船舶二維測(cè)距定位中的GDOP分析

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(重慶交通大學(xué) 航運(yùn)與船舶工程學(xué)院，重慶 400074)

定位系統(tǒng)GDOP的研究一般分為定位系統(tǒng)的GDOP研究和GNSS(global navigation satellite system)定位系統(tǒng)的GDOP研究。前者主要研究定位系統(tǒng)中GDOP隨幾何位置關(guān)系的變化情況[1-2]，定位區(qū)域內(nèi)GDOP的最小值出現(xiàn)的位置[3-4]；后者主要研究導(dǎo)航系統(tǒng)定位過程中，GDOP的計(jì)算方法和定位結(jié)果精度的評(píng)估方法[5-7]。如文獻(xiàn)[8]指出在GPS定位中，若用戶采用4顆衛(wèi)星定位，則GDOP值與用戶到4個(gè)衛(wèi)星的單位向量所構(gòu)成的四面體的體積成反比。從研究?jī)?nèi)容的不同，可以將研究?jī)?nèi)容分成以下兩類；一類是研究定位系統(tǒng)中GDOP的計(jì)算方法，如文獻(xiàn)[9-10]給出了不同定位系統(tǒng)中，GDOP的計(jì)算方法；另一類是研究定位系統(tǒng)中如何優(yōu)化錨點(diǎn)的布置，以降低定位系統(tǒng)的GDOP值，如文獻(xiàn)[11-13]以GDOP值的大小為依據(jù)，對(duì)GNSS系統(tǒng)中不同星座內(nèi)的衛(wèi)星選擇問題進(jìn)行了研究。從上述分析不難看出，現(xiàn)有的研究只是對(duì)GDOP的計(jì)算方法及錨點(diǎn)的優(yōu)化布置問題進(jìn)行了研究，但是沒有指出GDOP所反映的直觀物理意義，這對(duì)于定位系統(tǒng)中錨點(diǎn)的布置和選擇是不利的。因此，擬對(duì)二維測(cè)距定位系統(tǒng)中的GDOP計(jì)算方法，以及與GDOP值相關(guān)聯(lián)的直觀物理意義進(jìn)行分析，以加深對(duì)GDOP的理解，為測(cè)距定位系統(tǒng)中錨點(diǎn)的布置提供理論依據(jù)。

1 幾何精度因子GDOP

假設(shè)測(cè)距定位系統(tǒng)中錨點(diǎn)的個(gè)數(shù)為N，且每個(gè)錨點(diǎn)Ai坐標(biāo)分別為(xi,yi)(i=1,2，…，N)，未知點(diǎn)U的坐標(biāo)為(x,y)，未知點(diǎn)到第i個(gè)錨點(diǎn)Ai的單位向量為ei(hi，ki)，r表示坐標(biāo)原點(diǎn)到未知點(diǎn)的向量，ri表示坐標(biāo)原點(diǎn)到第i個(gè)錨點(diǎn)Ai的向量，rui表示未知點(diǎn)到第i個(gè)錨點(diǎn)Ai的向量。錨點(diǎn)和未知點(diǎn)的關(guān)系見圖1[6]。由此得式(1)。

(1)

化簡(jiǎn)可得等式(3)。

kix+hiy=kixi+hiyi-|rui|

(2)

將式(3)改寫成矩陣形式

(3)

式中：Ci=[ki,hi]

(4)

Si=[xi,yi]T

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

則式(4)可轉(zhuǎn)化成下式。

BX=CS-RU

(11)

求解方程組的最小二乘解得到：

X=(BTB)-1BT(CS-RU)

(12)

則有X的協(xié)方差矩陣CovX如(13)所示。

CovX=(BTB)-1BTCov(CS-RU)[(BTB)-1BT]T

(13)

假設(shè)距離|ru1|、|ru2|，…，|ruN|的測(cè)量值相互獨(dú)立，且各距離測(cè)量的均方差為δ2，則有下式成立，其中E表示數(shù)學(xué)期望。

