鋼軌打磨偏轉(zhuǎn)機構(gòu)彈性動力學分析及其優(yōu)化設(shè)計

易仲慶，謝進，李石平，魏巍

(1. 西南交通大學 機械工程學院，四川 成都 610031；2. 株洲時代電子技術(shù)有限公司，湖南 株洲 412007)

列車運行速度越快，對鋼軌的平順度要求越高，對鋼軌打磨精度也就提出了更高的要求。鋼軌打磨車作業(yè)機構(gòu)驅(qū)動方式包括液動和氣動 2種方式。方立志等[1]對液動下壓打磨機構(gòu)壓力波動控制進行了分析；聶蒙等[2?3]對氣動打磨壓力波動影響機理及恒壓控制系統(tǒng)進行了分析；呂峰[4]對96磨頭鋼軌打磨車作業(yè)機構(gòu)進行了動力學研究，重點闡述了打磨單元的模態(tài)和結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。實際上，打磨車的作業(yè)過程就是砂輪對鋼軌進行磨削加工的過程。從機械加工的基本理論可知，影響加工精度的因素主要包括機械結(jié)構(gòu)誤差和控制誤差[5]，制造誤差及構(gòu)件的彈性變形均會造成作業(yè)機構(gòu)輸出運動誤差[6]。換言之，打磨車作業(yè)機構(gòu)構(gòu)件的彈性變形是影響機械結(jié)構(gòu)誤差的重要因素之一。而目前在鋼軌打磨車作業(yè)機構(gòu)中考慮構(gòu)件的彈性變形的研究卻不多見。考慮機構(gòu)構(gòu)件的彈性變形、對機構(gòu)進行動力分析的研究始于20世紀70年代后期。Erdaman等[7]將有限元法和結(jié)構(gòu)動力學中的力法和位移法引入彈性機構(gòu)分析；Bahgat等[8]采用了結(jié)構(gòu)有限元分析的位移法，利用5次埃米爾特插值函數(shù)作為梁單元的橫向位移函數(shù)，精確模擬了振型曲線，并準確求出了單元的最大應(yīng)力；張策等[9]對機構(gòu)彈性動力學建模、微分方程求解及參數(shù)優(yōu)化進行了較為系統(tǒng)的分析。本文擬以 48磨頭鋼軌打磨車偏轉(zhuǎn)機構(gòu)為研究對象，采用有限單元法，建立基于Lagrange方程的偏轉(zhuǎn)機構(gòu)彈性動力學模型。分析打磨頭橫向偏角對偏轉(zhuǎn)機構(gòu)的固有頻率以及構(gòu)件彈性對打磨精度的影響，并以搖架偏角誤差為指標對偏轉(zhuǎn)機構(gòu)進行優(yōu)化，以提高機構(gòu)的偏轉(zhuǎn)精度。

1 打磨偏轉(zhuǎn)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)和受力分析

鋼軌打磨車中打磨單元實物如圖1所示，機構(gòu)運動簡圖如圖2所示。機構(gòu)為自由度2機構(gòu)。其中

ABC為偏轉(zhuǎn)機構(gòu)，實現(xiàn)使打磨頭偏轉(zhuǎn)的功能；AD

為下壓機構(gòu)，實現(xiàn)使打磨頭下壓的功能。

圖1 打磨單元實物圖Fig. 1 Grinding unit practicality picture

圖2 機構(gòu)運動簡圖Fig. 2 Kinematic diagram of mechanism

偏轉(zhuǎn)機構(gòu)主要由搖架AB和偏轉(zhuǎn)油缸BC組成，48個磨頭的搖架工作范圍分別被設(shè)計成為在?65°～20°范圍的某一區(qū)間內(nèi)。在打磨車進行打磨作業(yè)過程中，打磨電機以3 600 r/min的轉(zhuǎn)速高速運轉(zhuǎn)，磨頭與鋼軌接觸時產(chǎn)生的磨削力作為激振力作用于偏轉(zhuǎn)機構(gòu)。

