高溫高壓氣井定產(chǎn)生產(chǎn)出砂預(yù)測新模型及應(yīng)用

姜海龍

（西安石油大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西西安 710065）

隨著新興經(jīng)濟(jì)體對油氣資源的需求，油氣勘探的地質(zhì)條件更加惡劣，其中大部分井的目的層處在高溫高壓的地質(zhì)條件。塔里木盆地庫車前緣隆起帶油氣藏的地質(zhì)情況復(fù)雜，具有埋藏深（6 000 m～7 800 m）、地層壓力高（105 MPa～140 MPa）、溫度高（150℃～165℃）的特點(diǎn)。開采這樣的氣藏時，高壓氣體的體積隨著氣體流向井內(nèi)的過程中不斷膨脹，并在井壁上達(dá)到最大值。這種體積膨脹效應(yīng)會影響近井地帶高壓氣體的流動特性。傳統(tǒng)上，一般在達(dá)西定律中引入一個Forchheimer阻力來描述慣性效應(yīng)，稱之為Darcy-Forchheimer方程。這種慣性效應(yīng)引起的壓力損失被大量學(xué)者進(jìn)行了詳細(xì)探討[1-8]。然而，Darcy-Forchheimer方程不適合描述可壓縮性氣體在多孔介質(zhì)中的滲透特性。例如Darcy-Forchheimer方程不能解釋可壓縮性氣體的阻塞流現(xiàn)象。Beavers&Sparrow[9]和 Meyer&Smith[10]對可壓縮性氣體在多孔介質(zhì)中的流動進(jìn)行了滲流實(shí)驗(yàn)和理論分析，主要關(guān)注了阻塞流出現(xiàn)的條件。Meyer&Smith通過實(shí)驗(yàn)分析了出現(xiàn)阻塞流時的出入口壓力比，并通過管流類比到滲流的理論分析，給出了阻塞流時的出入口壓力比的解析表達(dá)式。Nield[11]完善了前人的理論，提出一種適合可壓縮性氣體的滲流運(yùn)動方程，并指出了Darcy-Forchheimer方程不適合描述可壓縮性氣體流動，并且僅有考慮氣體加速度的運(yùn)動方程可以解釋阻塞流現(xiàn)象。De Ville[12]提出了一種簡單有效的方法來處理Nield[11]提出的方程，并指出在二維平面的多孔介質(zhì)中阻塞流依舊可能出現(xiàn)。Jin等[13-15]認(rèn)為高壓氣藏測試開采過程中氣體的加速效應(yīng)不可忽略，并指出當(dāng)井底壓力降低到某一個臨界井底壓力時，氣體流動阻塞并且井壁上的孔隙壓力梯度無窮大，如果繼續(xù)井底壓力，激波可能在井底出現(xiàn)。Jin等[16]最先將氣體加速效應(yīng)引入到了井壁圍巖應(yīng)力，指出氣體加速效應(yīng)可能帶來更大的拉應(yīng)力。姜海龍等[17]在預(yù)測高壓氣井塑性區(qū)半徑的大小中考慮氣體加速效應(yīng)，并指出Darcy-Forchheimer方程解釋的塑性區(qū)半徑的大小過于保守，并且考慮加速效應(yīng)后塑性區(qū)半徑的增長速度明顯加快。

Jin等[16]數(shù)值分析了定產(chǎn)生產(chǎn)時考慮加速效應(yīng)后的高壓氣井近井區(qū)域拉應(yīng)力。值得注意的是這個拉應(yīng)力非常小，在拉應(yīng)力未達(dá)到抗拉強(qiáng)度時巖石剪切破壞可能已經(jīng)發(fā)生。基于此，本文觀察了高壓氣井近井區(qū)域拉應(yīng)力的大小水平，并基于考慮加速效應(yīng)的孔壓分布給出了有限大厚壁筒模型的近井區(qū)域地層應(yīng)力場，結(jié)合測井資料預(yù)測了巖石高溫下的抗壓強(qiáng)度，再結(jié)合Hoek-Brown準(zhǔn)則[18]建立了定產(chǎn)生產(chǎn)下高溫高壓氣井出砂預(yù)測新模型，最后通過現(xiàn)場案例驗(yàn)證了模型的合理性。

