平滑轉(zhuǎn)移自回歸模型及其應(yīng)用

李 娜，鄭少智

（暨南大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，廣州 510632）

0 引言

股票市場(chǎng)作為市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的一個(gè)重要組成部分，對(duì)國民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展有著非常重大的作用，股票市場(chǎng)的繁榮和穩(wěn)定是國民經(jīng)濟(jì)的“晴雨表”，所以，有許多的經(jīng)濟(jì)學(xué)家和實(shí)際工作者對(duì)股票市場(chǎng)進(jìn)行了深入地研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，對(duì)于常用的股票模型，比如：AR模型、ARCH模型以及ARIMA模型等并不能很好地刻畫出股票的市場(chǎng)行為，但隨著非線性時(shí)間序列分析的近二十年的發(fā)展，其在經(jīng)濟(jì)、金融等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景，這些非線性模型能夠更好地模擬實(shí)際經(jīng)濟(jì)和金融中的數(shù)據(jù)。對(duì)于平滑轉(zhuǎn)換自回歸（STAR）模型，常用的兩種模型有：邏輯斯蒂平滑自回歸（LSTAR）模型和指數(shù)平滑自回歸（ESTAR）模型，這兩種模型分別是以邏輯斯蒂函數(shù)和指數(shù)函數(shù)作為平滑函數(shù)來建立STAR模型，本文采用是高斯核函數(shù)作為平滑函數(shù)來建立STAR模型，并將該模型用于股票市場(chǎng)特性的研究中，通過實(shí)證研究結(jié)果表明，該模型能夠很好地刻畫出股票的市場(chǎng)行為。

1 STAR模型的建立

1.1 模型的描述

STAR模型由Granger和Ter?svirta于1993年提出以來，目前已經(jīng)形成了一套比較成熟的建模程序，包括平滑轉(zhuǎn)換自回歸模型（STAR）的設(shè)定與估計(jì)以及如何確定平滑函數(shù)等。一個(gè)二制度的STAR模型的一般表達(dá)式為：

其中，yt是研究的時(shí)間序列，α10、α20是常數(shù)，p是所研究時(shí)間序列的滯后階數(shù)，εt是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，G(.)是一個(gè)連續(xù)的平滑函數(shù)，取值范圍為[0,1]，它決定了兩個(gè)制度之間相互轉(zhuǎn)換的方式，當(dāng) G(.)=0時(shí)，yt是一個(gè)AR(P)過程；當(dāng) G(.)=1時(shí)，yt是一個(gè)兩機(jī)制混合的AR(P)過程；當(dāng)0＜G(.)＜1時(shí)，yt在兩機(jī)制之間平滑的轉(zhuǎn)換，而轉(zhuǎn)換的方式由G(.)的具體函數(shù)形式?jīng)Q定。G(.)可以是連續(xù)的奇函數(shù)或偶函數(shù)，例如G(.)可以是滿足G(-∞)=0與G(+∞)=1的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，也可以是滿足G(±∞)=0 與G(0)=1的偶函數(shù)，比如正態(tài)分布 N(μ'σ2)的累積分布函數(shù)和正態(tài)分布N(μ'σ2)的密度函數(shù)都可以作為平滑函數(shù)來建立平滑轉(zhuǎn)換自回歸模型。

對(duì)于平滑函數(shù)G(.)，目前常用的兩種平滑函數(shù)包括邏輯斯蒂函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，其中，邏輯斯蒂函數(shù)的具體表達(dá)式如下：

其中，yt-d是門限變量，d是延遲參數(shù)，c是兩個(gè)機(jī)制之間的門限值，若平滑函數(shù) G(.)設(shè)定為這種邏輯斯蒂函數(shù)形式，則式（1）被稱為邏輯斯蒂平滑自回歸模型，即LSTAR模型。