圖 2中，l1為搖架等效桿長度；l2為油缸伸縮桿伸出缸筒長度；l3為油缸缸筒長度；θ1為搖架等效桿與系統(tǒng)坐標x軸夾角；θ2為油缸與x軸夾角。θp為打磨偏角，取外側(cè)(y軸正向起始，逆時針方向)偏轉(zhuǎn)為正。

由圖2中的幾何關(guān)系可得：

在打磨作業(yè)中，偏轉(zhuǎn)機構(gòu)主要受自身重力及磨頭與鋼軌法向接觸力2個外力的作用，此二力對鉸鏈點A的力矩Me為：

式中：G為打磨單元重力；lG為打磨單元質(zhì)心到鉸鏈點A的距離；lF為磨頭與鋼軌實際接觸點到打磨頭軸線的距離；FN為磨頭與鋼軌之間的法向磨削力。

法向磨削力FN可由式(3)計算：

式中：pa為有桿腔端壓力值；Aa為有下壓油缸桿腔壓力作用面積；pb為無桿腔端壓力值；Ab為下壓油缸無桿腔壓力作用面積；M為打磨單元的總質(zhì)量；θp為油缸傾斜角度；a為磨頭受迫運動加速度。

式中：A為波磨深度；v為作業(yè)速度；γ為波磨波長。通過實驗測出lF與θp之間的關(guān)系如表1所示。

表1 lF與θp實測數(shù)據(jù)Table 1 Measured data of lF and θp

表1中數(shù)據(jù)采用二次插值函數(shù)擬合，得到：

將測得的 lG=386.44 mm，式(5)代入式(2)中，求得力矩Me：

2 偏轉(zhuǎn)機構(gòu)的彈性動力分析模型

本文采用有限單元法建立偏轉(zhuǎn)機構(gòu)的彈性動力分析模型。具體流程如圖3所示。

圖3 彈性機構(gòu)建模及分析流程圖Fig. 3 Flow chart of elastic mechanism modeling and analysis

2.1 搖架的有限單元模型

根據(jù)構(gòu)件實際形狀，將搖架簡化為平面薄板，采用平面三角形單元進行離散化。每個平面三角形單元中有3個節(jié)點，每個節(jié)點有2個廣義坐標，本文中設(shè)三角形單元為線性位移模式[10]。

利用三角形單元、對搖架進行離散化后的有限單元模型如圖4所示，模型中共包含9個單元，10個節(jié)點，由于節(jié)點1是固定的，則揺架有18個廣義坐標。

圖4 搖架有限元模型Fig. 4 Finite element model of cradle

2.2 偏轉(zhuǎn)油缸的有限單元模型

將油缸的缸筒和伸縮桿等效為2個等截面梁單元。等截面梁單元包含2個節(jié)點，一般情況下，每個節(jié)點4個廣義坐標，則一個單元有8個廣義坐標。本文中梁的橫向位移采用五次埃爾米特差值多項式，而縱向位移假設(shè)為線性分布。

利用等截面梁單元對偏轉(zhuǎn)油缸進行離散化后的有限單元模型如圖5所示。模型中共包含2個單元，3個節(jié)點，9個廣義坐標。

圖5 偏轉(zhuǎn)油缸有限元模型Fig. 5 Finite element model of deflection cylinder

2.3 偏轉(zhuǎn)機構(gòu)的有限元動力學模型

將2.1及2.2中的模型進行合成，得到打磨偏轉(zhuǎn)機構(gòu)離散后的有限單元模型，如圖6所示。

圖6 打磨偏轉(zhuǎn)機構(gòu)有限元模型Fig. 6 Finite element model of turntable mechanism for rail grinding

