架空線路無覆冰導(dǎo)線舞動的參數(shù)共振機(jī)理

劉亮 郝震 崔赟 邢譽(yù)峰 蔡巍 鄧春

摘要： 為了解釋架空線路導(dǎo)線舞動現(xiàn)象的成因，通過將風(fēng)載荷等效為軸向周期位移激勵的方法，對架空線路單導(dǎo)線舞動進(jìn)行了研究，認(rèn)為無覆冰單導(dǎo)線的舞動就是參數(shù)共振。引起導(dǎo)線舞動的主要因素是線路系統(tǒng)自身參數(shù)的周期性變化，當(dāng)軸向位移激勵頻率和導(dǎo)線系統(tǒng)頻率滿足一定關(guān)系時，導(dǎo)線系統(tǒng)將發(fā)生大幅度橫向參數(shù)共振即舞動。模擬運(yùn)行線路舞動試驗(yàn)驗(yàn)證了用參數(shù)共振理論能夠解釋無覆冰架空單導(dǎo)線系統(tǒng)的起舞現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞： 風(fēng)致振動； 單導(dǎo)線； 舞動； 參數(shù)共振； 振動試驗(yàn)

中圖分類號：TM752+.5； TM726.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號： 1004-4523（2018）02-0308-06

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.014

引言

作為一種低頻、大振幅的風(fēng)致振動，架空線路導(dǎo)線舞動問題相當(dāng)復(fù)雜，已經(jīng)困擾工程界很長時間[1-2]。從20世紀(jì)30年代起，包括美國、加拿大、英國、日本以及中國等舞動事故高發(fā)的國家相繼投入大量的努力對導(dǎo)線舞動機(jī)理以及有效的防舞措施展開了研究[3-6]。已有研究成果給出了3種主要舞動成因，包括非對稱導(dǎo)線覆冰、橫向風(fēng)載荷激勵以及導(dǎo)線系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響[7]。

由于舞動事故多發(fā)于覆冰導(dǎo)線，目前的傳統(tǒng)舞動機(jī)理包括Den Hartog提出的垂直舞動機(jī)理[8-9]以及O Nigol得到的扭轉(zhuǎn)舞動機(jī)理[10]都把關(guān)注焦點(diǎn)放在了由于非對稱覆冰引起的升力上。然而，在實(shí)際運(yùn)行線路中，當(dāng)導(dǎo)線在薄覆冰（覆冰厚度不足以形成非對稱截面）及無覆冰情況下時，也陸續(xù)觀測到若干起舞動破壞的事故[11-12]。由于這些現(xiàn)象無法通過傳統(tǒng)機(jī)理來解釋，有必要提出一種能夠解釋薄（無）覆冰情況下的舞動機(jī)理。蔡廷湘[12]認(rèn)為舞動的機(jī)理是激勵頻率與導(dǎo)線固有頻率接近致使系統(tǒng)發(fā)生了共振。以此為切入點(diǎn)，謝文麗等[13]給出了導(dǎo)線起舞時受力與頻率之間關(guān)系的一種理論計算方法。

本文則從參數(shù)共振角度來解釋薄（無）覆冰情況下的舞動機(jī)理。首先建立了導(dǎo)線參數(shù)共振模型，然后用單檔距試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文模型的合理性。

1導(dǎo)線參數(shù)共振模型

架空導(dǎo)線系統(tǒng)在風(fēng)激勵作用下，桿塔不可避免地會產(chǎn)生橫向振動，即使桿塔是剛性的，風(fēng)激勵的作用也可以近似等效為桿塔的彈性振動。對導(dǎo)線而言桿塔振動構(gòu)成導(dǎo)線的動態(tài)邊界，在縱向相當(dāng)于有一個位移激勵。這為作者將風(fēng)載荷等效為軸向位移激勵提供了依據(jù)。

單跨導(dǎo)線振蕩系統(tǒng)可以被視作是一個兩端簡支的柔索結(jié)構(gòu)。在柔索結(jié)構(gòu)一端施加軸向位移激勵將會產(chǎn)生面內(nèi)的參數(shù)共振，從而將無覆冰導(dǎo)線舞動問題轉(zhuǎn)化成為由軸向位移激勵引發(fā)的兩端簡支柔索結(jié)構(gòu)的參數(shù)共振問題，如圖1所示。