隨著 yt-d的增加，邏輯斯蒂函數(shù) G(yt-d;γ'c)從0到1單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)換參數(shù)γ的大小決定了該函數(shù)的平滑性，即決定了機(jī)制轉(zhuǎn)換的速度，假如轉(zhuǎn)換參數(shù)γ的值很大，那么門限變量yt-d相對(duì)于門限值c的很小的變化都會(huì)導(dǎo)致機(jī)制間的劇烈轉(zhuǎn)換。當(dāng)γ→+∞時(shí)，函數(shù)G(yt-d;γ'c)從0到1的變化幾乎是瞬時(shí)的，此時(shí)有G(yt-d;γ'c)=I(yt-d＞c)，在這種情況下，LSTAR模型變?yōu)镾ETAR模型；當(dāng)γ→0時(shí)，G(yt-d;γ'c)=0.5，此時(shí)的LSTAR模型變?yōu)榫€性AR模型。

另一種平滑函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，其具體表達(dá)式如下：

其中，yt-d是門限變量，d是延遲參數(shù)，c是門限值，若平滑函數(shù)G(.)設(shè)定為這種指數(shù)函數(shù)形式，則式（1）被稱為指數(shù)平滑自回歸模型，即ESTAR模型。

隨著 yt-d趨于c值，函數(shù)G(yt-d;γ'c)趨于0；隨著yt-d遠(yuǎn)離c值，G(yt-d;γ'c)趨于1。經(jīng)過研究表明，ESTAR模型比較適合時(shí)間序列出現(xiàn)拐點(diǎn)的情況。當(dāng)γ→+∞時(shí)，G(yt-d;γ'c)=1，當(dāng)γ→0時(shí)，G(yt-d;γ'c)=0，所以，不論是γ→+∞還是γ→0，ESTAR模型都退化為線性AR模型。

1.2 STAR模型的估計(jì)

在估計(jì)STAR模型之前，首先需要對(duì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)，因?yàn)樵谝话闱闆r下，未經(jīng)處理的金融數(shù)據(jù)都是非平穩(wěn)的，如果直接對(duì)非平穩(wěn)的時(shí)間序列進(jìn)行回歸分析，那么就會(huì)造成偽回歸問題，所以，在進(jìn)行模型的估計(jì)之前首先需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，如果數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，那么就要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理使其平穩(wěn)，比如進(jìn)行一階差分，或者用對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)等。

STAR模型的估計(jì)由以下三個(gè)步驟組成。

（1）確定線性AR模型?？梢愿鶕?jù)Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)殘差的自相關(guān)性，在殘差序列不存在自相關(guān)的條件下，可以根據(jù)Akaike information criterion(AIC)來選擇線性AR模型的最大滯后階數(shù)P。

（2）依據(jù)延遲參數(shù)d的不同取值進(jìn)行線性檢驗(yàn)，拒絕線性檢驗(yàn)的同時(shí)，也確定d的取值。一般情況下，d的取值是1≤d≤p的正整數(shù)，也可以根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)?shù)恼{(diào)整d的取值范圍。當(dāng)d取不同的值時(shí)，分別進(jìn)行線性性檢驗(yàn)，H0：線性AR模型成立；H1：STAR模型成立。因?yàn)榉蔷€性模型中有線性模型不存在的參數(shù)，所以不能直接進(jìn)行檢驗(yàn)，Luukkonen等（1988）提出，可以將平滑函數(shù)G(.)在γ=0時(shí)用三階泰勒公式展開，由此得出以下回歸模型：

其中是誤差項(xiàng)。

原假設(shè)為：

對(duì)式（4）進(jìn)行LM檢驗(yàn)，當(dāng)所用數(shù)據(jù)為小樣本時(shí)，LM統(tǒng)計(jì)量服從F分布，LM統(tǒng)計(jì)量在大樣本情況下漸進(jìn)服從卡方分布，計(jì)算出LM統(tǒng)計(jì)量的值和P值，如果有多個(gè)d值相對(duì)應(yīng)的上式拒絕線性原假設(shè)，那么就應(yīng)選擇最小的P值所對(duì)應(yīng)的d的取值。

（3）利用嵌套假設(shè)的序貫檢驗(yàn)對(duì)LSTAR模型和ESTAR模型進(jìn)行選擇。d值確定以后，需要檢驗(yàn)的序貫假設(shè)是：

