區(qū)域極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋控制在高柔結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用

李祚華 陳朝駿 滕軍 幸厚冰

摘要： AMD控制系統(tǒng)中被控結(jié)構(gòu)一般采用簡化的計(jì)算模型，導(dǎo)致不確定性因素的存在，包括高柔結(jié)構(gòu)的質(zhì)量以及剛度的偏差，將影響控制器設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性，而發(fā)展高柔結(jié)構(gòu)的魯棒AMD控制策略對(duì)土木工程的結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制具有重要的理論價(jià)值和工程應(yīng)用前景?；趨^(qū)域極點(diǎn)配置算法設(shè)計(jì)了相應(yīng)的魯棒AMD控制器，在控制增益的計(jì)算過程中考慮不確定結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)計(jì)算模型精度的不利影響，以此提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。以10層結(jié)構(gòu)為數(shù)值分析對(duì)象，以控制效果、AMD控制參數(shù)為指標(biāo)，將所提出的控制器與基于經(jīng)典極點(diǎn)配置算法的常規(guī)控制器進(jìn)行性能對(duì)比，分析結(jié)果表明：對(duì)于含有較大不確定性的結(jié)構(gòu)模型，所提出的控制方法具有更良好的控制效果以及穩(wěn)定的控制參數(shù)；最后以4層框架試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷腁MD控制系統(tǒng)為實(shí)例，驗(yàn)證上述數(shù)值分析結(jié)論的正確性。

關(guān)鍵詞： 高柔結(jié)構(gòu)； AMD控制系統(tǒng)； 區(qū)域極點(diǎn)配置； 線性矩陣不等式； 不確定結(jié)構(gòu)參數(shù)

中圖分類號(hào)： TU973； TU352文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1004-4523（2018）02-0265-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.009

引言

主動(dòng)質(zhì)量阻尼器AMD[1]（Active Mass Damper）控制系統(tǒng)不僅需具有良好的控制性能，還需具備較強(qiáng)的魯棒性。系統(tǒng)的控制性能主要由系統(tǒng)的極點(diǎn)位置決定，極點(diǎn)配置算法是一種常用的AMD控制器設(shè)計(jì)方法[2]。但具有唯一解的極點(diǎn)配置算法，其魯棒性較差[3]。

對(duì)此，學(xué)者們提出了一種將系統(tǒng)性能和魯棒性相結(jié)合的控制器設(shè)計(jì)方法，即區(qū)域極點(diǎn)配置算法。基于該算法設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)，其瞬態(tài)特性將對(duì)應(yīng)某確定區(qū)域內(nèi)的極點(diǎn)對(duì)，而并非確定位置的極點(diǎn)對(duì)，可根據(jù)設(shè)計(jì)要求確定該區(qū)域的類型。區(qū)域極點(diǎn)配置算法因放寬了極點(diǎn)約束，使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。但受計(jì)算手段的約束，區(qū)域極點(diǎn)配置算法在出現(xiàn)之初，其求解問題并未得到很好的解決。直到20世紀(jì)90年代初，線性矩陣不等式LMI（Linear Matrix Inequality）的廣泛應(yīng)用使得該問題得到了解決，即將區(qū)域極點(diǎn)配置問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式可行解的求解問題，再通過內(nèi)點(diǎn)法有效地解決了上述凸優(yōu)化問題。隨后，LMI工具箱的出現(xiàn)提高了線性矩陣不等式的求解效率，推動(dòng)了線性矩陣不等式在控制領(lǐng)域的運(yùn)用[4]。在實(shí)際運(yùn)用方面，Bai和Lu等研究了模糊系統(tǒng)的區(qū)域極點(diǎn)配置問題，從Lyapunov函數(shù)的角度給出了D區(qū)域穩(wěn)定的定義，基于模糊Lyapunov函數(shù)方法并引入自由矩陣，保證模糊系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于一個(gè)指定LMI區(qū)域，并以此進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)[5]。Datta等針對(duì)線性時(shí)不變多輸入系統(tǒng)提出了一種凸優(yōu)化算法，以減少基于區(qū)域極點(diǎn)配置算法的狀態(tài)反饋增益矩陣的范數(shù)[6]。Yang等研究了基于區(qū)域極點(diǎn)配置的不確定線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的混合濾波問題，并設(shè)計(jì)了一種不確定性的獨(dú)立濾波器[7]?；趨^(qū)域極點(diǎn)配置算法，Zhang等針對(duì)有限頻域內(nèi)的不確定線性離散時(shí)間系統(tǒng)設(shè)計(jì)了故障檢測(cè)濾波器[8]。經(jīng)典控制理論研究基于精確化的結(jié)構(gòu)模型，上述基于區(qū)域極點(diǎn)配置算法的控制系統(tǒng)，大多數(shù)考慮了不確定性輸入信號(hào)的濾波問題。但實(shí)際工程中，高柔結(jié)構(gòu)的參數(shù)包括剛度、質(zhì)量等不確定量將降低了控制系統(tǒng)的性能[9]。因此，Xu等針對(duì)了具有參數(shù)不確定性系統(tǒng)，基于LMI理論提出無記憶狀態(tài)反饋的魯棒H∞控制器[10]以及輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)方法[11]，單目標(biāo)H∞控制不依賴于被控結(jié)構(gòu)的精確計(jì)算模型，主要考慮了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，但會(huì)犧牲系統(tǒng)的控制性能，而H2最優(yōu)控制可以彌補(bǔ)這一不足，故將魯棒控制器的設(shè)計(jì)當(dāng)作一個(gè)結(jié)合控制性能與魯棒穩(wěn)定性的多目標(biāo)優(yōu)化問題?？苫趨^(qū)域極點(diǎn)配置的控制器設(shè)計(jì)方法，再令控制系統(tǒng)同時(shí)滿足H∞干擾抑制和最優(yōu)H2性能，從而完成對(duì)具有不確定結(jié)構(gòu)參數(shù)的控制系統(tǒng)進(jìn)行修正。

