航空發(fā)動機直通型篦齒徑向變形穩(wěn)健性優(yōu)化

陳志英，李建福，周 平，劉 勇

（北京航空航天大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，北京100191）

0 引言

篦齒封嚴結(jié)構(gòu)憑借著結(jié)構(gòu)簡單以及在高溫和高轉(zhuǎn)速下具有高可靠性等優(yōu)點在航空發(fā)動機中得到了廣泛應(yīng)用[1]。其封嚴質(zhì)量直接影響發(fā)動機的效率及可靠性，眾多學(xué)者對影響其封嚴質(zhì)量的影響因素進行了大量的研究。紀國劍[2]針對幾種典型篦齒封嚴結(jié)構(gòu)，研究了結(jié)構(gòu)尺寸、壓比及轉(zhuǎn)速等參數(shù)對篦齒封嚴特性的影響規(guī)律。胡旭東等[3]對篦齒進行了泄漏性實驗研究并得出篦齒的封嚴間隙是影響其密封效果的因素之一。張勃等[4]研究了篦齒幾何參數(shù)對對流換熱系數(shù)的影響，得出篦齒封嚴間隙是影響其變化的主要因素。杜發(fā)青等[5]通過研究篦齒幾何參數(shù)對泄漏特性的影響，發(fā)現(xiàn)封嚴間隙對泄漏特性影響顯著。而對于航空發(fā)動機渦輪篦齒結(jié)構(gòu)而言，轉(zhuǎn)子運轉(zhuǎn)時在外載荷的作用下產(chǎn)生的徑向變形會導(dǎo)致封嚴間隙變化，進而影響封嚴效果[6-7]。以上文獻研究表明封嚴間隙變化對封嚴特性有重要的影響，而篦齒徑向變形又是導(dǎo)致封嚴間隙變化的主要原因，因此對篦齒在動態(tài)下的徑向變形進行準確估計有助于更加合理地控制封嚴間隙。由于在工程實踐中篦齒結(jié)構(gòu)尺寸、材料以及載荷等參數(shù)具有不確定性，因此使得動態(tài)下的篦齒徑向變形會呈現(xiàn)不確定性，從而影響封嚴間隙的估計。因此在進行篦齒徑向變形計算時必須考慮參數(shù)不確定性的影響才更加符合工程實際。

穩(wěn)健性設(shè)計可以有效降低參數(shù)變化對目標(biāo)響應(yīng)的影響程度[8-9]，其在航空航天領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[10-12]，優(yōu)化結(jié)果表明優(yōu)化后的目標(biāo)響應(yīng)對參數(shù)變化的敏感性降低。因此對篦齒結(jié)構(gòu)徑向變形進行穩(wěn)健性設(shè)計將有效降低參數(shù)變化對篦齒徑向變形的影響程度，從而準確評估運轉(zhuǎn)狀態(tài)下的封嚴間隙變化。對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健性優(yōu)化而言，直接利用有限元方法進行優(yōu)化求解將非常耗時，不能很好地滿足工程應(yīng)用的需要。而近似模型方法如Kriging、支持向量機以及多項式響應(yīng)面的出現(xiàn)，很好地解決了復(fù)雜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化效率問題，并在工程計算中得到了廣泛應(yīng)用[13-15]。對于高度非線性復(fù)雜函數(shù)關(guān)系的擬合，支持向量機與其他近似模型相比具有小樣本、預(yù)測精度高等特點[16]，更加適合復(fù)雜模型的工程應(yīng)用計算。

本文提出一種基于最小二乘支持向量機模型的穩(wěn)健性優(yōu)化方法，對篦齒結(jié)構(gòu)徑向變形進行穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計。首先利用LS-SVM模型建立參數(shù)與篦齒徑向變形之間的近似函數(shù)模型，并進行參數(shù)靈敏度分析?？紤]到輸入?yún)?shù)中尺寸變量為區(qū)間變量，而其他參數(shù)為隨機型變量的情況，選擇分位數(shù)區(qū)間法[17]建立穩(wěn)健性優(yōu)化模型，然后對建立好的穩(wěn)健性優(yōu)化模型進行優(yōu)化求解。