若拒絕H04，則選擇LSTAR模型；若接受H04而拒絕H03，則選擇ESTAR模型；若接受H04和H03而拒絕H02，則選擇LSTAR模型。

Granger和Ter?svirta（1993），Ter?svirta（1994）提出，嚴(yán)格按照以上序貫檢驗(yàn)的步驟對(duì)LSTAR模型和ESTAR模型進(jìn)行選擇也有可能得出錯(cuò)誤的結(jié)論，所以他們認(rèn)為可以計(jì)算出上述三個(gè)假設(shè)的所有LM檢驗(yàn)的P值，若H03的P值最小，那么就選擇ESTAR模型；否則，就應(yīng)選擇LSTAR模型。

選擇好具體的模型之后，再對(duì)模型進(jìn)行非線性最小二乘估計(jì)，求出模型參數(shù)的估計(jì)值，并對(duì)殘差進(jìn)行Ljung-Box自相關(guān)性檢驗(yàn)和ARCH異方差性的檢驗(yàn)，目的在于檢驗(yàn)所建立的模型是否充分適當(dāng)。

2 基于非參數(shù)平滑的STAR模型

根據(jù)前文所述，平滑轉(zhuǎn)換自回歸（STAR）模型在制度間的轉(zhuǎn)換是連續(xù)平滑的，轉(zhuǎn)換方式取決于所選取的平滑函數(shù)，常用的兩種平滑函數(shù)為邏輯斯蒂函數(shù)和指數(shù)函數(shù)。隨著非參數(shù)平滑技術(shù)的逐漸成熟，其在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，所以本文用基于非參數(shù)平滑的方法去建立STAR模型，即選擇核函數(shù)為平滑函數(shù)來建立STAR模型，然后再對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)。其具體的表達(dá)式為：

其中，Kh(.)=K(./h)/h，h為非參數(shù)平滑的帶寬或者叫平滑參數(shù)，yt-d為門限變量，c為門限值。核密度函數(shù)K(.)在(-∞'+∞)上滿足以下條件：

其中，帶寬h也需滿足：

常用的核函數(shù)包括高斯核函數(shù)和對(duì)稱貝塔(Beta)族：

當(dāng)γ=0'1'2和3時(shí)，分別對(duì)應(yīng)于均勻核函數(shù)、Epanechnikov核函數(shù)、雙權(quán)（Biweight）核函數(shù)和三權(quán)（Triangle）核函數(shù)。

在非參數(shù)平滑技術(shù)中，一個(gè)核平滑性能的優(yōu)劣，取決于核函數(shù)和平滑參數(shù)h的選取。范劍青和姚琦偉在其所著的《非線性時(shí)間序列》一書中指出，無論是從經(jīng)驗(yàn)的角度還是從理論的角度，核函數(shù)的選擇并不是太重要，只要所選的核函數(shù)是對(duì)稱的和單峰的，并且當(dāng)平滑參數(shù)h的選擇是最優(yōu)時(shí)，核函數(shù)的選擇對(duì)非參數(shù)平滑的優(yōu)劣性幾乎沒有影響。平滑參數(shù)h是控制平滑精度的主要參數(shù)，太大的h會(huì)使得平滑過度，太小的h會(huì)導(dǎo)致平滑不足，所以選擇一個(gè)最優(yōu)的平滑參數(shù)h至關(guān)重要。

根據(jù)研究表明，對(duì)最優(yōu)平滑參數(shù)的選取，可以用最小化MISE（mean integrated square error）的方法，得出漸近最優(yōu)平滑參數(shù)，下面給出正態(tài)參考帶寬選擇：

其中s是樣本標(biāo)準(zhǔn)差，T是樣本數(shù)量。正態(tài)參考帶寬選擇在數(shù)據(jù)近似為高斯分布時(shí)，它是一個(gè)很好的平滑參數(shù)的選取方法，而且根據(jù)許多的實(shí)際應(yīng)用的結(jié)果表明，這種選擇方法是合理的，然而，正態(tài)參考帶寬選擇只是一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)驗(yàn)方法，當(dāng)數(shù)據(jù)的真實(shí)分布是非對(duì)稱的或者是多峰時(shí)，它就有可能導(dǎo)致平滑過渡，在這種情況下就需要主觀地調(diào)整h，或者用更精細(xì)的方法來選擇最優(yōu)的平滑參數(shù)。