綜上所述，本文首先對(duì)考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的AMD控制系統(tǒng)狀態(tài)空間方程進(jìn)行描述。基于此，針對(duì)考慮了結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的某10層框架結(jié)構(gòu)，基于區(qū)域極點(diǎn)配置算法設(shè)計(jì)其AMD魯棒控制系統(tǒng)，并與基于經(jīng)典極點(diǎn)配置方法的控制系統(tǒng)對(duì)比，其中，考慮的不確定參數(shù)包括剛度、質(zhì)量。最后，針對(duì)10層框架進(jìn)行數(shù)值模擬，并通過實(shí)際4層鋼框架結(jié)構(gòu)AMD控制試驗(yàn)系統(tǒng)驗(yàn)證數(shù)值分析所得結(jié)論的正確性。

1AMD控制系統(tǒng)參數(shù)不確定性問題描述具有不確定質(zhì)量、剛度等參數(shù)的控制系統(tǒng)在外激勵(lì)下的力平衡方程為M0+ΔM（t）+C0（t）+K0+ΔKX（t）=

Bww（t）+Bsu（t）（1）式中M0，C0和K0分別為結(jié)構(gòu)的名義質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；u和w分別為控制力輸入和隨機(jī)擾動(dòng)輸入；Bs和Bw分別為控制力和隨機(jī)擾動(dòng)的作用位置矩陣；ΔM和ΔK分別為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的不確定量。

模型參數(shù)可表示為：M′=M0+ΔM=1+δMM0（2）

K′=K0+ΔK=1+δKK0（3）式中δM和δK分別為質(zhì)量和剛度偏差系數(shù)。

令系統(tǒng)的狀態(tài)向量為Z=XT，則式（1）寫成狀態(tài)方程為t=AZt+B1wt+B2ut（4）式中A，B1和B2分別為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣、外激勵(lì)作用矩陣和控制力作用矩陣，可表示為：A=0I

-（M′）-1K′-（M′）-1C0，

B1=0

-（M′）-1Bw，B2=0

-（M′）-1Bs（5）具有不確定質(zhì)量、剛度等參數(shù)的AMD控制系統(tǒng)可表示為t=A+ΔAZt+B1+ΔB1wt+

B2+ΔB2ut

Y1t=C1Zt+D11wt+D12ut

Y2t=C2Zt+D21wt+D22ut （6）式中ΔA，ΔB1和ΔB2為反映系統(tǒng)參數(shù)不確定性的實(shí)矩陣；Y1和Y2分別表示與H∞和H2性能指標(biāo)有關(guān)的輸出向量，其中Y1包括系統(tǒng)的位移、速度及加速度，而Y2包括系統(tǒng)的位移及速度（即Y2=Z），而且作為反饋信號(hào)用以控制力的計(jì)算。

上述系統(tǒng)控制力為u（t）=-GZt（7）式中G為閉環(huán)系統(tǒng)反饋增益矩陣。

2考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的魯棒控制器設(shè)計(jì)2.1極點(diǎn)配置區(qū)域形狀的選擇