為了簡化分析過程，利用如下4個假設(shè)[14-15]：

（1） 在靜載情況下，導(dǎo)線的弧垂曲線視作拋物線；

（2） 忽略導(dǎo)線的彎曲、扭轉(zhuǎn)以及剪切剛度；

（3） 不考慮導(dǎo)線張力沿導(dǎo)線軸向的變化；

（4） 導(dǎo)線在振動過程當(dāng)中始終處于彈性狀態(tài)。

于是，根據(jù)牛頓第二定律可以建立導(dǎo)線在鉛垂面內(nèi)參數(shù)共振微分方程[15]sTwx，t+zxs=

ρS2wx，tt2+cwx，tt-ρSg（1）式中T為導(dǎo)線切向張力，S為導(dǎo)線截面積，ρ為導(dǎo)線密度，w（x，t）為導(dǎo)線偏離靜平衡位置的橫向位移，z（x）為導(dǎo)線在重力作用下靜平衡位置，c為單位長度的阻尼系數(shù)，s為導(dǎo)線的弧長坐標(biāo)。

根據(jù)假設(shè)（3），將導(dǎo)線張力T及其軸向分力A（下面稱為軸向張力）的微分關(guān)系T=Adsdx代入方程（1））進(jìn)行化簡得ρS2wx，tt2+cwx，tt-ρSg-A·

1+d2zdx2-122wx，tx2+d2zxdx2=0（2）圖1受軸向位移激勵導(dǎo)線的參數(shù)共振模型示意圖

Fig.1Parametric oscillation model for conductor excited by an axial periodic displacement

根據(jù)假設(shè)（1），導(dǎo)線的重力垂度曲線可以表示為zx=ρSg8A0L2-4x2（3）第2期劉亮，等：架空線路無覆冰導(dǎo)線舞動的參數(shù)共振機(jī)理振 動 工 程 學(xué) 報第31卷式中A0=ρSgL28z0為最大垂度處的張力，L為導(dǎo)線長度（即檔距長度），z0為導(dǎo)線中點(diǎn)處的垂度或最大垂度。導(dǎo)線在運(yùn)動過程中，A包括靜態(tài)張力A0以及動態(tài)張力Ad，而 Ad=Aωsinωt+AN（4）其中右端第一項是由導(dǎo)線右端位移激勵引起的彈性動張力，AN為導(dǎo)線幾何非線性引起的附加動張力Aω=ESL1Xd

AN=ESL112∫L2-L2wx2dx+8z0L2∫L2-L2wdx （5）參數(shù)L1=L1+8z0L2為考慮導(dǎo)線弧垂的導(dǎo)線長度，E為彈性模量，Xd和ω分別是位移激勵的幅值和圓頻率。

為了便于參數(shù)化分析，對公式（2）進(jìn)行無量綱處理得22+2ξc1-1+ωsin+N·

1π222+ωsin+N8γπ2=0（6）式中各無量綱參數(shù)的定義如下：=xL， =wL， =ω0t，1=ω1ω0， =ωω0，

ω=AωA0， N=ANA0， d=XdL，

ω0=πLA0ρS， ω1=ω01+2/π4λ2212，

γ=z0L， k2=ESA0， λ2=64k2γ21+8γ2（7）式中ω0以及ω1分別為把導(dǎo)線視為張緊索和考慮垂度影響的柔索一階圓頻率，γ為導(dǎo)線的垂跨比，ξc為導(dǎo)線的阻尼比，λ為導(dǎo)線的Irvine參數(shù)。

下面采用Galerkin加權(quán)殘量方法求解非線性方程（6）。把位移函數(shù)寫成如下已知基函數(shù)的疊加形式x，t=∑∞j=1qjj（8）其中基函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)弦模態(tài)函數(shù)，即j=sinjπ+12， j=1，2，…（9）與各階模態(tài)函數(shù)相應(yīng)的固有頻率為fj=j2LA0ρS（10）將公式（8）代入公式（6）中，利用Galerkin方法可以給出前兩階模態(tài)耦合的非線性動力學(xué)方程組1+2ξc11+Ω21q1=-3α1q21-4α1q22-

