不均勻溫度荷載作用下的受力特性。

2) 本程序計(jì)算的溫度應(yīng)力與Abaqus有限元軟件建立的三維有限元模型計(jì)算結(jié)果誤差在允許范圍之內(nèi)。從而證明該計(jì)算程序具有良好的精度，可應(yīng)用于工程實(shí)際計(jì)算中。

[1] 彭友松,強(qiáng)士中.混凝土橋梁結(jié)構(gòu)溫度自應(yīng)力計(jì)算方法探討[J].西南交通大學(xué)學(xué)報(bào),2006(4):452-455.

[2] 朱伯芳.大體積混凝土溫度應(yīng)力與溫度控制[M].北京：中國水利水電出版社，2012．

[3] 朱伯芳,宋敬廷.混凝土溫度場及溫度徐變應(yīng)力的有限元分析[G]//水利水電工程應(yīng)用電子計(jì)算機(jī)資料選編.北京：水利電力出版社，1977.

[4] 李國興.基Matlab的混凝土平面溫度自應(yīng)力差分解法[J].水電能源科學(xué),2016(4):78-81，27.

[5] 劉興法.預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁溫度應(yīng)力計(jì)算方法[J].土木工程學(xué)報(bào),1986(1):44-54.

[6] 徐長武,任志剛,霍凱成.太陽輻射作用下鋼管膨脹混凝土界面性能試驗(yàn)與分析[J].工程力學(xué),2015(8):201-210.

[7] 徐豐，王波，張海龍.混凝土連續(xù)箱梁橋溫度應(yīng)力對(duì)比分析[J].交通科技,2008(4):9-12.