極點(diǎn)配置算法通過將閉環(huán)極點(diǎn)配置在期望位置，使得系統(tǒng)獲得期望性能。由于由系統(tǒng)自振頻率、阻尼比及阻尼自然頻率組成的系統(tǒng)極點(diǎn)決定了系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，故通過調(diào)整系統(tǒng)極點(diǎn)位置可確保其自振頻率、阻尼比及阻尼自然頻率滿足設(shè)計(jì)要求。

極點(diǎn)配置算法是將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到確定的位置上，不完全適用于結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定的系統(tǒng)中；而基于區(qū)域極點(diǎn)配置的控制系統(tǒng)，將系統(tǒng)極點(diǎn)配置到給定區(qū)域，更具實(shí)際意義，可根據(jù)設(shè)計(jì)要求確定該區(qū)域的類型。

若存在對(duì)稱矩陣L∈Rm×m與矩陣M∈Rm×m，使得復(fù)平面內(nèi)區(qū)域D=s∈C：L+sM+MT<0（8）不為空集，則區(qū)域D稱為線性矩陣不等式區(qū)域，定義其特征函數(shù)為fDz=L+sM+MT（9）LMI區(qū)域形狀主要有α穩(wěn)定裕度的區(qū)域、圓域、扇形區(qū)域以及條形區(qū)域等，或是任意有限多個(gè)LMI區(qū)域的交集也是一個(gè)LMI區(qū)域。

本文結(jié)合高柔結(jié)構(gòu)極點(diǎn)分布的特點(diǎn)，選擇用于設(shè)計(jì)魯棒控制器的期望極點(diǎn)區(qū)域如圖1中陰影部分所示。

圖1極點(diǎn)區(qū)域

Fig.1Pole region

該集合由3種主要形式的區(qū)域形狀組合而成，第一種主要形式是具有α穩(wěn)定裕度的區(qū)域Dα=s∈C：x<-α（10）相應(yīng)的區(qū)域特征函數(shù)為fDz=2α+s+（11）第二種主要形式為具有半徑為r，圓心為（-q，0）的圓域，可表示為Dr，q=s∈C：s+q+q-r2<0（12）相應(yīng)的區(qū)域特征函數(shù)為fDr，qs=-rq+s

q+-r=

-rq

q-r+s01

00+01

00T（13）第三種主要形式是扇形區(qū)域Dcs=s=x+jy：x，y∈R，tanθ<-yx（14）相應(yīng)的區(qū)域特征函數(shù)為fDcss=sinθs+cosθs-

cosθs-sinθs+（15）該區(qū)域可用下列的集合描述Sα，r，θ={x+jy∈C：x<-α，

x+jy0，r和θ為給定的實(shí)數(shù)。極點(diǎn)在此區(qū)域中的系統(tǒng)具有最小衰減度α、最小阻尼比ξ=cosθ以及最大自然頻率ωn=rsinθ，上述指標(biāo)將保證本文設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)指標(biāo)具有一定的上界。

2.2控制增益設(shè)計(jì)原理

本文魯棒控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)是使得閉環(huán)系統(tǒng)同時(shí)滿足H∞性能、H2性能和閉環(huán)極點(diǎn)約束，其中，選擇的極點(diǎn)配置區(qū)域如圖1所述。

假定結(jié)構(gòu)參數(shù)攝動(dòng)矩陣為[4]ΔAΔB2=HFE1E2（17）式中F=I為不確定矩陣，為小于1的不確定常數(shù)。矩陣H，E1和E2可表示為：H=00

-K0M0-C0M0，

E2=0

BsδM+1-1-1C0，

E1=

δK+δK+1δM+1-1-10

0δM+1-1-1（18）將式（17）代到式（6）中，得t=A-B2G+HFE1-HFE2GZt+

B1+ΔB1wt

Y1t=C1-D12GZt+D11wt

Y2t=C2-D22GZt+D21wt （19）令=A-B2G+HFE1-E2G，1=B1+ΔB1，給定正常數(shù)γ，對(duì)于控制系統(tǒng)（19），且假定存在著正定對(duì)稱矩陣X1，使得X1+X1T1X1C1-D12GT

T1-γIDT11

C1-D12GX1D11-γI<0（20）則可得狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的H∞控制律[12]。

若給定對(duì)稱矩陣Y和矩陣H，E，使Y+HFE+ETFTHT<0（21）對(duì)滿足FTF

T1-γI*

C1-D12GX1D11-γI（23）式中帶*號(hào)的子元素可根據(jù)矩陣的對(duì)稱性得到。

式（21）可表示為Y+H

0

0FE1-E2GX100+

E1-E2GX100TFTH

0

0T<0（24）根據(jù)式（22）和（24）可轉(zhuǎn)換為Y0+μH

0

0HT00+μ-1X1E1-E2GT

0

0·

E1-E2GX100<0（25）若應(yīng)用矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)，式（25）可等價(jià)為A-B2GX1+X1A-B2GT+μHHT***