1 穩(wěn)健性優(yōu)化模型

1.1 最小二乘支持向量機

最小二乘支持向量機（LS-SVM）是一種針對非線性函數(shù)擬合的高精確度近似模型方法[18]，假定一個樣本訓(xùn)練集{xi,yi}（i=1,2,…,N），其中xi∈Rn為樣本輸入，yi∈Rn為樣本輸出。根據(jù)統(tǒng)計學(xué)理論通過把支持向量機的不等式約束變?yōu)榈仁郊s束，并用平方損失函數(shù)代替不敏感損失函數(shù)，可得到最小二乘支持向量回歸機的數(shù)學(xué)模型[19]

式中：e=[e1,…,eN]，為預(yù)測值與真實值之間的誤差；c∈R+，為用來控制模型復(fù)雜度和訓(xùn)練誤差的正則化參數(shù)；φ（xi）為把輸入空間中的非線性擬合問題轉(zhuǎn)化為線性擬合問題的變換函數(shù)。

求解式（1）之前需要構(gòu)造一個Lagrange函數(shù)

式中：a=[a1,…,aN]T，為 Lagrange 乘子。

式（2）的最優(yōu)化條件即 Kuhn-Tucker（KT）條件[20]為求解得

對式（3）中的線性方程組進行求解可得LS-SVM近似模型

式中：k（x,xi）=φ（x）T·φ（xi），為核函數(shù)。

1.2 穩(wěn)健性優(yōu)化模型的建立

穩(wěn)健性優(yōu)化通過選擇合適水平的設(shè)計參數(shù)使得所有參數(shù)變化對目標(biāo)響應(yīng)影響程度降低，提出的基于LS-SVM與概率分位數(shù)區(qū)間方法的穩(wěn)健性優(yōu)化技術(shù)流程如圖1所示。

圖1 基于LS-SVM與概率分位數(shù)區(qū)間法的穩(wěn)健性優(yōu)化過程

圖1描述了穩(wěn)健性優(yōu)化模型建立的過程，其核心點包括：用有限元方法對篦齒結(jié)構(gòu)進行徑向變形確定性分析，在考慮各參數(shù)不確定性分布的情況下利用拉丁抽樣法抽取若干樣本，利用抽取的樣本建立參數(shù)與目標(biāo)響應(yīng)之間的LS-SVM近似模型。近似模型與有限元方法相比，在保證一定的計算精度的情況下，可以大大減少優(yōu)化迭代時間，提高計算效率。

考慮到近似模型預(yù)測誤差以及各參數(shù)具有不同的分布特性，選用分位數(shù)區(qū)間模型[17]建立穩(wěn)健性優(yōu)化模型。分位數(shù)區(qū)間模型的使用可降低由于參數(shù)分布不同以及近似模型計算誤差對目標(biāo)響應(yīng)統(tǒng)計結(jié)果的影響，提高計算結(jié)果的可信度。

2 篦齒徑向變形的穩(wěn)健性優(yōu)化

選取某發(fā)動機渦輪轉(zhuǎn)子篦齒封嚴結(jié)構(gòu)，篦齒環(huán)與轉(zhuǎn)子左側(cè)套筒之間為面-面接觸式連接，具體結(jié)構(gòu)如圖2（a）所示。圖2（a）左側(cè)為篦齒封嚴結(jié)構(gòu)局部示意圖，從圖中可以看出篦齒封嚴間隙c隨著篦齒徑向變形而發(fā)生變化。

2.1 有限元模型與參數(shù)

首先利用UG軟件對選取的某發(fā)動機渦輪轉(zhuǎn)子與篦齒結(jié)構(gòu)進行建模，然后導(dǎo)入有限元軟件ANSYS中進行熱-機械耦合徑向變形分析，建立的有限元計算模型如圖2（b）所示。其中渦輪盤材料牌號為GH4033，渦輪葉片材料牌號為K419，篦齒材料牌號為GH742。接觸問題采用面-面接觸并用罰函數(shù)法求解，接觸摩擦系數(shù)取0.3。有限元分析過程中溫度載荷通過給定盤心以及葉尖溫度以函數(shù)插值方式加入到渦輪轉(zhuǎn)子。

圖2 直通型篦齒結(jié)構(gòu)