另外一種常見的最優(yōu)平滑參數(shù)的選擇方法是交叉驗(yàn)證法（cross-validation,簡(jiǎn)記為CV），其基本思想是，去掉第i個(gè)觀測(cè)值，得到m(x)的具有平滑參數(shù)h的缺一估計(jì)：

使用上述估計(jì)量，得出缺一交叉驗(yàn)證得分：

其中w(x)為非負(fù)的權(quán)因子函數(shù)，在一維的情況下可取w(x)=I( ||x-0.5≤0.4)

自動(dòng)最優(yōu)平滑參數(shù)定義如下：

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)與平穩(wěn)性檢驗(yàn)

本文選取了中航地產(chǎn)從2013年7月10日至2014年9月5日的共286個(gè)日收盤價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，數(shù)據(jù)來源于Wind資訊。下面給出日收盤價(jià)數(shù)據(jù)的時(shí)間序列圖，見圖1。

圖1 中航地產(chǎn)日收盤價(jià)數(shù)據(jù)

根據(jù)前文所述，在建立模型之前需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，所以本文用增廣的迪基-富勒檢驗(yàn)來檢測(cè)該時(shí)間序列的平穩(wěn)性，其檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示：

表1 變量的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

檢驗(yàn)結(jié)果由R軟件編程計(jì)算得出，在該檢驗(yàn)中，原假設(shè)H0為時(shí)間序列非平穩(wěn)，備擇假設(shè)H1為平穩(wěn)，根據(jù)表1，計(jì)算的P值為0.4142，所以在5%水平下不能拒絕原假設(shè)，說明中航地產(chǎn)的日收盤價(jià)數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，為進(jìn)一步分析，必須要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理使其通過平穩(wěn)性檢驗(yàn)，所以本文選擇用對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)來進(jìn)行分析，圖2為中航地產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)的時(shí)間序列圖。

圖2 中航地產(chǎn)日對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)

再對(duì)日對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示：

表2 變量的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)表2的檢驗(yàn)結(jié)果，P值為0.01，所以在5%的水平下拒絕原假設(shè)，即該對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)具有整體平穩(wěn)性。

3.2 線性性檢驗(yàn)、STAR模型的設(shè)定與估計(jì)

本文實(shí)證分析部分的主要步驟為：（1）確定線性AR模型的最大滯后階數(shù)P；（2）進(jìn)行線性性檢驗(yàn)并確定延遲參數(shù)d；（3）對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)；（4）對(duì)模型殘差進(jìn)行檢驗(yàn)。

根據(jù)Granger和Ter?svirta（1993）的建議，可以根據(jù)偏自相關(guān)圖和AIC準(zhǔn)則或SC準(zhǔn)則來確定最大滯后值P，由此，本文確定最大滯后階數(shù)P為5。

接下來進(jìn)行線性性檢驗(yàn)并確定延遲參數(shù)d的值，d的取值范圍為1≤d≤5的正整數(shù)，所以對(duì)每個(gè)d值，分別進(jìn)行線性檢測(cè)，并計(jì)算出相應(yīng)的P值，結(jié)果如表3所示：

表3 線性性檢驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)表3的檢驗(yàn)結(jié)果，在5%的水平下，當(dāng)d取值為2和4時(shí)拒絕線性性假設(shè)，在這種情況下應(yīng)取最小的P值所對(duì)應(yīng)的d的取值，所以，延遲參數(shù)d=2。

在用非參數(shù)平滑建立STAR模型時(shí)，需要對(duì)核函數(shù)和平滑參數(shù)進(jìn)行選擇，本文選用高斯核函數(shù)作為平滑函數(shù)，并用交叉驗(yàn)證法（CV）計(jì)算出平滑參數(shù)h，再對(duì)STAR模型進(jìn)行非線性最小二乘估計(jì)，得出STAR模型為：

其中，門限值為-0.00354，平滑參數(shù)h為0.016，核函數(shù)K(.)為高斯核函數(shù)，即：

在平滑函數(shù)中位置參數(shù)d=2，說明制度轉(zhuǎn)換的發(fā)生取決于自身滯后的第二期，門限值為-0.00354，表明對(duì)數(shù)收益率在-0.00354時(shí)正處于下降與上升的中間狀態(tài)。