T1-γI**

C1-D12GX1D11-γI*

E1-E2GX100-μI<0（26）對(duì)于控制系統(tǒng)（19），給定η>0，若存在著正定對(duì)稱矩陣X2，Q，使得X2+X2T+1T1<0，

-QC2-D22GX2

X2C2-D22GT-X2<0，

D21=0， TraceZ<η2（27）則可得狀態(tài)反饋的H2控制律[4]。

區(qū)域極點(diǎn)配置性能要求系統(tǒng)（19）的閉環(huán)極點(diǎn)位于給定LMI區(qū)域，這一性能得到滿足的充要條件是存在著一個(gè)正定矩陣X3，使得下式成立[14]LX+MX3+MTX3T<0（28）在式（26）～（28）所述不等式系統(tǒng)中，容易發(fā)現(xiàn)X1，X2，X3，Q，G不是凸的，可通過找到一個(gè)公共的Lyapunov矩陣以解決該難題[4]。X=X1=X2=X3（29）假設(shè)W=-GX，則基于建立和求解下述的凸優(yōu)化問題，可解決這一多目標(biāo)控制問題minγ，X，Y，Zαγ+βTraceQ（30）s.t.

AX+B2W+AX+B2WT+μHHT***

T1-γI**

C1X+D12WD11-γI*

E1X+E2W00-μI<0，

LX+MX+MTXT<0，

-QC2X+D22W

C2X+D22WT-X<0，

TraceQ<η20， γ<γ0

式中γ0，η0，α和β都是給定的數(shù)。

由問題（30）可知，本文主要提出了具有H2/H∞性能要求和閉環(huán)區(qū)域極點(diǎn)約束的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法，該問題可用LMI工具箱中的求解器mincx求解。

W′和X′為該問題的最優(yōu)解，則不確定系統(tǒng)（19）的狀態(tài)反饋控制律為U=W′X′-1Zt（31）2.3數(shù)值分析

本文建立了10層剪切型框架結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行數(shù)值分析，結(jié)構(gòu)平面布置如圖2所示，結(jié)構(gòu)總高度為33 m，總質(zhì)量為875 t，層高均為3.3 m。其中，結(jié)構(gòu)兩個(gè)方向的主梁尺寸均為500 mm×250 mm（梁1和梁2），次梁（梁3）的尺寸為450 mm×200 mm，柱的尺寸為500 mm×500 mm。采用集中質(zhì)量法建立該結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；通過對(duì)結(jié)構(gòu)每一質(zhì)點(diǎn)層施加單位力，求得每一質(zhì)點(diǎn)層的位移，進(jìn)而組合成結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，再對(duì)其求逆可得結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。

該結(jié)構(gòu)的AMD控制系統(tǒng)安裝在第8層，僅控制結(jié)構(gòu)的弱軸向水平振動(dòng)，其關(guān)鍵參數(shù)如表1所示。10層框架結(jié)構(gòu)的弱軸向平動(dòng)各階模態(tài)的振型參與質(zhì)量系數(shù)、自振頻率及阻尼比如表2所示。本文采用了常值阻尼比模型，各階模態(tài)的阻尼比取為0.02；結(jié)構(gòu)的振型參與質(zhì)量系數(shù)表征結(jié)構(gòu)振型對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)貢獻(xiàn)度，而該結(jié)構(gòu)的第一階振型參與質(zhì)量系數(shù)達(dá)到79.40%，因此第一階振型對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)起決定性作用。

針對(duì)上述結(jié)構(gòu)，基于2.2節(jié)為理論基礎(chǔ)設(shè)計(jì)該框架結(jié)構(gòu)具有區(qū)域極點(diǎn)約束的狀態(tài)反饋控制器，并與基于經(jīng)典極點(diǎn)配置算法的控制器對(duì)比，以此為基準(zhǔn)驗(yàn)證該控制器是否擁有較好的魯棒性。通過調(diào)試后選取區(qū)域極點(diǎn)參數(shù)為：α=0，θ=arccos0.05和r=7，q=0。

圖2標(biāo)準(zhǔn)層結(jié)構(gòu)平面圖（單位：mm）

Fig.2The plan of each floor（Unit： mm）表1AMD系統(tǒng)的關(guān)鍵參數(shù)

