基于MATLAB的無碳小車軌跡優(yōu)化

王晶東， 陳廣俊， 湯翔， 李妍， 王旭

（1.長(zhǎng)春理工大學(xué)，長(zhǎng)春130022；2.中國電力工程顧問集團(tuán)東北電力設(shè)計(jì)院有限公司，長(zhǎng)春130022）

0 引言

全國大學(xué)生工程訓(xùn)練綜合能力競(jìng)賽[1]已經(jīng)成功舉辦四屆，吸引全國眾多重點(diǎn)院校參與其中，有效地培養(yǎng)了大學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、運(yùn)用理論知識(shí)的能力。由于“8”字形小車[2]，對(duì)尺寸設(shè)計(jì)、機(jī)械加工的精度要求較高，為避免主要尺寸誤差對(duì)小車運(yùn)行軌跡造成較大誤差，本文在利用解析法[3]建立小車轉(zhuǎn)向以及運(yùn)行軌跡的數(shù)學(xué)模型[4]，并利用MATLAB對(duì)小車運(yùn)行軌跡進(jìn)行仿真[5]，在得出單周期小車最優(yōu)尺寸的前提下，為減小累積誤差，對(duì)小車進(jìn)行多周期仿真，最終得出小車參數(shù)最優(yōu)值，為無碳小車的設(shè)計(jì)提供了有效的參考。

1 工作原理分析

圖1 小車三維模型

所設(shè)計(jì)的無碳小車具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。小車整體機(jī)構(gòu)主要分為驅(qū)動(dòng)部分和換向部分，且均由線軸驅(qū)動(dòng)。當(dāng)重錘下落，其重力勢(shì)能通過線軸轉(zhuǎn)換為小車各部分的驅(qū)動(dòng)力。

換向部分利用不完全齒輪實(shí)現(xiàn)間歇運(yùn)動(dòng)，由與線軸固聯(lián)的不完全齒輪1驅(qū)動(dòng)，其通過曲柄滑塊的簡(jiǎn)單變形機(jī)構(gòu)撥動(dòng)轉(zhuǎn)向架，實(shí)現(xiàn)前輪的間歇擺動(dòng)。曲柄的有效半徑和撥桿在滑塊上的位置均可調(diào)，主要用于控制前輪的初始角度和擺角的大小。驅(qū)動(dòng)部分主要通過一對(duì)增速較大的直齒輪實(shí)現(xiàn)，線軸與驅(qū)動(dòng)大齒輪固聯(lián)。由于“8”字形小車轉(zhuǎn)彎半徑較小，兩個(gè)后輪應(yīng)該具有良好的差速性能。本設(shè)計(jì)中，通過后輪單輪驅(qū)動(dòng)，另一后輪與后軸鉸鏈連接，可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，解決了差速問題[6-7]。

2 轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)分析

2.1 驅(qū)動(dòng)方程的建立

由于小車在運(yùn)行過程中速度基本恒定，假設(shè)線軸的角速度ω1已知，且ω1=0.2π(rad/s），根據(jù)傳動(dòng)比公式

式中：ω1為驅(qū)動(dòng)大齒輪角速度，其與繞線軸角速度相等；ω2為驅(qū)動(dòng)輪角速度；Z1為大驅(qū)動(dòng)齒輪齒數(shù)，取130；Z2為小驅(qū)動(dòng)齒輪齒數(shù)，取20。則可得驅(qū)動(dòng)輪角速度ω2=0.13π(rad/s），則驅(qū)動(dòng)輪線速度vq2=r2ω2=0.078π(m/s），其中r2為驅(qū)動(dòng)輪半徑，取60 mm。

2.2 轉(zhuǎn)角方程的建立

由于小轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)具有間歇性，即轉(zhuǎn)向部分運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型是基于時(shí)間的分段函數(shù)。分析不完全齒輪間歇傳動(dòng)特點(diǎn)可知，轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)周期T0與線軸轉(zhuǎn)動(dòng)周期相同，均為10 s。

由于齒輪嚙合線速度相等，可得ωb1rb1=ωb2rb2，式中：ωb1為不完全齒輪1的角速度，ωb1=ω1=0.2π(rad/s）；ωb2為不完全齒輪2角速度；rb1為不完全齒輪1的半徑，取40 mm；rb2為不完全齒輪2半徑，取10mm。則可得不完全齒輪2角速度ωb2=0.8π(rad/s）。

