一類分式函數(shù)的圖形及應(yīng)用

李代輝

【內(nèi)容摘要】本文通過(guò)對(duì)一類分式函數(shù)y=ax+bcx+d的草圖探究，達(dá)到快速求解其函數(shù)性質(zhì)的目的。

【關(guān)鍵詞】反比例函數(shù) 平移 分式函數(shù)圖形 圖形性質(zhì)應(yīng)用

在高中的函數(shù)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的一類分式函數(shù)式為分子分母關(guān)于自變量為一次的分式形式，即y=ax+bcx+d，對(duì)這種問(wèn)題的處理常用的做法為分離常數(shù)法。即，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=kx+m+n后進(jìn)行研究。如果能夠快速得到y(tǒng)=kx+m+n的圖形則對(duì)研究這類函數(shù)的性質(zhì)非常有幫助。下面首先研究這類函數(shù)的圖形。

比較反比例函數(shù)y=kx（k≠0）與y=kx+m+n的表達(dá)式發(fā)現(xiàn)：如果令f（x）= kx，則y=kx+m+n就為y=f（x+m）+n。由函數(shù)平移的結(jié)論y=kx+m+n的圖形可以由y=kx（k≠0）通過(guò)平移“左加右減”得到。但反比例函數(shù)的圖形雙曲線如何平移的呢？針對(duì)y=kx+m+n有沒(méi)有更快的辦法呢？這一點(diǎn)初中沒(méi)有講到，需要舉例觀察。

如圖：利用幾何畫板我們得到了一個(gè)y=3x與y=3x+3+2的圖形，比較兩個(gè)圖形，可知都是雙曲線。其差別為y=3x是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心，從對(duì)稱中心出發(fā)作x，y軸的垂線得到漸近線，在漸近線的基礎(chǔ)上畫出雙曲線來(lái)。而y=3x+3+2是以（-3，2）為對(duì)稱中心，從從對(duì)稱中心出發(fā)作x，y軸的垂線得到x=-3和y=2做漸近線，在漸近線的基礎(chǔ)上畫出雙曲線來(lái)。比較y=3x與y=3x+3+2的對(duì)稱中心（0，0）和（-3，2）發(fā)現(xiàn)，都是當(dāng)分母為0時(shí)得到的x為對(duì)稱中心橫坐標(biāo)，分式為0時(shí)得到的y為對(duì)稱中心縱坐標(biāo)。所以要找一般的y=kx+m+n（k≠0）的對(duì)稱中心只需要令分母、分式為0時(shí)得到的x，y值就是對(duì)稱中心 （-m，n），從對(duì)稱中心出發(fā)作x，y軸垂線，得到的就是漸近線，沿漸近線作雙曲線（由k確定大?。┚偷玫統(tǒng)=kx+m+n（k≠0）的圖形了。下舉例說(shuō)明。

例題1：已知y=2x+12x-4，求①求y的值域；②x≥3時(shí)，求y值域；③y≥6時(shí)，求x的范圍；④當(dāng)x≥3時(shí)，求函數(shù)單調(diào)性；

解：∵y=2x+12x-4=2（x+12）2（x-2）=1+52x-2

作出草圖，計(jì)算出端點(diǎn)A（3，3.5），B（2.5，6）看圖得：

①y∈（-∞，1]∪（1，+∞）；

②y∈（1，3.5]；

③x∈（2，2.5]；

④函數(shù)單減。

綜上可知，求解類似于y=ax+bcx+d的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化為y=kx+m+n（k≠0）的形式，然后通過(guò)找對(duì)稱中心快速作出雙曲線來(lái)，經(jīng)過(guò)看圖說(shuō)話可以很快得到答案。

（作者單位：德陽(yáng)市旌陽(yáng)區(qū)德陽(yáng)中學(xué)校）

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