Tab.1Key parameters of AMD

指標(biāo)AMD重量/kg4000最大行程/m±1.1最大驅(qū)動(dòng)力/kN55表2框架的振型參與質(zhì)量系數(shù)、自振頻率與阻尼比

Tab.2Modal mass participation ratios， frequencies and damping ratios of the frame

階數(shù)振型參與質(zhì)量

系數(shù)/%自振

頻率/Hz振型

阻尼比179.400.140.0229.850.460.0234.100.850.0242.371.340.0251.561.950.02

控制系統(tǒng)的開閉環(huán)極點(diǎn)分布位置如圖3所示。由圖3（b）可以看出該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)分布在上述區(qū)域內(nèi)，達(dá)到了控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求，因?yàn)樵撓到y(tǒng)距離虛軸較遠(yuǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部與距離虛軸最近極點(diǎn)的實(shí)部比值大于5，后者附近也不存在閉環(huán)零點(diǎn)，因此，該距離虛軸最近的極點(diǎn)在控制系統(tǒng)的過渡中起主導(dǎo)作用，而且該主導(dǎo)極點(diǎn)也位于實(shí)軸（x軸）上，說明該配置過程能夠考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的影響，有效地提高系統(tǒng)阻尼。

選取合適參數(shù)之后，基于區(qū)域極點(diǎn)配置算法進(jìn)行魯棒控制器設(shè)計(jì)，以及基于經(jīng)典極點(diǎn)配置進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。當(dāng)參數(shù)無偏差以及剛度最大偏差為-30%、質(zhì)量最大偏差為20%時(shí)，對(duì)比各工況下兩種控制器的性能，且兩者的控制力均值在15 kN左右。在十年一遇風(fēng)荷載作用下，兩種工況的數(shù)值仿真分析結(jié)果如表3和4所示，表中數(shù)值包括系統(tǒng)的控制效果、AMD控制力和其行程，圖4和5給出了結(jié)構(gòu)第8層在風(fēng)荷載作用下有無控制的時(shí)程曲線對(duì)比。圖3控制系統(tǒng)開閉環(huán)極點(diǎn)位置分布圖

Fig.3 Comparison of the positions of the open-loop poles and the closed-loop poles

表3結(jié)構(gòu)響應(yīng)控制效果對(duì)比（δK=δM=0）

Tab.3Control effectiveness of structural responses（δK=δM=0）

控制指標(biāo)經(jīng)典極點(diǎn)配置區(qū)域極點(diǎn)配置位移速度加速度位移速度加速度第8層44.2844.7133.5556.3255.9646.00控制效果/%第9層44.3244.8537.8456.2855.5044.49第10層44.3444.6334.2356.2054.9343.24控制力/kN15.0715.12行程/m0.160.15

表4結(jié)構(gòu)響應(yīng)控制效果對(duì)比（δK=-30%，δM=20%）

Tab.4Control effectiveness of structural responses（δK=-30%，δM=20%）

控制指標(biāo)經(jīng)典極點(diǎn)配置區(qū)域極點(diǎn)配置位移速度加速度位移速度加速度第8層28.3127.3314.5851.2650.9539.50控制效果/%第9層28.3227.7720.5751.1950.2036.66第10層28.3127.5918.7551.0849.3635.79控制力/kN15.0715.12行程/m0.160.15圖4結(jié)構(gòu)第8層響應(yīng)時(shí)程及AMD參數(shù)時(shí)程對(duì)比（δK=δM=0）

Fig.4Comparison of structural responses to 8th floor and AMD parameters（δK=δM=0）

圖5結(jié)構(gòu)第8層響應(yīng)時(shí)程及AMD參數(shù)時(shí)程對(duì)比（δK=-30%，δM=20%）

Fig.5Comparison of structural responses to 8th floor and AMD parameters（δK=-30%，δM=20%）

圖4，5以及表3，4結(jié)果表明：（1）當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)無偏差時(shí)，基于經(jīng)典極點(diǎn)配置算法的控制器以及基于區(qū)域極點(diǎn)配置算法的控制器均能明顯減輕結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)；但在AMD控制力及其行程輸出相當(dāng)?shù)那闆r下，前者的控制效果基本在33%～45%之間，而后者的基本在43%～55%之間，即基于區(qū)域極點(diǎn)配置算法設(shè)計(jì)的控制器的控制效果相對(duì)較好，證明了該控制器的設(shè)計(jì)中有優(yōu)化的過程；（2）在結(jié)構(gòu)剛度、質(zhì)量都具有大偏差時(shí)，經(jīng)典極點(diǎn)配置控制方法的控制效果較差，結(jié)構(gòu)第8層的加速度最大控制效果僅為14.58%，結(jié)構(gòu)位移、速度、加速度控制效果分別下降了16.03%，17.39%，18.97%；而區(qū)域極點(diǎn)配置控制方法較為有效，結(jié)構(gòu)位移、速度、加速度控制效果分別僅下降了5.12%，5.57%，7.83%。因此，對(duì)于結(jié)構(gòu)模型中含有較大不確定性的工況，基于區(qū)域極點(diǎn)配置的控制方法有較為明顯的優(yōu)勢(shì)。