由不完全齒輪2的角速度可知，在連續(xù)工作時(shí)，轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的運(yùn)行周期T1=2.5 s，則轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)在間歇工作周期T0=10 s時(shí)，有7.5 s不動(dòng)作，則可設(shè)定動(dòng)作時(shí)間區(qū)間為

其中，k∈N，則當(dāng)t∈T時(shí)，ωb2=0.8π(rad/s），其余時(shí)間，ωb2=0。

圖2 曲柄滑塊運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

可得曲柄的線速度v3=ωb2r=0.8πr，其中，t∈T，r為曲柄的有效長(zhǎng)度，其值可通過優(yōu)化軌跡確定。

轉(zhuǎn)向部分曲柄滑塊的運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖2所示。

由圖2可得滑塊直線移動(dòng)的速度

將v3、ωb2代入式（2），可得

圖3為滑塊通過撥頭撥動(dòng)轉(zhuǎn)向架擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖。

圖3 滑塊撥動(dòng)轉(zhuǎn)向架運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

由圖3可得：

式中：φ為轉(zhuǎn)向架與車身夾角，0＜φ＜π；a為前輪立軸線與撥桿端部撥頭在垂直于車身方向投影的垂直距離，a=19 mm；b為前輪立軸線與撥桿端部撥頭在平行車身方向上投影的垂直距離。則可得

其中，b0為初始值，可通過優(yōu)化軌跡確定其值。

將a、b的參數(shù)值以及式（5）代入式（4），可得轉(zhuǎn)向架與車身的夾角

由于前輪與車身方向的夾角與轉(zhuǎn)向架與車身的夾角互余，則可得前輪與車身方向的夾角

考慮到前輪輪軸隨時(shí)間變化間歇擺動(dòng)，故將θ寫成關(guān)于時(shí)間的分段函數(shù)

式中：ψ=b0+0.8πrcos（0.8πt）；k∈N。

根據(jù)式（6），利用MATLAB繪制出如圖4所示的前輪擺角變化曲線。

圖4 小車前輪擺角隨時(shí)間變化關(guān)系

由圖4可知，小車前輪每個(gè)周期內(nèi)包括2次換向，2次間歇停止擺動(dòng)，符合實(shí)際情況，驗(yàn)證了所建立方程正確。由圖4易知，前輪偏向于車身一側(cè)時(shí)，角度值為正，偏向于車身另一側(cè)時(shí)角度值則為負(fù)。

圖5 小車簡(jiǎn)化模型

3 運(yùn)行軌跡分析

將三輪小車模型簡(jiǎn)化為二輪車以簡(jiǎn)化小車的模型。設(shè)二輪小車某一時(shí)刻前輪的轉(zhuǎn)角為θ（t），其模型簡(jiǎn)圖如圖5所示。

其中，A代表驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)軸軸心，B代表轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)軸軸心。在較小的時(shí)間段δ(t）內(nèi)，小車由AB移動(dòng)到A′B′。若忽略AA′在豎直方向上的二階小量，即認(rèn)為δ（t）時(shí)間后，A′仍在線段AB上[10-11]。

繪制的小車簡(jiǎn)化模型運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示。

小車由初始位置A0B0經(jīng)過3δ（t）移動(dòng)到A3B3。在求小車運(yùn)行軌跡方程時(shí)，忽略小車自身運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，以小車前輪軸心B為小車質(zhì)點(diǎn)，則B點(diǎn)位置坐標(biāo)代表小車位置。以B0點(diǎn)為原點(diǎn)，小車初始位置A0B0所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。

圖6 簡(jiǎn)化小車模型運(yùn)動(dòng)軌跡圖

圖6中，L為小車車身長(zhǎng)度，取L=137 mm，即A0B0=A1B1=A2B2=A3B3=L=137 mm。R為驅(qū)動(dòng)輪的線速度vq2與微小時(shí)間段δ（t）的乘積，即R=vq2δ（t），其中vq2=0.078π m/s。

仿真時(shí)，仿真時(shí)間設(shè)置為1s，步數(shù)設(shè)置為100，則取δ（t）=0.01 s，將參數(shù)代入，求出R=2.45 mm，即A0A1=A1A2=A2A3=R=2.45mm。

