高中數(shù)學(xué)排列組合教學(xué)策略的探究

徐董科

摘 要：排列組合是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，也是高考考查學(xué)生有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生掌握排列組合知識(shí)的內(nèi)涵，對(duì)于提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想有著重要的作用。然而，學(xué)生常常不能有效地進(jìn)行排列組合知識(shí)的區(qū)分，導(dǎo)致在進(jìn)行知識(shí)應(yīng)用的時(shí)候，常常出現(xiàn)錯(cuò)誤。本文以“球與瓶子”為例，就有關(guān)排列組合的內(nèi)容進(jìn)行探討，供大家參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；排列組合；教學(xué)策略

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）08-085-01

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從知識(shí)的角度來(lái)說(shuō)，排列組合的內(nèi)容學(xué)生非常容易理解，但是在進(jìn)行知識(shí)應(yīng)用的時(shí)候，學(xué)生卻常常感覺(jué)有力不從心，無(wú)從下手。造成這樣原因的主要因素就是學(xué)生對(duì)排列組合的知識(shí)掌握不好，只是停留在概念的字面理解上，并沒(méi)有深入到知識(shí)的內(nèi)涵。因此，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，要注重學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生在掌握排列組合知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行知識(shí)的靈活應(yīng)用，從而提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)教學(xué)課堂效率的提升。

一、相同的球和相同瓶子的問(wèn)題

在排列組合中，我們常常要考慮問(wèn)題的幾種情況，而如果球和瓶子都沒(méi)有差別的話，是最基礎(chǔ)的組合知識(shí)，例如：將6個(gè)相同小球放到5個(gè)相同瓶子中，不能出現(xiàn)空瓶子，有幾種方法？題目要求每個(gè)瓶子都有小球，并且球和瓶子沒(méi)區(qū)別，這樣5個(gè)瓶子最少需要5個(gè)小球，剩下一個(gè)小球放到任意一個(gè)瓶子中即可，共有1種方法。變式：將8個(gè)相同小球放到5個(gè)相同瓶子中，不能出現(xiàn)空瓶子，有幾種方法？這樣題目中會(huì)剩下3個(gè)小球，有1+1+1、2+1、3，這三種情況，因此有3中方法。這類問(wèn)題一般比較簡(jiǎn)單，教師讓學(xué)生在掌握了方法的基礎(chǔ)上再進(jìn)行深入訓(xùn)練。比如，將6個(gè)小球放到6個(gè)瓶子中，只能有一個(gè)空瓶子，有幾種方法？這類試題和前面的例題一樣，相當(dāng)于將6個(gè)小球放到5個(gè)瓶子中，只能有一個(gè)空瓶子，這樣學(xué)生就很容易理解組合的知識(shí)了。

二、球和瓶子有一種不同的問(wèn)題

這類題目需要用到排列組合的拆數(shù)和分組方法，對(duì)于學(xué)生進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的理解有著關(guān)鍵的作用，因此需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行認(rèn)真的思考和探索，將這些知識(shí)以及變式有效的掌握，既能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行問(wèn)題的分析和解決，也能提升學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力，促進(jìn)課堂教學(xué)的有效性。

（一）瓶子不同

比如：將6個(gè)相同小球放到5個(gè)不相同瓶子中，不能出現(xiàn)空瓶子，有幾種方法？題目要求每個(gè)瓶子都有小球，并且球相同而瓶子不同，這樣5個(gè)瓶子最少需要5個(gè)小球，剩下一個(gè)小球一共有C =5種方法。同時(shí)教師也可以引導(dǎo)學(xué)生將小球進(jìn)行分組，將6分為1+1+1+1+2，這樣2個(gè)球在同一瓶子中一共有5種情況，則有5種方法。在學(xué)生掌握了相同小球與不同瓶子排列組合規(guī)律的情況下，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的拓展。將6個(gè)相同小球放到6個(gè)不相同瓶子中，只有一個(gè)空瓶子，有幾種方法？這個(gè)題目等同于上一個(gè)題目，由于瓶子不同，所以空瓶子有C 種情況，則所求的方法為C ·C =30種。