3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本試驗(yàn)系統(tǒng)由一棟單跨4層鋼框架結(jié)構(gòu)及其AMD控制系統(tǒng)組成[1]，如圖6所示。

圖64層鋼框架實(shí)物圖

Fig.6Picture of the four-storey steel frame3.1試驗(yàn)系統(tǒng)簡介

先計(jì)算得到該框架結(jié)構(gòu)各個(gè)樓層的質(zhì)量，再利用集中質(zhì)量法求得結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；結(jié)構(gòu)剛度矩陣則由根據(jù)鋼框架的實(shí)際構(gòu)件體積、密度及其設(shè)備建立的有限元模型計(jì)算得到，再利用實(shí)測(cè)到的系統(tǒng)自振頻率對(duì)其進(jìn)行修正；系統(tǒng)的阻尼矩陣可由測(cè)試得到的阻尼比平均值通過文獻(xiàn)[15]的式（2.3.28）建立。

該鋼框架的動(dòng)力特性介紹如表5所示，表中包含了結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的振型參與質(zhì)量系數(shù)以及自振頻率。其中，結(jié)構(gòu)第一階振型對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)起主要貢獻(xiàn)，第一階的振型參與質(zhì)量系數(shù)為85.57%接近于1。而第一階振型時(shí)頂部響應(yīng)最大，因此在試驗(yàn)系統(tǒng)中將AMD控制器放置于頂層，使其能起到更好的控制效果。

表5試驗(yàn)系統(tǒng)振型參與質(zhì)量系數(shù)、自振頻率

Tab.5Modal mass participation ratios and frequencies of the experimental system

階數(shù)振型參與質(zhì)量系數(shù)/%自振頻率/Hz185.570.1428.950.4633.390.8642.091.27

本文所述的AMD系統(tǒng)主要由伺服驅(qū)動(dòng)器、控制電機(jī)、板卡型號(hào)DS1103的dSPACE、EtherCAT總線以及微型計(jì)算機(jī)組成。控制電機(jī)由廣東省深圳市大族激光公司生產(chǎn)的LMCF210201直線控制電機(jī)，EtherCAT總線系統(tǒng)由德國BECKHOFF公司生產(chǎn)的EL3008輸入端子、EL4034輸出端子、EK1100耦合端子、AX5000伺服驅(qū)動(dòng)器組合而成。外激勵(lì)加載系統(tǒng)由旋轉(zhuǎn)電機(jī)、變頻調(diào)速器以及配重組成。測(cè)量系統(tǒng)包括對(duì)結(jié)構(gòu)弱軸向的位移以及加速度水平振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行測(cè)量，系統(tǒng)采用GT02型力平衡加速度傳感器以及MICRO-EPSILON系列激光位移傳感器，用dSPACE系統(tǒng)作為測(cè)量系統(tǒng)的采集儀；力平衡式加速度傳感器放置于各層樓板與鋼柱的交點(diǎn)，激光位移傳感器放置于與被控結(jié)構(gòu)分離的固定支座上且測(cè)點(diǎn)定位在各層樓板與鋼柱的交點(diǎn)。其中，將框架弱軸向水平加速度信號(hào)作為系統(tǒng)反饋信號(hào)，用以計(jì)算實(shí)時(shí)控制力。

3.2試驗(yàn)結(jié)果分析

針對(duì)上述試驗(yàn)系統(tǒng)，本節(jié)基于區(qū)域極點(diǎn)配置算法和經(jīng)典極點(diǎn)配置算法分別進(jìn)行試驗(yàn)系統(tǒng)的控制器的設(shè)計(jì)，并進(jìn)行兩者性能的對(duì)比分析，考慮了兩種不同工況包括無質(zhì)量、剛度偏差及剛度偏差為-38.3%、質(zhì)量偏差為16.8%。樓層質(zhì)量需要通過在框架上施加額外配重來改變，具體的質(zhì)量偏差由已知的各個(gè)樓層及其附加配重質(zhì)量對(duì)比得到；剛度需通過調(diào)節(jié)連接螺栓的松緊程度來改變，具體的剛度偏差可通過對(duì)比剛度調(diào)整前后的剛度矩陣得到，而調(diào)整后的剛度矩陣由柔度法計(jì)算得到。試驗(yàn)分析結(jié)果如表6和7所示，表中數(shù)值包括結(jié)構(gòu)響應(yīng)的控制效果、AMD控制力以及行程。

