基于不確定度理論的ECD不確定性定量表征方法

管志川，　勝亞楠

（中國石油大學（華東）石油工程學院，山東青島 266580）

鉆井循環(huán)時井底壓力是影響鉆井安全的重要參數(shù)，準確預(yù)測鉆井循環(huán)時井底壓力是保障鉆井安全的前提[1-2]。目前，監(jiān)測井底壓力的方法有2種[3-5]。一是利用PWD儀器對井底壓力進行實時的監(jiān)測；二是根據(jù)鉆井水力學模型預(yù)測井底壓力。利用PWD對井底壓力實時準確監(jiān)測是最安全可靠的方法，PWD技術(shù)在國外已經(jīng)比較成熟，多個國外油服公司都生產(chǎn)出了自己的PWD產(chǎn)品，并利用PWD監(jiān)測井底壓力取得了較好的效果；但是中國尚未研制出成熟的PWD產(chǎn)品，并且國外公司對該技術(shù)仍處于壟斷階段，致使用PWD服務(wù)費十分高昂；目前中國鉆井作業(yè)大多數(shù)仍采用傳統(tǒng)的水力學計算模型對井底壓力進行預(yù)測。根據(jù)傳統(tǒng)的鉆井水力學計算模型得到的井底壓力能夠大致反映井下壓力的變化趨勢，但是由于其模型的精度以及計算模型中參數(shù)的隨機性和模糊性等問題，使得準確預(yù)測井底壓力的難度大，井底壓力計算值與實際值之間存在誤差，井底壓力的預(yù)測結(jié)果存在一定的不確定性[6-7]。因此，需要對鉆井循環(huán)時井底壓力當量循環(huán)鉆井液密度的預(yù)測結(jié)果進行不確定性分析。

1 ECD定量計算模型

井筒內(nèi)鉆井液液柱對井眼內(nèi)產(chǎn)生的壓力稱作為井筒內(nèi)靜液柱壓力（Pesd），通常用鉆井液當量靜態(tài)密度（ESD）表示，其表達式見式（1）[8]。鉆井液當量循環(huán)密度（ECD）可以定義為ESD與鉆井液流動造成的環(huán)空壓降（?Pf）之和，其表達式見式（2）[9]。

式中：Po為地面壓力，MPa。

2 ECD不確定性分析

2.1　確定不確定度的理論方法

不確定性是廣泛應(yīng)用于管理學、數(shù)學、系統(tǒng)工程學領(lǐng)域內(nèi)的概念，用于描述研究對象的隨機性、模糊性和不可知性。不確定度是描述不確定性有效方法之一，分為直接測量和間接測量不確定度[10-15]。

2.1.1直接測量不確定度

直接測量不確定度又可分為A類不確定度和B類不確定度。

1）A類不確定度，用統(tǒng)計分析方法對參數(shù)進行評定，得到的標準不確定度稱為A類不確定度分量，用符號uA表示，計算式見式（3）。

式中：uA1，uA2，...，uAM是M個不確定度分量。A類不確定度常用的計算方法是貝塞爾法，若只有一個分量，則A類不確定度計算式見式（4）。

式中：xi為第i次測量的結(jié)果；x為n次測量結(jié)果的均值；vi=xi-為殘差。

2）B類不確定度。不用統(tǒng)計分析的方法對參數(shù)進行評定，得到的標準不確定度稱為B類不確定度分量，用符號uB表示，計算式見式（5）。

式中：uB1，uB2，...，uBN是N個不確定度分量。

B類不確定度是根據(jù)工程經(jīng)驗或者相似情況下，同類參數(shù)的取值范圍對待預(yù)測參數(shù)的不確定度進行評定的方法。假定工程經(jīng)驗得到的待預(yù)測參數(shù)誤差分布范圍為[-a，a]，誤差區(qū)間半寬為a，置信因子為t，則待預(yù)測參數(shù)的不確定度計算式見式（6）。