1 徑向流的孔壓分布與地層有效應(yīng)力

假設(shè)問題的力學(xué)模型為一內(nèi)徑為井半徑Rw；外徑為Re的厚壁筒。巖石為均勻，各向同性的多孔彈性介質(zhì)。模型的外邊界受到水平最大主應(yīng)力σH、水平最小主應(yīng)力σh、上覆巖層壓力σV和遠(yuǎn)場地層流體壓力P0，內(nèi)邊界受到井內(nèi)流體壓力Pw，小變形，符合平面應(yīng)變條件（見圖1）。

圖1 模型平面示意圖

1.1 徑向流的孔壓分布

高壓氣藏定產(chǎn)生產(chǎn)時，氣體體積膨脹帶來的加速效應(yīng)不可忽略[14]。氣體動量方程應(yīng)考慮對流加速度和Forchheimer慣性阻力的影響。Jin等[13-16]研究發(fā)現(xiàn)氣體加速度效應(yīng)可用一個無因次量λ來表征。無因次量λ越小，加速效應(yīng)越顯著。

式中：φ-巖石平均孔隙度；κ-巖石平均滲透率；R*-氣體常數(shù)；μ-氣體動力黏度；T-氣藏溫度。

采用無因次化的標(biāo)尺假設(shè)氣體為理想氣體，則極坐標(biāo)下考慮氣體加速效應(yīng)的穩(wěn)態(tài)徑向滲流無因次的運(yùn)動方程為[13，16]：

式中：；p-無因次氣體壓力；P-徑向上任意位置的孔壓；m=（ρvr）│r=1；δ=φ2βRw，β-Forchheimer阻力系數(shù)

圖2 井眼周圍力學(xué)模型分解示意圖

當(dāng) λ→∞、δ=0時，式（2）退化為 Darcy定律；當(dāng) λ→∞，為非零常數(shù)時，式（2）退化為Darcy-Forchheimer方程。結(jié)合無因次的邊界條件，利用有限差分法可求得氣體壓力的分布，則井底壓力和質(zhì)量流量為一一對應(yīng)關(guān)系，記為s=f（m），無因次邊界條件為：

1.2 徑向流的地層應(yīng)力場

井眼周圍總應(yīng)力狀態(tài)可通過先研究地應(yīng)力和初始?xì)獠貕毫Ψ謩e對井眼周圍有效應(yīng)力的影響，而后再用疊加的方法來獲得。井眼周圍受力的力學(xué)模型分解為三部分（見圖2）。

假設(shè)地應(yīng)力的外邊界和滲流的外邊界相同，則無因次化的井眼周圍有效應(yīng)力為：

式中、Δp（r）=p（r）-1；αBBiot系數(shù)，滲流系數(shù)vfr-巖石泊松比；θ-井周某點(diǎn)徑向與最大水平地應(yīng)力的夾角。

2 有效徑向拉應(yīng)力

Jin分析了均勻地應(yīng)力場中考慮孔壓變化的拉應(yīng)力大，即式（4）和式（5）中 B=0，此時式（4）和式（5）退化為文獻(xiàn)[16]中的式（6）。

當(dāng)Biot系數(shù)為1時，由于井壁上井周徑向應(yīng)力等

最大拉應(yīng)力與平均地應(yīng)力的關(guān)系（見圖3），相應(yīng)的計(jì)算參數(shù)為 re=1 000、αB=1、η=0.5、m=0.04、λ=0.25、δ=10、B=0。圖3表明最大拉應(yīng)力隨著平均地應(yīng)力的增加而線性減少，并且當(dāng)平均地應(yīng)力為1.65時，拉應(yīng)力消失。值得注意的是，即使平均地應(yīng)力為1.2時，近井區(qū)域的最大有效徑向拉應(yīng)力也僅達(dá)到0.004 5。由式（2）可知，此時井底壓力為0.262 4。也就是說，對于一個原始?xì)獠貕毫?00 MPa，平均地應(yīng)力120 MPa的高壓氣藏來說，當(dāng)井底壓力為26.24 MPa時，近井區(qū)域最大拉應(yīng)力僅為0.45 MPa。這個拉應(yīng)力不足以導(dǎo)致高壓氣井失穩(wěn)，況且實(shí)際生產(chǎn)壓差一般也不可能達(dá)到原始?xì)獠貕毫Φ?4%。