當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)無偏差時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如表6所示。結(jié)構(gòu)在基于區(qū)域極點(diǎn)配置算法的控制器的作用下，第4層有無控制的時(shí)程曲線對(duì)比如圖7所示。當(dāng)結(jié)構(gòu)剛度、質(zhì)量分別有-38.3%，16.8%的偏差時(shí)，兩種系統(tǒng)的試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如表7所示?；趨^(qū)域極點(diǎn)配置算法的控制器的作用下，其時(shí)程曲線對(duì)比如圖8所示。

本文以上述試驗(yàn)系統(tǒng)為例，對(duì)比分析不同控制系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼比的影響，如表8所示。其中，試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮械母麟A模態(tài)阻尼比是經(jīng)實(shí)測(cè)得到，根據(jù)激光位移測(cè)試系統(tǒng)測(cè)得自由衰減振動(dòng)時(shí)鋼框架各樓層位移時(shí)程曲線，再采用單自由度系統(tǒng)的計(jì)算方法近似計(jì)算相應(yīng)各樓層的阻尼比，取其平均值為最終的阻尼比。

表6結(jié)構(gòu)響應(yīng)控制效果對(duì)比（δK=δM=0）

Tab.6Control effectiveness of structural responses （δK=δM=0）

控制指標(biāo)經(jīng)典極點(diǎn)配置區(qū)域極點(diǎn)配置位移加速度位移加速度控制第2層26.3250.9230.3456.86效果/第3層25.4246.8030.2045.23%第4層24.6360.4031.5554.55控制力/N28.6427.70行程/m0.160.17

表7結(jié)構(gòu)響應(yīng)控制效果對(duì)比（δK=-38.3%，δM=16.8%）

Tab.7Control effectiveness of structural responses （δK=-38.3%，δM=16.8%）

控制指標(biāo)經(jīng)典極點(diǎn)配置區(qū)域極點(diǎn)配置位移加速度位移加速度控制第2層9.1627.1027.5552.47效果/第3層10.5015.6629.2946.83%第4層10.8034.0235.9262.70控制力/N28.5028.63行程/m0.170.18

表8試驗(yàn)系統(tǒng)前4階阻尼比

Tab.8The first four damping ratios of the experimental system

1階2階3階4階無控系統(tǒng)0.0320.0320.0320.032極點(diǎn)配置0.0640.0320.0320.032區(qū)域極點(diǎn)0.0690.0490.0370.032

從表6～8及圖7和8可看出：（1）當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)參數(shù)不確定量時(shí)，經(jīng)典極點(diǎn)配置控制方法的控制效果比較差，結(jié)構(gòu)第4層的位移控制效果僅為10.80%，其位移、加速度控制效果分別下降了13.83%和26.38%；（2）區(qū)域極點(diǎn)配置控制方法較為有效，結(jié)構(gòu)第4層位移、加速度控制效果分別提升了4.37%和8.15%，運(yùn)用區(qū)域極點(diǎn)配置控制方法在結(jié)構(gòu)參數(shù)具有較大偏差時(shí)，依然能夠?qū)⒔Y(jié)構(gòu)的位移、加速度控制在較理想的范圍內(nèi)，故基于區(qū)域極點(diǎn)配置的控制方法有較為明顯的優(yōu)勢(shì)；（3）由于AMD系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)的相互作用，而且結(jié)構(gòu)水平向與豎直向振動(dòng)存在著耦合作用，在正弦激勵(lì)作用下，結(jié)構(gòu)位移及加速度響應(yīng)并不完全服從正弦變化規(guī)律；（4）由于控制加速度響應(yīng)需要較高頻率的控制力，而過高頻率的控制力將激發(fā)結(jié)構(gòu)高階振型，結(jié)構(gòu)第3層的高階振型相位與控制器所在的第4層的相反，因此第3層的加速度控制效果與第2，4層的相比會(huì)相對(duì)較差；（5）兩種控制算法均有效增大結(jié)構(gòu)阻尼比，區(qū)域極點(diǎn)配置算法較經(jīng)典極點(diǎn)配置算法更加合理，本文經(jīng)典極點(diǎn)配置算法主要增加了第一階振型阻尼比，而高柔結(jié)構(gòu)的高階振型對(duì)加速度響應(yīng)也有影響，不可忽略；當(dāng)結(jié)構(gòu)的參數(shù)發(fā)生偏差后，雖然系統(tǒng)依舊保證目標(biāo)阻尼比不變，但基于常規(guī)極點(diǎn)配置控制系統(tǒng)的效果下降較為明顯，而基于區(qū)域極點(diǎn)配置控制系統(tǒng)的效果依舊良好，也從側(cè)面反映了本文設(shè)計(jì)的魯棒控制器的有效性。圖7實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)第4層響應(yīng)時(shí)程對(duì)比（δK=δM=0）