由于篦齒環(huán)與渦輪盤套筒的面-面連接特點，渦輪盤套筒的徑向變形與篦齒環(huán)的徑向變形相互影響。在不影響渦輪轉(zhuǎn)子徑向尺寸鏈初始設(shè)計的情況下，選取渦輪盤部件5個位置的尺寸作為設(shè)計參數(shù)，具體選取位置如圖2（a）所示。其中X1為輪盤輻板中間位置的軸向尺寸，X2和X3分別為輪盤左側(cè)和右側(cè)套筒邊緣到輪盤中心線的軸向尺寸。綜合考慮渦輪部件許用強度以及部件質(zhì)量，以設(shè)計參數(shù)的初始設(shè)計值為優(yōu)化區(qū)間上限進行質(zhì)量約束，以輪盤強度為約束設(shè)定設(shè)計參數(shù)優(yōu)化區(qū)間下限，具體數(shù)值見表1，表中的上限和下限表示設(shè)計參數(shù)設(shè)計點的優(yōu)化區(qū)間，所有尺寸設(shè)計點的不確定性區(qū)間均為[-0.001 mm,+0.001 mm]。

表1 設(shè)計參數(shù)的優(yōu)化區(qū)間

考慮到運轉(zhuǎn)狀態(tài)下轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速以及溫度不確定性對篦齒徑向變形的影響，將轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ω、盤心溫度t1、葉尖溫度t2也作為隨機變量，具體數(shù)值見表2[21]。而渦輪盤、渦輪葉片以及篦齒的材料參數(shù)也具有不確定性,因此選擇彈性模量E、密度ρ、熱傳導(dǎo)率λ、線性膨脹系數(shù)α作為材料的隨機參數(shù)，具體數(shù)值見表3[22]。

表2 隨機參數(shù)溫度以及轉(zhuǎn)速均值及標(biāo)準差

表3 渦輪葉片、渦輪盤、篦齒材料的隨機參數(shù)均值及標(biāo)準差

2.2 LS-SVM模型的建立

首先利用有限元方法對篦齒徑向變形進行計算抽取150組訓(xùn)練樣本，然后采用LS-SVM模型建立參數(shù)與變形之間的近似函數(shù)。利用有限元方法隨機抽取10組樣本對建立的LS-SVM近似模型進行預(yù)測精度驗證，驗證結(jié)果如圖3所示。通過計算得到預(yù)測值與驗證樣本均方根的誤差為4.5×10-3，其最大相對誤差小于1%。

2.3 參數(shù)靈敏度分析

考慮到LS-SVM近似模型難以求導(dǎo)，文中選用Morris方法求解參數(shù)對變形的靈敏度[23]，并假設(shè)各參數(shù)之間相互獨立。求解的參數(shù)靈敏度如圖4所示。

圖4中1～3依次為設(shè)計參數(shù)Xi（i=1,2,3），可以看出設(shè)計參數(shù)中X1靈敏度最大；其次為X2和X3。4～6分別為轉(zhuǎn)速ω、盤心溫度t1、葉尖溫度t2的靈敏度；7～18依次為渦輪葉片、渦輪盤、篦齒的密度ρ，以及線性膨脹系數(shù)α、彈性模量Ε、熱導(dǎo)率λ的靈敏度。

圖3 LS-SVM預(yù)測值與驗證樣本

圖4 參數(shù)靈敏度分析結(jié)果

從圖4中可見，渦輪盤線膨脹系數(shù)的影響最大，篦齒環(huán)的線性膨脹系數(shù)的影響次之，這是由于在運轉(zhuǎn)情況下，渦輪盤與篦齒環(huán)裝配處的渦輪盤左側(cè)套筒的徑向變形量小于篦齒環(huán)的徑向變形量，因此輪盤左側(cè)套筒的徑向變形對篦齒徑向變形起主導(dǎo)作用；其次，渦輪盤和篦齒彈性模量以及熱傳導(dǎo)率的影響也較為明顯，而其余參數(shù)對變形影響相對于以上參數(shù)都較小。