Cov(CS-RU)=E{[(CS-RU)-E(CS-RU)]

·[(CS-RU)-E(CS-RU)]T}=

E{[RU-E(RU)][RU-E(RU)]T}=Iδ2

(14)

將式(14)代入式(13)有式(15)成立。

CovX=(BTB)-1BT[(BTB)-1BT]Tδ2=

(BTB)-1BT{B[(BTB)-1]T}δ2=

[(BTB)-1]Tδ2=(BTB)-1δ2

(15)

(16)

(17)

由式(18)可知，當(dāng)定位系統(tǒng)中錨點(diǎn)的數(shù)量一定時(shí)，GDOP只由ki和hi決定，即GDOP只受未知點(diǎn)到已知點(diǎn)的方向影響，與偽距測(cè)量誤差無關(guān)。

(18)

2 幾何精度因子GDOP分析

未知點(diǎn)到錨點(diǎn)的各單位向量見圖3。各向量的長(zhǎng)度均為1。任何兩個(gè)單位向量的終點(diǎn)Fi、Fj以及未知點(diǎn)U勾勒的三角形的面積如式(19)所示。

(19)

由式(19)可得

(20)

將式(20)代入式(18)得

(21)

例如，當(dāng)N=3時(shí)，有式(22)成立，各三角形的關(guān)系見圖4。

(22)

當(dāng)N=4時(shí)，有式(23)成立，各三角形的關(guān)系見圖5。

(23)

3 N=4時(shí)GDOP值分析

通過前面的分析可以知道，當(dāng)錨點(diǎn)的數(shù)量N一定時(shí)，定位結(jié)果的幾何精度因子GDOP的平方與所有未知點(diǎn)到錨點(diǎn)的單位向量所構(gòu)成的三角形面積的平方和成反比。

假設(shè)該定位系統(tǒng)中有4個(gè)錨點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別是A1(100,100)、A2(0,100)、A3(0,0)和A4(100,0)，各點(diǎn)的位置關(guān)系見圖6。

圖6顯示的是由這4個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的正方形的內(nèi)部GDOP值的平方的分布情況。由圖6可見，正方形的中心GDOP值最小，因此越靠近中心，定位精度越高；沿著正方形的對(duì)角線方向，GDOP值增加較快，且在錨點(diǎn)處達(dá)到最大值，在平行于邊的對(duì)稱軸方向GDOP值變化緩慢。

所有從未知點(diǎn)到各錨點(diǎn)的單位向量所構(gòu)成的三角形面積的平方和在4個(gè)錨點(diǎn)所構(gòu)成的正方形內(nèi)的分布見圖7。

從圖7可以看出，面積的平方和在正方形的中心達(dá)到最大值；沿正方形對(duì)角線的方向面積的平方和變化較快，在正方形的中心面積的平方和最大，且在錨點(diǎn)處面積的平方和最小，沿著平行與邊的對(duì)稱軸方向面積的平方和變化緩慢。圖6、7表明，在正方形內(nèi)部GDOP的平方與單位向量所構(gòu)成的三角形面積的平方和的變化趨勢(shì)相反。

4 結(jié)論

在二維測(cè)距定位系統(tǒng)中，假設(shè)未知點(diǎn)到各個(gè)錨點(diǎn)距離測(cè)量誤差大小相同且錨點(diǎn)的數(shù)量一定，各未知點(diǎn)的GDOP值僅與未知點(diǎn)到各錨點(diǎn)的單位向量相關(guān)，位置點(diǎn)到錨點(diǎn)的距離無關(guān)，且GDOP值的平方與從未知點(diǎn)到錨點(diǎn)的單位向量構(gòu)成的所有三角形面積的平方和成反比。

根據(jù)上述結(jié)論，在二維測(cè)距定位系統(tǒng)布置錨點(diǎn)應(yīng)遵循以下原則：所有錨點(diǎn)應(yīng)盡可能均勻地分布在未知點(diǎn)或待定位區(qū)域的周圍，以保證較小的幾何誤差。

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