α2q31-4α2q1q22-32γπ3ωsin

2+2ξc12+Ω22q2=-8α1q1q2-

4α2q21q2-16α2q32 （11）式中Ω21=21+ωsin，α1=λ2/（8πγ），Ω22=41+ωsin，α2=π2λ2/（256γ2）

方程（11）為非線性參數(shù)共振方程，需要利用直接積分方法或非線性多尺度方法求解。本文利用MATLAB的龍格庫塔方法對方程（11）進(jìn)行了求解。

從方程（11）求得q1和q2后，根據(jù)公式（8）可得沿軸向任何一點(diǎn)處的振動幅wA=Lq1sinπ+12+

Lq2sin2π+12 （12）公式（10）給出了非線性導(dǎo)線系統(tǒng)對應(yīng)的線性系統(tǒng)的各階固有頻率。對參數(shù)共振系統(tǒng)而言，發(fā)生特定階次參數(shù)共振的激勵頻率區(qū)域被稱為動力不穩(wěn)定區(qū)域[16]，動力不穩(wěn)定區(qū)域是指激勵頻率與系統(tǒng)固有頻率間滿足f=2fjk， k=1，2，3，4，…（13）當(dāng)激勵頻率f等于某階固有頻率的兩倍，即在f=2fj附近時，最易于發(fā)生參數(shù)共振（系統(tǒng)將產(chǎn)生大幅度振動），這一區(qū)域被稱作主要動力不穩(wěn)定區(qū)域。

由此可見，導(dǎo)線舞振可以看作是激勵頻率位于導(dǎo)線系統(tǒng)的各階動力不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)時系統(tǒng)做的大幅度參數(shù)共振。為了驗(yàn)證該結(jié)論，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果進(jìn)行了對比分析。

2導(dǎo)線參數(shù)共振試驗(yàn)

導(dǎo)線系統(tǒng)的參數(shù)舞振實(shí)驗(yàn)是在冀北電力公司帶電作業(yè)培訓(xùn)中心進(jìn)行的。

北側(cè)懸掛點(diǎn)位于備品庫屋頂立起一根槽鋼上，槽鋼頂部經(jīng)鋼拉線與房頂圈梁固定；南側(cè)懸掛點(diǎn)位于大門處的一根鋼柱上，鋼柱地腳采用膨脹螺栓與水泥地面連接，鋼柱上端部采用4根鋼拉線固定防止擺動，另外沿導(dǎo)線方向增加一根鋼拉線用來抵消試驗(yàn)導(dǎo)線懸掛拉力，如圖2所示。

圖2試驗(yàn)臺兩側(cè)懸掛點(diǎn)

Fig.2Suspension points of both sides of experiment rig

圖3為導(dǎo)線平臺的結(jié)構(gòu)示意圖，試驗(yàn)導(dǎo)線在南側(cè)懸掛點(diǎn)經(jīng)過一個定滑輪與卷揚(yáng)機(jī)連接用以調(diào)整懸掛導(dǎo)線的張緊程度；在北側(cè)懸掛點(diǎn)則通過一個滑輪組與驅(qū)動裝置連接。試驗(yàn)驅(qū)動裝置為一臺GS 225M-4三相異步電動機(jī)，通過1000∶1的變頻器改變轉(zhuǎn)數(shù)后獲得0.5 Hz的額定轉(zhuǎn)數(shù)，用以模擬實(shí)際運(yùn)行線路中受到的風(fēng)激勵頻率。在變頻器的輸出軸上安裝飛輪穩(wěn)定轉(zhuǎn)速，飛輪上安裝偏心桿，如圖4所示。從該處連接細(xì)鋼絲繩，鋼絲繩通過滑輪組與導(dǎo)線連接，從而為試驗(yàn)導(dǎo)線施加了軸向周期位移激勵。

試驗(yàn)時電動機(jī)由變頻電源供電，改變變頻電源輸出的頻率就可以改變電動機(jī)轉(zhuǎn)速從而改變導(dǎo)線端部軸向激勵的頻率；與此同時，改變偏心桿的位置就可以改變軸向激勵的幅值。在鋼絲繩上串接拉力傳感器以測量鋼絲繩中的張力。圖3試驗(yàn)導(dǎo)線振蕩平臺結(jié)構(gòu)示意圖

Fig.3Schematic illustration of test conductor oscillation experiment rig

圖4試驗(yàn)驅(qū)動裝置（飛輪及偏心桿）

Fig.4System of experimental driving device（flywheel and eccentric rod）

試驗(yàn)時測量的參數(shù)主要包括參數(shù)共振頻率、振幅、張力和導(dǎo)線振蕩形態(tài)。頻率和張力由張力計數(shù)據(jù)得到，振幅僅在兩個特征位置（試驗(yàn)導(dǎo)線1/2及3/4位置）處利用標(biāo)尺測量。導(dǎo)線振蕩形態(tài)則是通過試驗(yàn)人員分段觀測檔距內(nèi)振蕩波數(shù)獲得的。