2.4 篦齒徑向變形的穩(wěn)健性優(yōu)化模型

對于工程實際而言，雖然數(shù)據(jù)呈現(xiàn)某種分部特性，但其不確定性區(qū)間也是有界的，并不是隨著分布特性一直延伸。因此選用工程常用的[μ-3σ,μ+3σ]區(qū)間來描述其不確定性波動范圍，對于正太分布而言，將其轉(zhuǎn)換為分位數(shù)區(qū)間，其模型為[W0.0013,W0.9987]。因此，對建立好的LS-SVM近似模型進行蒙特卡洛法進行104次抽樣分別計算W0.0013和W0.9987分位數(shù)進而計算分位數(shù)區(qū)間值，建立好的優(yōu)化模型為

式中：X為設(shè)計參數(shù)向量，其優(yōu)化區(qū)間見表1；z為隨機參數(shù)向量，見表為分位數(shù)區(qū)間；函數(shù) g（X，z）與g*分別為轉(zhuǎn)子應(yīng)力與許用應(yīng)力值。

2.5 結(jié)果與分析

建立好穩(wěn)健性優(yōu)化模型后，采用果蠅優(yōu)化算法[24]對優(yōu)化模型進行優(yōu)化迭代求解，優(yōu)化前后蒙特卡洛抽樣后的篦齒徑向變形直方圖如圖5所示，其中圖5（a）為優(yōu)化前，圖5（b）為優(yōu)化后。優(yōu)化前后參數(shù)與概率分位數(shù)區(qū)間數(shù)值見表4。從圖5中可見，優(yōu)化前后的直方圖中間部分基本服從正態(tài)分布，而邊緣數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出一定的離散隨機性，如果直接采用概率標(biāo)準差作為優(yōu)化目標(biāo)結(jié)果將隨著邊緣數(shù)據(jù)離散隨機程度呈現(xiàn)一定的隨機性。而概率分位數(shù)區(qū)間的方法可以剔除邊緣數(shù)據(jù)影響，因此統(tǒng)計結(jié)果將更為穩(wěn)定和精確。

圖5 蓖齒徑向變形

表4 穩(wěn)健性優(yōu)化前后的結(jié)果

從表4中可見，優(yōu)化后的徑向變形分位數(shù)區(qū)間比優(yōu)化前減少了6%，有效降低了篦齒徑向變形對參數(shù)變化的敏感性，可以更為精確地估計發(fā)動機運轉(zhuǎn)狀態(tài)下封嚴間隙變化的情況，并為合理控制封嚴間隙提供一定的參考。

為了更直觀地反映穩(wěn)健性優(yōu)化后參數(shù)對篦齒徑向變形的影響程度，根據(jù)圖4選取篦齒徑向變形相對較大的參數(shù)，對其優(yōu)化后的參數(shù)靈敏度進行求解并與優(yōu)化前進行對比，具體數(shù)值見表5。

表5 優(yōu)化前后參數(shù)靈敏度的分析結(jié)果

表5中材料參數(shù)下標(biāo)d和l分別表示渦輪盤和篦齒，從優(yōu)化前后靈敏度數(shù)據(jù)來看，對篦齒變形影響較大的參數(shù)的靈敏度值都有不同程度的減小。優(yōu)化前后靈敏度分析的結(jié)果也驗證了基于概率分位數(shù)區(qū)間的穩(wěn)健性優(yōu)化方法的有效性。

3 結(jié)論

（1）本文針對篦齒結(jié)構(gòu)，在考慮參數(shù)不確定性的情況下，對篦齒轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)徑向變形進行了穩(wěn)健性優(yōu)化，優(yōu)化后的分位數(shù)區(qū)間比優(yōu)化前減少了6%，有效降低了參數(shù)變化對篦齒徑向變形的影響程度，為合理設(shè)計以及控制篦齒封嚴間隙提供了一定參考。

（2）提出的基于LS-SVM模型的穩(wěn)健性優(yōu)化方法可有效地解決篦齒等復(fù)雜結(jié)構(gòu)在進行優(yōu)化分析時迭代時間較長的問題，在保證計算精度的情況下可提高計算效率。

（3）在后續(xù)計算中還需對篦齒封嚴靜子結(jié)構(gòu)徑向變形進行分析，以便對篦齒封嚴間隙進行精確估計。

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