（二）小球不同

比如：將6個(gè)不相同小球放到5個(gè)相同瓶子中，不能出現(xiàn)空瓶子，有幾種方法？由于小球不同，這就要求學(xué)生先進(jìn)行分組，將6分為1+1+1+1+2，先取2個(gè)小球，然后依次取1個(gè)，一共有 =15種，小球不同需要進(jìn)行分組進(jìn)行，這就要求教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的靈活應(yīng)用。拓展：有6個(gè)學(xué)生進(jìn)行夏令營(yíng)活動(dòng)，乘坐2輛相同的汽車去目的地，已知一輛汽車最多可以坐4個(gè)人，則一共有多少種坐法？這個(gè)試題和上面的類型一樣，需要學(xué)生進(jìn)行先分組，然后再進(jìn)行排列，由于汽車最多坐4個(gè)人，因此可以將6分為2+4與3+3兩組，再進(jìn)行排列，2+4組為C =15種，3+3組 =10種，因此，一共有25種坐車的方法。

三、球和瓶子都不同的問(wèn)題

其實(shí)，上面的兩種情況都是排列組合的特例，為學(xué)生排列組合知識(shí)的深入探討做鋪墊，因此，球和瓶子都不同的問(wèn)題才是排列組合知識(shí)的重點(diǎn)，也是學(xué)生不容易掌握的難點(diǎn)。教師要引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行正確的分組，然后在逐步的排列，這樣才能保證不多項(xiàng)、不漏項(xiàng)，有效的解決排列組合問(wèn)題，掌握排列組合知識(shí)的內(nèi)涵，提高教學(xué)的的有效性。

比如：將6個(gè)不相同小球放到5個(gè)不相同瓶子中，不能出現(xiàn)空瓶子，有幾種方法？本題的研究方法還是前分組，在排列。分組只有1種1+1+1+1+2，這樣只有一個(gè)瓶子中有2個(gè)小球，剩下的為1個(gè)，則共有 =15種，這個(gè)和小球不同的計(jì)算方法一致，剩下的就是對(duì)瓶子進(jìn)行排列，由于瓶子不同，因此一共有A =120種方法，則本題有15×120=1800種排列方法。這樣學(xué)生對(duì)排列組合的知識(shí)就有了直觀的了解，掌握了排列組合的應(yīng)用，教師應(yīng)該繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的深入，變換題目的背景，加強(qiáng)學(xué)生的知識(shí)實(shí)際應(yīng)用能力。

例題：某網(wǎng)絡(luò)公司由于業(yè)務(wù)擴(kuò)展，從學(xué)校招來(lái)8名新生，并準(zhǔn)備平均分配給公關(guān)部和技術(shù)部，而其8名學(xué)生中有2名英語(yǔ)專業(yè)的不能分在一起，有3名計(jì)算機(jī)專業(yè)的不能分在一起，則共有幾種分配方法？此題比較綜合，將不同的和相同的學(xué)生（小球）混在了一起，這就需要學(xué)生需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分步的進(jìn)行，首先分配英語(yǔ)專業(yè)的學(xué)生，每個(gè)部門1人，共有2種方法，接下來(lái)進(jìn)行計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生的分配，先分組1+2=3，有C 種方法，然后兩個(gè)部門再排列，有A 種方法，則一共有C A =6種，接下來(lái)進(jìn)行剩余3名學(xué)生的分配，先分組1+2=3，有種方法，由于兩個(gè)部門每個(gè)部門4個(gè)人，因此不用進(jìn)行部門的排列，則一共有2C A C =36種方法。

四、結(jié)束語(yǔ)

總而言之，排列組合的知識(shí)并不難，學(xué)生對(duì)于知識(shí)很容易理解，但是學(xué)生在進(jìn)行應(yīng)用的時(shí)候，常常因?yàn)閷?duì)知識(shí)的理解不夠深入，對(duì)問(wèn)題的研究方法不全面，從而導(dǎo)致學(xué)生不能進(jìn)行知識(shí)的有效應(yīng)用。因此，教師從簡(jiǎn)單的問(wèn)題開(kāi)始，逐步的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的探究，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生不斷地進(jìn)行知識(shí)的深化，從而有效地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，提高教學(xué)質(zhì)量。

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[2]鄭忠玉.高中數(shù)學(xué)排列組合的教學(xué)策略探微[J].理科考試研究.2013（23）.