3結(jié)果與討論

在實(shí)際的運(yùn)行線路中，導(dǎo)線截面尺寸一般為幾百平方毫米，理想情況下，試驗(yàn)用導(dǎo)線應(yīng)該盡可能與實(shí)際運(yùn)行線路保持一致。但試驗(yàn)導(dǎo)線如果也采用實(shí)際線路常用的幾百平方毫米的導(dǎo)線，將要求驅(qū)動導(dǎo)線舞動的試驗(yàn)功率極大，這會導(dǎo)致試驗(yàn)平臺驅(qū)動裝置難以購置，試驗(yàn)平臺難以建設(shè)。因此，本文采用較細(xì)的鋼芯鋁絞線LGJ16/3作為試驗(yàn)導(dǎo)線，分別在285 m以及800 m這兩種基本能夠覆蓋實(shí)際運(yùn)行單檔距線路的特征檔距情況下進(jìn)行試驗(yàn)。懸掛試驗(yàn)導(dǎo)線時調(diào)整靜態(tài)軸向應(yīng)力與真實(shí)線路運(yùn)行的導(dǎo)線盡可能一致，但導(dǎo)線所承受的拉力卻會遠(yuǎn)小于實(shí)際線路情況。

為了避免材料和幾何參數(shù)誤差，試驗(yàn)前對導(dǎo)線楊氏模量、截面積以及密度均進(jìn)行了測量，圖5是通過單軸拉伸試驗(yàn)結(jié)果得到的導(dǎo)線應(yīng)力-應(yīng)變曲線，測得楊氏模量為62 GPa；使用游標(biāo)卡尺測得導(dǎo)線外徑為4.9 mm，即截面積為18.82 mm2；取一截導(dǎo)線測得其密度為3464.4 kg/m3。

圖5試驗(yàn)用LGJ16/3導(dǎo)線擬合應(yīng)力-應(yīng)變曲線

Fig.5Fitting stress-strain curve of LGJ16/3 conductor used in the experiment

實(shí)驗(yàn)時，285 m和800 m檔距導(dǎo)線靜態(tài)軸向拉力分別為735 N和2685 N，飛輪偏心距分別取6 cm與8 cm。根據(jù)公式（10），可以分別得到兩種檔距情況下導(dǎo)線系統(tǒng)的前兩階固有頻率如表1所示。對應(yīng)地，根據(jù)公式（13），表2給出了導(dǎo)線系統(tǒng)在兩種檔距情況下前兩階動力不穩(wěn)定區(qū)域的范圍。

表1不同檔距下系統(tǒng)前兩階固有頻率

Tab.1System eigenfrequencies of the first two orders under different spans

檔距/m靜態(tài)軸向拉力/N1階頻率/Hz2階頻率/Hz2857350.18630.372580026850.12680.2537

表2不同檔距下系統(tǒng)前兩階動力不穩(wěn)定區(qū)域

Tab.2System dynamic instability regions of the first two orders under different spans

檔距/m靜態(tài)軸向

拉力/Nk1階動力

不穩(wěn)定區(qū)域

頻率/Hz2階動力

不穩(wěn)定區(qū)域

頻率/Hz2857351

20.3725

0.18630.7450

0.372580026851

20.2537

0.12680.5074

0.2537

由表2可知，285 m檔距系統(tǒng)的第1階主要動力不穩(wěn)定區(qū)域（對應(yīng)固有頻率f1）在2f1=0.3725 Hz附近，而第2階主要動力不穩(wěn)定區(qū)域（對應(yīng)固有頻率f2）在2f2=0.745 Hz附近；而800 m檔距系統(tǒng)的第1階主要動力不穩(wěn)定區(qū)域在2f1=0.2537 Hz附近，第2階主要動力不穩(wěn)定區(qū)域在2f2=0.5074 Hz附近。在兩組不同檔距試驗(yàn)中，分別選取4個頻率點(diǎn)

進(jìn)行觀測，試驗(yàn)結(jié)果見表3和4。

從結(jié)果可以看出，285 m檔距下隨著激勵頻率遠(yuǎn)離第1階主要動力不穩(wěn)定區(qū)域并靠近第2階主要動力不穩(wěn)定區(qū)域，中點(diǎn)位置振幅逐漸減小而3L/4位置處的振幅逐漸增大，振型也逐漸由1階形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)?階；而800 m檔距下，兩個特征點(diǎn)的振幅相比于285 m檔距都很小，同時觀測到的振型也基本都是10階以上的雜亂高階振型，可以認(rèn)為在800 m情況下導(dǎo)線系統(tǒng)并沒有發(fā)生參數(shù)舞振，出現(xiàn)的雜亂高階振型是由于端部軸向位移激勵帶來的行波。

表3285 m檔距下特征點(diǎn)振幅及系統(tǒng)振型試驗(yàn)結(jié)果

Tab.3Experiment results of amplitudes of typical points and oscillation modes （285 m span）