置信因子t的確定，需要首先假定測量值落在以[-a，a]為誤差范圍內(nèi)的概率分布形式,然后查表確定；一般假定概率分布符合正態(tài)分布或均勻分布。

2.1.2間接測量不確定度

工程實際中，很多參數(shù)無法直接測量得到，需要經(jīng)過一系列的計算求解過程才能得到。對于間接測量參數(shù)需要首先建立起與直接測量值之間的函數(shù)關(guān)系，然后通過直接測量參數(shù)的不確定度去估計間接參數(shù)的不確定度。假設(shè)x1，x2，…，xn是與間接測量量y相關(guān)的若干直接測量量，根據(jù)直接測量不確定度方法依次求得各個直接測量量的不確定度，然后構(gòu)建間接測量量y與直接測量量{x1，x2，…，xn}之間的函數(shù)關(guān)系y=f（x1，x2，…，xn），最后根據(jù)測量不確定度評定指南（GUM），推導得到間接測量量y的不確定度評定公式，見式（7）。

間接測量不確定度具體分析步驟如下。①首先分析得到與間接測量量y不確定度相關(guān)的直接測量量{x1，x2，…，xn}，確定直接測量量的均值和不確定度；并根據(jù)2者之間的函數(shù)關(guān)系，計算間接測量量的平均值；②計算間接測量量y的不確定度u（y）；③最終得到含不確定度的間接測量量y的計算結(jié)果：y=±u（y）。

2.2 ECD不確定性的來源

參考不確定度評定指南（GUM）定義ECD的不確定度：ECD計算值不能確定的程度，表示計算結(jié)果分散性的大小；其值越小，說明ECD的計算值與井底真實值越接近，計算結(jié)果的可靠度也越高[15]。ECD的不確定性來源于計算模型的精度，模型中參數(shù)的隨機性、模糊性等。

1）模型的精度。在構(gòu)建ECD計算模型時，為了降低建立模型的復(fù)雜程度，會作出一些假設(shè)，如：計算鉆井液靜態(tài)密度時不考慮鉆井液的熱導率和比熱隨溫度的變化、忽略熱量經(jīng)過鉆柱、套管、水泥環(huán)及隔水管的內(nèi)壁和外壁的熱量損失、忽略井筒內(nèi)鉆柱偏心等；在計算環(huán)空壓耗時，不考慮井眼清潔程度以及忽略鉆井液在環(huán)空中不同深度的變化，認為鉆井液密度在整個環(huán)空內(nèi)保持不變等；這就不可避免地造成計算結(jié)果與實際值之間存在誤差。

2）模型中參數(shù)的隨機性和模糊性。ECD計算模型中有大量參數(shù)需要確定，如：計算鉆井液靜態(tài)密度時需要確定井身結(jié)構(gòu)、鉆具組合、工程設(shè)備、井場條件等基礎(chǔ)數(shù)據(jù)、對流換熱系數(shù)、無因次時間、海水和地層溫度分布和熱源項等參數(shù)；在計算環(huán)空壓耗時需要確定井身結(jié)構(gòu)、鉆具組合、循環(huán)排量等參數(shù)。在模型參數(shù)中，一些參數(shù)在井下是模糊隨機的，最為突出的是井徑。大量的井徑測井表明：井眼在井下是不規(guī)則的，井徑分布具有隨機性和模糊性。因此，基于這些隨機不確定的參數(shù)得到的ECD計算結(jié)果也必然存在一定的不確定性。

2.3 ECD不確定度計算模型的推導

下面根據(jù)間接測量量不確定度求解方法對ECD不確定度計算模型進行推導。具體步驟如下。①首先定義ECD為間接測量量yecd，分析與ECD不確定度相關(guān)的直接測量量，并構(gòu)建直接測量量集合{x1，x2，…，xn}，然后根據(jù)直接測量不確定度方法確定各個直接測量量的均值和不確定度；并根據(jù)直接測量量的均值結(jié)合ECD計算模型，計算得到間接測量量ECD的均值；②利用全微分公式推導間接測量值不確定度的評定公式，計算ECD的不確定度；③最終得到含不確定度ECD計算結(jié)果。以冪律流體環(huán)空層流為例，推導ECD不確定度計算公式

冪律流體的流性指數(shù)和稠度系數(shù)計算如式（8），環(huán)空流速計算如式（9），雷諾數(shù)計算如式（10），摩阻系數(shù)計算如式（11），長度為L井段的摩阻損失計算如式（12），單位長度摩阻損失計算如式（13）。