圖3 最大拉應(yīng)力與平均地應(yīng)力的關(guān)系

井底壓力和質(zhì)量流量的關(guān)系以及最大拉應(yīng)力與質(zhì)量流量的關(guān)系（見圖4），相應(yīng)的計(jì)算參數(shù)為re=1 000、αB=1、η=0.5、λ=0.25、δ=10、A=1.4、B=0，圖4中最大質(zhì)量流量已接近阻塞流流量。由圖4（a）可以看出圖中給出的質(zhì)量流量對應(yīng)的井底壓力非常低，約為原始?xì)獠貕毫Φ?5%～10%。在這樣的生產(chǎn)壓差下，近井區(qū)域的最大拉應(yīng)力與質(zhì)量流量的關(guān)系（見圖4（b））。最大拉應(yīng)力隨著質(zhì)量流量的增加而增加，并且增加速度逐漸加快，相應(yīng)的最大拉應(yīng)力的大小并不顯著。對于一個原始?xì)獠貕毫?00 MPa，平均地應(yīng)力140 MPa的高壓氣藏來說，即使高壓氣體的產(chǎn)能接近阻塞流產(chǎn)能時，相應(yīng)的近井區(qū)域的拉應(yīng)力也只有5.5 MPa?？梢?，定產(chǎn)生產(chǎn)時考慮氣體加速效應(yīng)的近井地帶的拉應(yīng)力不足以導(dǎo)致地層發(fā)生拉伸破壞。

圖4

3 定產(chǎn)生產(chǎn)時高溫高壓井出砂預(yù)測新模型

假設(shè)高溫高壓氣井定產(chǎn)生產(chǎn)時巖石的破壞服從Hoek-Brown 準(zhǔn)則[18]：

式中：巖石發(fā)生破壞時的最大和最小有效主應(yīng)力；mb、c-材料常數(shù)，對于完整巖石，c=1；CST-高溫巖石抗壓強(qiáng)度。

由于應(yīng)力集中，井壁圍巖應(yīng)力大小順序一般為：

結(jié)合式（4）和式（5），則式（7）可以寫為：

由式（8）可以確定高溫高壓氣井維持井壁穩(wěn)定的臨界氣井產(chǎn)量，式（8）中的高溫巖石抗壓強(qiáng)度CST可以由第4節(jié)計(jì)算得到。很顯然，θ=90°或270°時，高溫高壓氣井臨界出砂的氣井產(chǎn)量最小，式（8）簡化為：

沿徑向的有效徑向應(yīng)力和有效切向應(yīng)力分布（見圖5），相應(yīng)的計(jì)算參數(shù)為 re=1 000、αB=1、η=0.5、λ=0.25、δ=10、A=1.4、B=0、m=0.052?？梢钥闯霎?dāng)質(zhì)量流量為0.052（接近阻塞流）時，有效徑向拉應(yīng)力最大為0.054 5，有效切向應(yīng)力最大為1.738 6。因此，當(dāng)巖石的抗拉強(qiáng)度大于0.054 5并且高溫巖石抗壓強(qiáng)度小于1.738 6時，巖石的剪切破壞先于拉伸破壞。也就是說，對于一個100 MPa的高壓氣藏，當(dāng)巖石的抗拉強(qiáng)度大于5.45 MPa并且高溫巖石抗壓強(qiáng)度小于173.86 MPa時，巖石的剪切破壞先于拉伸破壞。