模型共包含11個單元，12個節(jié)點，設(shè)系統(tǒng)廣義坐標U=[ U1, U2, U3…U25]T。

每個單元具體包含的節(jié)點及廣義坐標如表2所示。其中除U9，U25和U25為曲率，U22和U24為彈性轉(zhuǎn)角外，其余均為彈性位移。

表2 單元節(jié)點及對應(yīng)的廣義坐標Table 2 Element nodes and corresponding generalized coordinates

表示單元局部坐標與整體坐標之間的關(guān)系的模型組成矩陣Iu如下：

根據(jù)圖3所示彈性機構(gòu)動力學模型建立過程，推導(dǎo)出打磨偏轉(zhuǎn)機構(gòu)系統(tǒng)運動微分方程如式(7)所示。

式中：M和K分別彈性連桿機構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣；P為廣義力列陣；rU˙為連桿機構(gòu)剛體運動加速度列陣；設(shè)Ne為單元總數(shù)，則

式中：Bi為單元協(xié)調(diào)矩陣；Ri為坐標變換矩陣；mi為單元質(zhì)量矩陣；ki為單元剛度矩陣；pi為單元廣義力矩陣。單元質(zhì)量矩陣 mi與剛度矩陣 ki具體推導(dǎo)過程參見文獻[9]，由于篇幅所限，在此不一一列出。

3 數(shù)值計算與分析

3.1 動力學響應(yīng)分析

為定性定量分析打磨機構(gòu)在不同偏角情況下作業(yè)時，機構(gòu)發(fā)生彈性變形的動態(tài)響應(yīng)，設(shè)式(3)中不含加速度的部分項為F1，即

取打磨速度v=15 km/h，波磨波長γ=0.07 m，波磨深度A=1 mm，則F1=1 800 N。代入式(3)中求得FN。

在恒功率打磨工況中l(wèi)1=0.345 m，l3=0.728 m，r1=0.02m，r2=0.036 m，彈性模量E=210 GPa，泊松比 u=0.3，密度ρ=7.85×103kg/m3，質(zhì)量 M=302 kg。

由式(2)計算得到的搖架所受力矩 Me，將其作為載荷加載到圖 6所示的節(jié)點 7中處，采用Newmark法對動力學方程式(7)進行求解。

從0.05 s開始施加載荷，計算所得打磨偏轉(zhuǎn)機構(gòu)在偏轉(zhuǎn)角度為?65°，?40°，0°和 20°，節(jié)點 7 的廣義坐標U11的動力學響應(yīng)如圖7所示。

圖7 廣義坐標U11在不同偏角下的動力學響應(yīng)Fig. 7 Dynamic response of generalized coordinate U11 under different turntable angles

從圖7所示U11動力學響應(yīng)可以看出，由于偏轉(zhuǎn)機構(gòu)自身重力及法向磨削力的影響，當偏角大于0°時，U11振蕩的中心點大于0；當偏角小于0°時，U11振蕩的中心點小于 0。而且隨著偏角絕對值增大，U11振蕩的中心點的絕對值、振幅也呈增加趨勢。

圖 8為偏角 θp=?30°時，考慮構(gòu)件彈性變形和將構(gòu)件考慮為剛性構(gòu)件的對比圖。從圖8可以看出，構(gòu)件的彈性變形使得機構(gòu)的構(gòu)態(tài)與剛性構(gòu)件的機構(gòu)構(gòu)態(tài)之間產(chǎn)生了一定的差別。

為了驗證上述模型和數(shù)值計算的正確性，本節(jié)借助有限元分析軟件Ansys對計算結(jié)果進行驗證。圖 9為偏角 θp=?30°時，數(shù)值計算和軟件仿真所得結(jié)果的對比，表3為關(guān)鍵節(jié)點位移的對比。由表3可知數(shù)值計算和軟件仿真所得結(jié)果相對誤差小于5%。

圖8 剛性機構(gòu)構(gòu)態(tài)和彈性機構(gòu)構(gòu)態(tài)Fig. 8 Configuration of rigid mechanism and elastic mechanism