由上式可以看出，循環(huán)壓耗不確定性可以用直接測量量井徑和循環(huán)排量的不確定性來表示。根據(jù)間接測量值不確定度的評定公式，可以得到單位長度環(huán)空壓耗不確定度如式（15）和式（16）。

長度為L的井段環(huán)空壓耗計算如式（17）。

長度為L的井段環(huán)空壓耗不確定度計算如式（18）。

為了能夠準確地計算井筒內(nèi)的鉆井液循環(huán)壓耗，考慮到井筒中由于鉆頭尺寸、鉆具結(jié)構(gòu)及套管尺寸導致上下各部分的內(nèi)外徑不一致，采用分段求和處理的方法計算環(huán)空微元循環(huán)壓耗的不確定度，然后求和得到整個環(huán)空井段循環(huán)壓耗的不確定度。

靜態(tài)井底壓力的不確定性可以用直接測量量靜態(tài)鉆井液密度和井深的不確定性來表示；根據(jù)間接測量值不確定度的評定公式，可以得到靜態(tài)井底壓力的不確定度計算如式（19）。

井底壓力的不確定度計算如式（20）。

井底壓力當量循環(huán)鉆井液密度不確定度如下。

得到含不確定度的當量循環(huán)鉆井液密度如下。

根據(jù)公式（21）、公式（22）可以看出，計算ECD的不確定度需要首先得到直接測量量井徑、循環(huán)排量和靜態(tài)鉆井液密度的不確定度。

1）井徑的不確定度。井徑不確定度可以根據(jù)井徑測井得到，忽略測井儀器誤差，通過相同層位鄰井的井徑測井資料獲得待鉆井井眼的區(qū)間范圍，即，則根據(jù)B類不確定度計算公式可以確定井徑的不確定度如式（23）。

2）循環(huán)排量的不確定度。循環(huán)排量可以通過錄井資料直接獲得，循環(huán)排量的不確定度屬于A類不確定度，根據(jù)A類不確定度計算公式，可以得到循環(huán)排量的不確定度計算如式（24）。

式中：n為循環(huán)排量監(jiān)測數(shù)據(jù)個數(shù)。

3）靜態(tài)鉆井液密度的不確定度。根據(jù)上一小節(jié)可以計算得到隨溫度和壓力變化的沿井深全井段的靜態(tài)鉆井液密度，選取一定井深范圍內(nèi)的靜態(tài)鉆井液密度為測量樣本根據(jù)A類不確定度計算公式可以得到靜態(tài)鉆井液密度的不確定度計算如式（25）。

3　實例計算與結(jié)果分析

Madura BD氣田位于印度尼西亞馬杜拉（Madura）海峽，儲層為礁灰?guī)r，儲層以上為大段泥巖、頁巖、泥灰?guī)r、薄層砂巖，地質(zhì)環(huán)境復(fù)雜，鉆進過程中頻繁出現(xiàn)噴漏塌卡等工程風險問題，嚴重制約了鉆井安全高效的進行。選取BD-1井進行實例計算與結(jié)果分析。BD-1井水深為26 m，井深為3 500 m，井底溫度為180 ℃。從BD-1井鉆前壓力預(yù)測得知，井深1 500 m之前壓力系數(shù)在1.0～1.2之間波動，屬于正常靜水壓力體系；而從井深1 500 m以下，壓力開始逐漸抬升。異常高壓的存在嚴重影響了鉆井的現(xiàn)場安全，因此應(yīng)嚴格控制BD-1井鉆進到該井深位置附近時井底循環(huán)鉆井液密度，規(guī)避可能發(fā)生的井涌等井下工程風險。應(yīng)用ECD不確定性分析方法，對BD-1井鉆進到1 760 m處時的ECD不確定度進行計算與分析。BD-1井使用φ915 mm鉆頭鉆至井深160 m，下入導管φ762 mm至井深155 m（MD/IVI），一開使用φ660.4 mm鉆頭鉆至井深920.5 m，下入φ508 mm套管至井深916 m（MD/IVI）；二開采用φ444.5鉆頭 mm鉆至井深1 760 m（MD/IVI）。