圖5 沿徑向的有效徑向應(yīng)力和有效切向應(yīng)力分布

4 利用測井資料計(jì)算高溫巖石抗壓強(qiáng)度

假設(shè)巖石是無限大的各向同性的彈性體，那么動態(tài)彈性模量和縱橫波的關(guān)系如下：

式中：Ed-動態(tài)楊氏模量；Vt-縱波速度；Vs-橫波速度；ρ-地層巖石密度。

Deer和Miller[20]根據(jù)大量的室內(nèi)實(shí)驗(yàn)結(jié)果建立了常溫砂泥巖的抗壓強(qiáng)度σc和動態(tài)楊氏模量Ed以及巖石的泥質(zhì)含量Vcl直接的關(guān)系：

自然伽馬測井常用于區(qū)別巖石的種類和泥質(zhì)含量。泥質(zhì)含量與泥質(zhì)含量指數(shù)的關(guān)系：

式中：GCUR-與地層有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，新地層（第三系地層）GCUR=3.7，老地層 GCUR=2[21]。

式中：IGR-泥質(zhì)含量指數(shù)；GR-測試巖石的自然伽馬值；GRmin-純砂巖的自然伽馬值；GRmax-純泥巖的自然伽馬值。

結(jié)合自然伽馬、聲波時差和地層密度測井資料，由式（10）～式（13）可得出常溫砂巖的抗壓強(qiáng)度σc。Jiang等[22]在不同溫度條件下測試了塔里木盆地克深區(qū)塊白堊紀(jì)地層砂巖的抗壓強(qiáng)度，得出了砂巖抗壓強(qiáng)度和溫度的關(guān)系。

式中：T-測試砂巖的溫度；CST-相應(yīng)溫度下的砂巖抗壓強(qiáng)度。

5 現(xiàn)場案例

塔里木盆地克深區(qū)塊R井6 575 m到6 615 m白堊紀(jì)地層砂巖的自然伽馬、聲波時差和地層密度測井資料（見圖6）。

圖6 R井測井資料和巖石力學(xué)特性剖面

儲層溫度為145℃，儲層砂巖的平均滲透率和孔隙度分布為1 mD和10%，抗拉強(qiáng)度為8 MPa，泊松比為0.2。原始?xì)獠貕毫?8.6 MPa，水平最大地應(yīng)力和水平最小地應(yīng)力分別為165 MPa和110 MPa，氣體黏度為0.000 01 Pa·s，氣體常量為518.3 J/kg/K。氣藏半徑分布為152.4 m，井徑為152.4 mm。Biot系數(shù)為0.9。由式（10）到式（14）可以得到砂巖的常溫和高溫的巖石抗壓強(qiáng)度。θ=90°或 270°時，基于 Hoek-Brown 準(zhǔn)則的維持井壁穩(wěn)定的臨界氣體流量（見圖7），現(xiàn)場放噴的氣體流量折合產(chǎn)量為108 500 m3/d時，R井處于失穩(wěn)狀態(tài)的地層較小，現(xiàn)場顯示氣井小量出砂；當(dāng)現(xiàn)場放噴的氣體流量折合產(chǎn)量為125 550 m3/d時，R井處于失穩(wěn)狀態(tài)的地層較大，現(xiàn)場顯示氣井出砂嚴(yán)重。

圖7 基于Hoek-Brown準(zhǔn)則的維持井壁穩(wěn)定的臨界氣體流量

6 結(jié)論

（1）建立了考慮孔壓變化的有限大厚壁筒模型地層應(yīng)力場，其中的孔壓分布考慮氣體加速效應(yīng)。

（2）有效徑向拉應(yīng)力大小非常低，不足以導(dǎo)致巖石發(fā)生拉伸破壞。

（3）結(jié)合測井資料和高溫條件下巖石力學(xué)特性的室內(nèi)實(shí)驗(yàn)，給出了塔里木盆地克深區(qū)塊砂巖不同溫度下的抗壓強(qiáng)度計(jì)算方法。

（4）基于考慮孔壓變化的有限大厚壁筒模型地層應(yīng)力場和考慮氣體加速效應(yīng)的孔壓分布以及Hoek-Brown破壞準(zhǔn)則建立了克深區(qū)塊白堊紀(jì)地層不同產(chǎn)能下的出砂預(yù)測模型，該模型能較好的解釋現(xiàn)場出砂問題。

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