激勵

頻率/HzL/2位置

振幅/m3L/4位置

振幅/m觀測

振型0.5301.150.251階0.5700.950.401階0.6650.350.852階0.7550.251.252階

表4800 m檔距下特征點(diǎn)振幅及系統(tǒng)振型試驗(yàn)結(jié)果

Tab.4Experiment results of amplitudes of typical points and oscillation modes （800 m span）

激勵

頻率/HzL/2位置

振幅/m3L/4位置

振幅/m觀測

振型0.300.050.1310階0.350.200.1512階0.450.100.0414階0.500.400.0516階

下面針對發(fā)生舞動的285 m檔距系統(tǒng)，通過經(jīng)典龍格庫塔方法對公式（11）中的耦合非線性常微分方程進(jìn)行了求解，其中阻尼比取ξc為0.05，初始條件為q10=q20=3.51×10-7即初始擾動為0.0001 m。圖6（a）和（b）分別對比了數(shù)值計算得到的兩個特征點(diǎn)處振幅隨激勵頻率變化的關(guān)系，可以看出結(jié)果的趨勢吻合得很好，這也就驗(yàn)證了用參數(shù)共振機(jī)理能夠解釋導(dǎo)線振蕩平臺的試驗(yàn)現(xiàn)象。

圖7給出了激勵頻率為0.52 Hz時導(dǎo)線中點(diǎn)偏離平衡位置橫向位移時程曲線；針對激勵頻率0.52和0.76 Hz， 圖8給出了導(dǎo)線偏離平衡位置最大位移處的形貌曲線，這與實(shí)驗(yàn)觀測到的舞振形態(tài)是吻合的。圖6285 m檔距下特征點(diǎn)振幅試驗(yàn)/理論預(yù)測對比

Fig.6The comparison between the oscillation amplitude of analytical prediction and experiment results

圖7激勵頻率為0.52 Hz時導(dǎo)線中點(diǎn)偏離平衡位置橫向位移時程曲線

Fig.7Time history curve of midpoint transverse displacement deviation from equilibrium position with 0.52 Hz excitation frequency圖8導(dǎo)線偏離平衡位置最大位移處的形貌曲線

Fig.8The profile of the maximum displacement at the equilibrium position of the conductor4結(jié)論

1） 無覆冰導(dǎo)線舞動現(xiàn)象的產(chǎn)生主要依賴于導(dǎo)線系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，對特定導(dǎo)線而言，檔距和靜態(tài)軸向拉力是決定舞振頻率的主要因素。

2） 隨著等效軸向位移激勵頻率接近某階主要動力不穩(wěn)定區(qū)域，系統(tǒng)將發(fā)生該階參數(shù)共振；當(dāng)激勵頻率介于兩階主要動力不穩(wěn)定區(qū)域之間時，系統(tǒng)振型將逐漸發(fā)生轉(zhuǎn)變。

3） 相比于小檔距線路，大檔距線路產(chǎn)生舞動需要輸入的外界能量要求更高。

4） 可以通過設(shè)計線路導(dǎo)線的靜態(tài)軸向拉力來控制系統(tǒng)的主要動力不穩(wěn)定區(qū)域以避開常見外載荷的激勵頻率實(shí)現(xiàn)防舞。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的導(dǎo)線舞動參數(shù)共振機(jī)理，有必要采集實(shí)際運(yùn)行線路的舞動數(shù)據(jù)加以分析。參考文獻(xiàn)：

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Parametric resonance mechanism of conductor galloping

without icing on overhead lineLIU Liang1， HAO Zhen1 ， CUI Yun2 ， XING Yu-feng2 ， CAI Wei1， DENG Chun1

（1. Electric Power Research Institute of State Grid JIBEI Electric Power Company， Beijing 100045， China；

2. School of Aeronautic Science and Engineering， Beijing University of Aeronautics and Astronautics， Beijing 100191， China）

Abstract： In order to explain the causes of the overhead line conductor galloping phenomenon better， the galloping on overhead line with a single conductor is studied by equating the wind load to axial periodic displacement excitation. It is concluded that the galloping of a single conductor without icing is parametric resonance. According to this mechanism， the main influence factors of the galloping are the periodic variation of transmission line system′s parameters. The parametric resonance of system will occur， i.e. galloping， when the excitation frequency and eigenfrequency of system satisfy a certain relationship. The mechanism established is verified to be able to explain the transmission line conductor galloping through simulated operational line vibration experiments.

Key words： wind-induced vibration； single conductor； galloping； parametric resonance； vibration experiment