3.1　井徑的不確定度

為計算得到BD-1井井深916 m到1 760 m井徑的不確定度，通過調(diào)研現(xiàn)場資料，選取BD-2井作為BD-1井的相鄰井；結(jié)合BD-2井三開相同層位井徑為φ444.5 mm井段的井徑測井資料，根據(jù)公式（23）計算井徑的不確定度；計算結(jié)果滿足正態(tài)分布；正態(tài)分布的標準差即是BD-1井井深916 m到1 760 m井徑的不確定度，其不確定度為8.18 mm，代入ECD不確定度計算公式。

3.2　循環(huán)排量的不確定度

循環(huán)排量的不確定度屬于A類不確定度，通過BD-1井的錄井資料直接可以得到循環(huán)排量的不確定度。結(jié)合BD-1井和BD-2井916 m到1 760 m的循環(huán)排量錄井資料見圖1和圖2，根據(jù)公式（24）可以計算得到循環(huán)排量不確定度為0.18 L/s，代入ECD不確定度計算公式。

圖1 BD-2井φ444.5 mm井段井徑測井曲線

圖2 BD-1井φ444.5 mm井段循環(huán)排量錄井曲線

3.3　靜態(tài)鉆井液密度的不確定度

首先，根據(jù)2.1小節(jié)建立的高溫高壓條件下隨溫度和壓力變化的鉆井液當量靜態(tài)密度（ESD）計算模型，求解得到ESD剖面見圖3。根據(jù)A類不確定度計算公式可以得到靜態(tài)鉆井液密度的不確定度為：0.011 g/cm3，代入ECD不確定度計算公式。

最終，計算得到BD-1井鉆進到1 760 m處含不確定度的ECD，用概率分布的形式表示，滿足正態(tài)分布：N（1.315，0.0152），結(jié)果如圖4所示。分析ECD概率分布及累計概率分布，如圖5所示，可以獲得累積概率為j1，j2（j1＜j2）的ECD值 β1、β2，2個閾值構(gòu)成了置信度為 |j1-j2|×100%的ECD區(qū)間，它表示該井深處ECD實際值落在置信度區(qū)間 [β1、β2]中的概率為 |j1-j2|×100%。在該實例分析中，ECD置信度為90%的區(qū)間為[1.284，1.340]，也就是說ECD實際值落在該區(qū)間內(nèi)的概率為90%。通過PWD實測獲得井底ECD實際值為1.321 5，位于該區(qū)間內(nèi)；而根據(jù)傳統(tǒng)計算模型得到的ECD結(jié)果為1.284 5，與實際值之間存在較大誤差。通過實例分析可知，提出的ECD不確定性定量描述方法，得到ECD是具有一定置信度的分布區(qū)間，不再是具體數(shù)值，這樣更有利于工程技術(shù)人員把握深井復(fù)雜地層井底ECD的實際信息，為鉆井方案的設(shè)計、優(yōu)選和實施提供了科學依據(jù)。

圖3 BD-1井鉆進到1 760 m環(huán)空ESD分布示意圖

圖4 BD-1井1 760 m處含不確定度的ECD分布

圖5 BD-1井1 760 m處的ECD概率分布與累積概率分布

4　結(jié)論與建議

1.根據(jù)傳統(tǒng)的鉆井水力學計算模型得到的結(jié)果能夠大致反映ECD的變化趨勢，但是由于其模型的精度以及計算模型中參數(shù)的隨機性和模糊性等問題，使得準確預(yù)測ECD的難度大，計算值與實際值之間存在誤差，預(yù)測結(jié)果存在一定的不確定性。

2.在綜合分析ECD定量計算模型的基礎(chǔ)上，首先討論了ECD不確定性的來源：ECD的不確定性來源于計算模型的精度，模型中參數(shù)的隨機性、模糊性等。

3.基于不確定度理論，推導了ECD不確定度計算公式，并進行了實例分析。研究為ECD的科學描述提供了一種新思路，同時為保障鉆井安全提供技術(shù)支持和科學依據(jù)。