圖9 Ansys軟件仿真結(jié)果Fig. 9 Simulation results of Ansys software

表3 數(shù)值計算與軟件仿真結(jié)果對比Table 3 Comparison between numerical simulation and software simulation

3.2 固有頻率分析

鋼軌打磨機構(gòu)的固有頻率分析對于打磨電機的選擇、避免共振現(xiàn)象具有重要的指導(dǎo)意義。

系統(tǒng)無阻尼自由振動系統(tǒng)微分方程可寫為：

設(shè)式(14)的解的形式為：

n為系統(tǒng)自由度個數(shù)。將式(15)代入式(14)中可以得到系統(tǒng)無阻尼振動固有頻率和振型方程式：

式中：ω為系統(tǒng)固有頻率，具有n個廣義坐標的系統(tǒng)對應(yīng)n階固有頻率；A為系統(tǒng)固有振型。

求解式(16)可以得到系統(tǒng)的各階固有頻率。機構(gòu)前 3階固有頻率隨搖架偏角 θp變化的趨勢如圖10所示。

圖10 固有頻率隨搖架偏角變化圖Fig. 10 Variation of natural frequency with cradle turntable angles

由圖10可知，當搖架偏角在?65°～20°范圍中，由式(1)可知，液壓缸伸縮桿伸出缸筒的長度l2不斷增加，機構(gòu)的柔度隨之加大，固有頻率總體呈降低趨勢：一階固有頻率從116.8 Hz降到71.2 Hz；二階固有頻率從315.7 Hz降到235.6 Hz；三階固有頻率從629.5 Hz降到396.2 Hz。三階固有頻率的下降速度高于前兩階。

現(xiàn)有打磨電機額定轉(zhuǎn)速為 3 600 r/min，即60 Hz，低于系統(tǒng)一階固有頻率的最低值71.2 Hz，說明搖架偏角在?65°～20°正常打磨范圍不會出現(xiàn)共振現(xiàn)象。

4 偏轉(zhuǎn)機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計

4.1 揺架偏角誤差分析

機構(gòu)構(gòu)件的彈性變形必將造成搖架偏角產(chǎn)生誤差 Δθp，而該誤差將影響到打磨機的打磨精度。在圖11中，點2表示搖架未受載荷時節(jié)點2的位置，點2′表示搖架受載荷后，由油缸、揺架的彈性變形導(dǎo)致的節(jié)點2的實際位置。

圖11 搖架偏角誤差原理圖Fig. 11 Error diagram of cradle turntable angle

由圖 11所示的幾何關(guān)系，可以得到搖架偏角誤差Δθp與節(jié)點2的彈性位移之間的關(guān)系式：

將 U11=Δx2，U12=Δy2，x2=lcosθp，y2=lsinθp代入式(17)中得：

式中：

從式(18)可知 Δθp與 l1，θp以及 U11，U12有關(guān)，而由式(1)可知θp與油缸的伸出長度l2，油缸缸筒長度l3及鉸鏈點C的位置xC和yC有關(guān)。

式(18)中 A(θp, xC, yC)，B(θp, xC, yC)與節(jié)點 2 的實際位置有關(guān)，需利用數(shù)值計算方法或有限元法計算得出。

4.2 機構(gòu)優(yōu)化

為提高鋼軌打磨車作業(yè)精度，須使搖架偏角誤差Δθp盡可能小。

由于打磨小車的結(jié)構(gòu)尺寸所限，打磨單元鉸鏈點C的調(diào)整范圍為xC∈[0.59,0.75]，yC∈[0.72,0.94]。顯然，如果針對每個磨頭分別進行優(yōu)化設(shè)計，則將是一項非常繁瑣的設(shè)計任務(wù)。

為簡化設(shè)計任務(wù)，本文提出的設(shè)計方法是：先確定出逼近式(18)的簡單函數(shù)關(guān)系，即以簡單的數(shù)學方程表示搖架偏角誤差 Δθp與參數(shù) θp，xC和 yC之間的函數(shù)關(guān)系式，然后，根據(jù)得到的關(guān)系式，利用優(yōu)化設(shè)計的方法，確定出使得搖架偏角誤差 Δθp為最小的、對應(yīng)一定搖擺偏角范圍鉸鏈點C的坐標取值。