接下來需要對(duì)擬合的模型進(jìn)行診斷檢驗(yàn)，本文選擇對(duì)模型殘差分別進(jìn)行Ljung-Box自相關(guān)性檢驗(yàn)和ARCH異方差性的檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果表明模型殘差不存在自相關(guān)性也不存在異方差性，則說明擬合的模型是充分適當(dāng)?shù)?，檢驗(yàn)結(jié)果如表4所示：

表4 模型診斷檢驗(yàn)結(jié)果

由表4的檢驗(yàn)結(jié)果可知，在5%的顯著水平下，Ljung-Box檢驗(yàn)和ARCH檢驗(yàn)都能通過，模型殘差不存在自相關(guān)，也不存在異方差，表明上述模型能很好地刻畫出股票的市場(chǎng)行為。

接下來將該模型與線性AR模型、LSTAR模型和ESTAR模型進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)比，分別對(duì)各個(gè)模型擬合的殘差進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表5所示：

表5 模型殘差檢驗(yàn)結(jié)果

表5為上述三個(gè)模型殘差的自相關(guān)性和異方差性檢驗(yàn)的P值，在5%的顯著水平下，AR模型的殘差無法通過滯后六期的異方差性檢驗(yàn)，其他的檢驗(yàn)都能通過，但與表4結(jié)果相比，AR模型、LSTAR模型和ESTAR模型的殘差檢驗(yàn)結(jié)果都不如基于非參數(shù)平滑的STAR模型顯著，也就是說，以核函數(shù)為平滑函數(shù)的擬合效果比其他模型的效果要好。并且S/SL=0.97063，S SL是非參數(shù)平滑模型回歸的標(biāo)準(zhǔn)誤差與AR模型回歸的標(biāo)準(zhǔn)誤差的比值，其值小于1，說明該模型優(yōu)于線性AR模型。

時(shí)間序列模型的建立，其中一個(gè)很重要的應(yīng)用就是預(yù)測(cè)，所以一個(gè)模型的優(yōu)劣也可以根據(jù)預(yù)測(cè)的表現(xiàn)來判斷，當(dāng)一個(gè)模型能比其他的模型更好地預(yù)測(cè)時(shí)間序列的未來走勢(shì)時(shí)，那么就說明在某些程度上該模型比其他模型更好，所以接下來本文再對(duì)模型的預(yù)測(cè)方面進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)比。本文采用誤差均方根（root-mean-square error,簡(jiǎn)記為RMSE）作為評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)效果的標(biāo)準(zhǔn)，RMSE越小的模型則越好。

基于非參數(shù)平滑的STAR模型的RMSE值為0.0215，與表6中的其他模型的RMSE值相比，該模型的RMSE值最小，也就是說，該模型在預(yù)測(cè)方面也優(yōu)于線性AR模型、LSTAR模型和ESTAR模型。

表6 模型預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)值

根據(jù)本文的研究，無論是在樣本擬合方面，還是預(yù)測(cè)方面，基于非參數(shù)平滑的STAR模型要優(yōu)于其他模型，尤其是線性模型，所以可以得出股票市場(chǎng)具有非線性特性的結(jié)論。

4 結(jié)論

我國股票市場(chǎng)的經(jīng)濟(jì)環(huán)境復(fù)雜，使得單一傳統(tǒng)的線性模型無法很好地刻畫出股票的市場(chǎng)行為，本文首次用非參數(shù)平滑的方法建立STAR模型，并將該模型用于我國股票市場(chǎng)動(dòng)態(tài)行為的研究中，通過實(shí)證研究表明股票市場(chǎng)的非線性特征，并證實(shí)了用高斯核函數(shù)來代替邏輯斯蒂函數(shù)和指數(shù)函數(shù)作為平滑函數(shù)來建立STAR模型是充分適當(dāng)?shù)?，模型殘差能夠通過一系列檢驗(yàn)，并且在該研究中，非參數(shù)平滑的STAR模型的預(yù)測(cè)效果也優(yōu)于線性AR模型、LSTAR模型和ESTAR模型，由此表明，基于非參數(shù)平滑的STAR模型用于研究我國股票市場(chǎng)行為非常有效。

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