Fig.7Comparison of structural responses to 4th floor of the experimental system（δK=δM=0）圖8實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)第4層響應(yīng)時(shí)程對(duì)比（δK=-38.3%，δM=16.8%）

Fig.8Comparison of structural responses to 4th floor of the experimental system（δK=-38.3%，δM=16.8%）

4結(jié)論

針對(duì)AMD控制系統(tǒng)中存在著不確定結(jié)構(gòu)參數(shù)的問題，本文基于區(qū)域極點(diǎn)配置算法，推導(dǎo)了當(dāng)取得最優(yōu)反饋增益時(shí)相應(yīng)的線性矩陣不等式組，通過LMI工具箱求解該不等式組的最優(yōu)解，完成了區(qū)域極點(diǎn)配置的魯棒控制器設(shè)計(jì)，并與精確極點(diǎn)配置控制器作對(duì)比。最后以10層框架結(jié)構(gòu)數(shù)值模型及4層框架試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行了驗(yàn)證，得出主要結(jié)論如下：

（1）基于區(qū)域極點(diǎn)配置的AMD控制系統(tǒng)，其閉環(huán)極點(diǎn)將分布在期望區(qū)域內(nèi)，并且該系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)將被配置到實(shí)軸（x軸）上。說明該配置過程能夠考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的影響，有效地提高系統(tǒng)的阻尼，而且達(dá)到了控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求。

（2）對(duì)于結(jié)構(gòu)參數(shù)確定的控制系統(tǒng)，經(jīng)典極點(diǎn)配置以及區(qū)域極點(diǎn)配置兩種控制算法都能明顯減輕系統(tǒng)的響應(yīng)，但當(dāng)AMD控制參數(shù)相當(dāng)時(shí)，后者效果更好；對(duì)于結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定的控制系統(tǒng)，區(qū)域極點(diǎn)配置控制方法的控制效果較經(jīng)典極點(diǎn)配置的更好。

（3）試驗(yàn)系統(tǒng)表明：由于AMD系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)的相互作用，而且結(jié)構(gòu)水平向與豎直向振動(dòng)存在著耦合作用，在正弦激勵(lì)作用下，結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)并不完全服從正弦變化規(guī)律；過高頻率的控制力將激發(fā)結(jié)構(gòu)高階振型，結(jié)構(gòu)第3層的高階振型相位與控制器所在的第4層的相反，因此第3層的加速度控制效果與第2，4層的相比會(huì)相對(duì)較差。

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Application of state feedback control based on regional pole-assignment

method in flexible buildings

LI Zuo-hua1， CHEN Chao-jun1， TENG Jun1，2， XING Hou-bing3

（1. Shenzhen Graduate School， Harbin Institute of Technology， Shenzhen 518055， China；

2. School of Civil Engineering， Fujian University of Technology， Fuzhou 350118， China；

3. China Construction Fourth Division Engineering Co.， Ltd. South China Branch， Guangzhou 510660， China）

Abstract： The controlled buildings with an AMD system generally use simplified calculation model. As a result， uncertainties including uncertain stiffness and mass of flexible buildings inevitably exist and will affect the design accuracy of the controller. The development of the robust AMD control strategy has important theoretical value and engineering application prospect for structural vibration control in civil engineering. In this paper， a robust controller based on regional pole-assignment method is presented. In order to improve the stability of the system， the adverse influence of uncertain structural parameters on the accuracy of calculation model is considered in the calculation process of the control gain. A ten-storey frame with an AMD system is established for numerical analysis， and its control effect and AMD parameters are regarded as the indexes. The performance comparison between the proposed controller and the conventional controller based on classical pole-assignment method is carried out. The results show that the proposed method has good control effect and stable control parameters for the flexible buildings with parameter uncertainty. Finally， a single span four-storey steel experimental frame with an AMD system is taken as an example to verify the conclusions.

Key words： flexible building； AMD control system； regional pole-assignment method； linear matrix inequality； uncertain structural parameter