為了確定式(18)的逼近函數(shù)關(guān)系，本節(jié)采用均勻試驗設(shè)計方法對偏角θp及鉸鏈點C的位置xC和yC3個因素對偏角誤差Δθp大小的影響進行分析。

均勻試驗設(shè)計表及由式(18)得到的偏角誤差如表4所示。

表1 U15(153)均勻試驗表及偏角誤差Table 4 U15(153) Uniform test table and turntable angle error

根據(jù)表4中均勻?qū)嶒灁?shù)據(jù)，采用回歸分析方法，可以建立搖架偏角誤差Δθp與參Δθp，xC和yC之間的函數(shù)關(guān)系式：

由于鉸鏈點 C的允許取值范圍為：xC[0.59,0.75]，yC∈[0.72,0.94]，則機構(gòu)的優(yōu)化數(shù)學模型為：

采用約束非線性優(yōu)化方法，計算出在?65°≤θp≤20°范圍內(nèi)，使得偏轉(zhuǎn)角誤差 Δθp最小的 xC和yC，如表5所示。

表5 不同偏角下最小誤差對應(yīng)鉸鏈點C坐標值Table 5 Minimum error corresponding to the coordinate of hinge C under different turntable angles

從表5可見，在偏角θp的?65°～20°范圍內(nèi)，最優(yōu)的鉸鏈點 C 的坐標值可以分為?65°～0°和 0°～20°2個區(qū)間，對應(yīng)這2個區(qū)間鉸鏈點C的位置xC，yC如表6所示。現(xiàn)有鋼軌打磨車上48個打磨頭的鉸鏈點C的坐標值是相同的，均為(xC, yC)=(0.60,0.94) m，對應(yīng)的偏角誤差如圖 12中的“優(yōu)化前”曲線所示。采用表6的鉸鏈點位置，得到的偏角誤差如圖12中的“優(yōu)化后”曲線所示。從圖 12中可以看出優(yōu)化后的機構(gòu)在磨頭搖架的搖擺角度?65°～20°內(nèi)的誤差的絕對值均小于現(xiàn)有的搖擺角度誤差的絕對值，尤其在?65°～?40°區(qū)間內(nèi)搖擺角度誤差絕對值明顯減小，說明本文提出的方法有效地減小了磨頭搖架的偏角誤差，提高了鋼軌的打磨精度。

表6 偏角區(qū)間與鉸鏈點C的位置對應(yīng)表Table 6 Turntable angle range corresponding to the position of hinge point C

圖12 機構(gòu)優(yōu)化前后搖架的擺角誤差對比Fig. 12 Comparison of turntable angle error before and after the mechanism optimization

5 結(jié)論

1) 采用等截面梁單元和平面三角形單元建立鋼軌打磨偏轉(zhuǎn)機構(gòu)有限元模型，建立了系統(tǒng)彈性動力學微分方程，利用數(shù)值分析的方法分析了機構(gòu)的動力學響應(yīng)和固有頻率；

2) 提出了對48個磨頭偏轉(zhuǎn)機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計方法。利用均勻?qū)嶒灥姆椒ǎ_定出了搖架偏轉(zhuǎn)角度誤差與機構(gòu)主要參數(shù)之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上確定出了使得搖架偏轉(zhuǎn)角誤差最小的機構(gòu)設(shè)計參數(shù)。結(jié)果表明：對于打磨偏轉(zhuǎn)角度在?65°～0°范圍內(nèi)的偏轉(zhuǎn)機構(gòu)與在0°～20°范圍內(nèi)的偏轉(zhuǎn)機構(gòu)的固定鉸鏈點C的坐標最優(yōu)取值應(yīng)是不同的。

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