根據(jù)正弦定理，在圖6中，以三角形A1B0B1為參考對(duì)象，可得：

則B1點(diǎn)坐標(biāo)：

同理在三角形A2B1B2中，可得

則B1B2與x軸正方向的夾角

可得B2點(diǎn)坐標(biāo)：

同理可得B3點(diǎn)坐標(biāo)：

由數(shù)學(xué)歸納法[12]得Bn點(diǎn)坐標(biāo)：

4 軌跡仿真及參數(shù)優(yōu)化

根據(jù)上式，利用MATLAB中編寫小車運(yùn)行軌跡程序[13]，并對(duì)其仿真。所編寫程序要實(shí)現(xiàn)參數(shù)人機(jī)交互[14]，即每次仿真之前，要鍵盤輸入曲柄的有效長(zhǎng)度r和b的初始值b0，計(jì)算機(jī)便會(huì)繪制出對(duì)應(yīng)輸入?yún)?shù)的小車軌跡。

首先，對(duì)小車軌跡在一個(gè)周期10 s內(nèi)進(jìn)行調(diào)整，取得合適參數(shù)，使小車軌跡盡可能接近“8”字形，然后根據(jù)所取參數(shù)，繼續(xù)優(yōu)化仿真，得到如圖7所示小車軌跡圖。

圖7 一個(gè)周期小車的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖8 多周期小車運(yùn)動(dòng)軌跡

對(duì)圖7（b）進(jìn)行分析知，當(dāng)r=0.005 mm，b=0.013 mm時(shí)，小車在一個(gè)周期內(nèi)可形成一個(gè)完整封閉的“8”字形軌跡，而其它圖內(nèi)“8”字形軌跡都不完整，當(dāng)一個(gè)周期結(jié)束時(shí)，小車無法返回起點(diǎn)位置。

通過對(duì)小車在單個(gè)周期內(nèi)軌跡的仿真分析，得到參數(shù)r、b的初步優(yōu)化值。也驗(yàn)證了所建立小車軌跡模型的正確性。觀察圖7（b），可看出“8”字形軌跡中間交叉點(diǎn)偏向于一側(cè)，這正是轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)不對(duì)稱性在軌跡上的反應(yīng)[15]。

為了觀察小車?yán)鄯e誤差大小，再次利用MATLAB對(duì)小車在20個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的運(yùn)行軌跡進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖8所示。圖8（a）中，參數(shù)設(shè)置為一個(gè)周期的優(yōu)化值。易知，小車軌跡的重復(fù)性很差，所以要對(duì)初選參數(shù)值進(jìn)一步優(yōu)化，使軌跡的重復(fù)性滿足要求[16]。

圖8（b）、圖8（c）中，“8”字形軌跡隨時(shí)間沿圓弧方向平移，圖8（d）、圖8（e）、圖8（f）中，軌跡隨時(shí)間繞圓形旋轉(zhuǎn)，軌跡的重復(fù)性較差。在圖8（g）中，小車軌跡重復(fù)性好，20個(gè)周期內(nèi)，小車軌跡位置基本不變，可以有效地避免小車碰樁，所以結(jié)合單周期、多周期小車軌跡優(yōu)化分析，參數(shù)的最優(yōu)值r=0.005 35 m，b=0.013 45 m。

5結(jié) 論

1）設(shè)計(jì)了一種軌跡近似于“8”字型的無碳小車，詳細(xì)介紹了其內(nèi)部結(jié)構(gòu)與工作原理，并利用解析法建立了小車轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)以及運(yùn)行軌跡的數(shù)學(xué)模型。

2）根據(jù)建立的小車軌跡模型，利用MATLAB對(duì)小車運(yùn)行軌跡進(jìn)行仿真，得到一個(gè)運(yùn)行周期內(nèi)的小車參數(shù)最優(yōu)值。為了減小小車?yán)鄯e誤差，在單周期最優(yōu)值基礎(chǔ)上進(jìn)行多周期仿真，分析仿真結(jié)果，得到小車軌跡最小誤差時(shí)的小車最優(yōu)參數(shù)值r=0.005 35 m，b=0.013 45 m。

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