淺析卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

劉中旭

【摘要】在學(xué)習(xí)數(shù)字邏輯課程時(shí)，經(jīng)常需要對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡?；啎r(shí)，一種方法是使用布爾代數(shù)的定律進(jìn)行化簡，另一種方法是使用卡諾圖進(jìn)行化簡。第一種方法要求準(zhǔn)確掌握布爾代數(shù)定律和一些化簡技巧，第二種方法則相對簡單。

【關(guān)鍵字】卡諾圖 化簡

一、卡諾圖介紹

卡諾圖是由美國貝爾實(shí)驗(yàn)室的電信工程師莫里斯·卡諾（Mau-rice Karnaugh）在1953年根據(jù)維奇圖改進(jìn)而來的，它是一種平面方格圖。1任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以化為一組最小項(xiàng)之和的表達(dá)式，每一個(gè)最小項(xiàng)對應(yīng)卡諾圖中的一個(gè)方格。圖1和圖2分別為三變量和四變量的卡諾圖。每一個(gè)最小項(xiàng)用m加上下標(biāo)表示，下標(biāo)為最小項(xiàng)編號對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)。原變量取值1，非變量取值0，例如ABC編號為110，用m₆表示。

二、邏輯函數(shù)在卡諾圖中的表示

雖然卡諾圖中的一個(gè)方格表示邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng)，但在將邏輯函數(shù)填寫入卡諾圖中時(shí)，不一定需要將邏輯函數(shù)化成最小項(xiàng)之和的表達(dá)式。例如F=BC，如果化為最小項(xiàng)之和的形式為F=BC（A+A）（D+D）=A BCD+A BCD+ABCD+ABCD，然后在卡諾圖中表示將A BCD、A BCD、ABCD和ABCD的方格填寫1，轉(zhuǎn)化過程較為繁瑣，如圖3。在熟悉卡諾圖結(jié)構(gòu)后，可以直接填寫，省去轉(zhuǎn)化為最小項(xiàng)之和的過程，B表示卡諾圖中第2、3行，C表示第3、4列，重合的區(qū)域即為BC，如果圖4。

三、卡諾圖化簡規(guī)則和步驟

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)時(shí)，首先要找到2n個(gè)相鄰最小項(xiàng)（為1的方格）的組合，用圈包圍；圈中的為1方格的數(shù)目盡量要大；每個(gè)組合中至少一個(gè)為1方格是其他組合沒有的：先畫大圈，再畫小圈，圈盡量少，直到所有為1的方格都被圈包圍。如果1個(gè)圈里面有2n個(gè)相鄰最小項(xiàng)，則可以消去n個(gè)變量。在找相鄰最小項(xiàng)時(shí)，除了幾何上相鄰，還包括邏輯上相鄰，即在卡諾圖中最上面和最下面的行、最左側(cè)和最右側(cè)的列是邏輯上相鄰的。圖5中，4個(gè)圈所包圍的最小項(xiàng)均是幾何上相鄰。圖6中的有2個(gè)圈，上下組成一個(gè)圈，左右組成一個(gè)圈，每個(gè)圈內(nèi)的最小項(xiàng)是邏輯相鄰的。

例：用卡諾圖化簡F=ABCD+ABCD+AB+AD+ABC。這是一個(gè)4變量的邏輯函數(shù)，首先先畫出4變量的卡諾圖，把化簡函數(shù)的各項(xiàng)填入卡諾圖中：然后根據(jù)化簡規(guī)則和步驟畫圈，最下面4個(gè)為1的方格用一個(gè)圈包圍，用AB表示，最左列和最右列的4個(gè)為1的方格用一個(gè)圈包圍，用AD表示，總共用了2個(gè)圈，因此F=AB+AD，如圖7。

對于4變量及以下的邏輯函數(shù)化簡而言，卡諾圖化簡是一種較為簡便的方法，值得注意的是在有些情況下，因圈法的不同，得到的化簡結(jié)果不一樣，即一個(gè)邏輯函數(shù)的最簡與或表達(dá)式不是唯一的。

參考文獻(xiàn)：

[1]白中英，謝松云數(shù)字邏輯[M].北京：科學(xué)出版社，2013