關(guān)于分式極限的運(yùn)算規(guī)律的證明及其規(guī)律引申應(yīng)用

饒紹斌

【摘要】本文運(yùn)用■→0（a為任意實(shí)數(shù)）的這一性質(zhì)和極限的四則運(yùn)算法則以及無窮大與無窮小的關(guān)系定理，證明了分式極限■■的運(yùn)算規(guī)律，以及在該規(guī)律基礎(chǔ)上引申了規(guī)律1和在帶有根式下的類似于分式極限運(yùn)算的規(guī)律2。

【關(guān)鍵詞】分式 極限 倒數(shù) 無窮大 無窮小

【中圖分類號(hào)】O211.4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）14-0126-01

高等教育出版社《微積分基礎(chǔ)教程》一書第二章中，有關(guān)于無窮小與無窮大的關(guān)系定理，以及關(guān)于分式極限的運(yùn)算有這樣一個(gè)規(guī)律，內(nèi)容總結(jié)如下：

定理1（關(guān)系定理）在自變量的同一變化過程中，若f（x）為無窮大，則■為無窮??；若f（x）為無窮小，則■為無窮大。

規(guī)律1（分式極限的運(yùn)算規(guī)律）若a0≠0，b0≠0，且m，n為非負(fù)正數(shù)時(shí)有

■■=■，m=n0，m>n∞，m

證明：情形一：當(dāng)m=n時(shí)：原極限=.■■

分子分母同時(shí)除以xn得：

■■=■■

運(yùn)用■→0（a為任意實(shí)數(shù)）的這一性質(zhì)和極限的四則運(yùn)算法則可得：當(dāng)x→∞時(shí)，■→0，…，■→0，■→0，…，■→0，所以■■=■。

情形二：當(dāng)m>n時(shí)：原極限分子分母同時(shí)除以xm得：■■=■■，因?yàn)閙>n，所以運(yùn)用■→0（a為任意實(shí)數(shù)）的這一性質(zhì)和極限的四則運(yùn)算法則可得：當(dāng)x→∞時(shí)，■→0，■→0，…，■→0，■→0，…，■→0故可得：

■■=0

情形三：當(dāng)m

■■，因?yàn)閙

規(guī)律1（次數(shù)比較規(guī)律）對(duì)于規(guī)律1，可以簡(jiǎn)單的描述成比較分子分母的最高次數(shù)，若分母的最高次和分子的最高次數(shù)相等時(shí)，原極限等于分子分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)和之比（■）；若分母的最高次數(shù)大于分子的最高次數(shù)時(shí)，原極限等于零（0）；若分母的最高次數(shù)小于分子的最高次數(shù)時(shí)，原極限為無窮（∞）。

規(guī)律2（分式極限的運(yùn)算引申規(guī)律）若在規(guī)律1中極限的基礎(chǔ)上分別對(duì)分子和分母任意添加根號(hào)，然后觀察它分子和分母的最高次數(shù)，它仍然是滿足規(guī)律1。

例1：求■■.

解：由規(guī)律1知，該分式的分子和分母的最高次都為4次，所以■■=■.

例2：求■■.

解：由規(guī)律2可知，該式子的分子和分母的最高次數(shù)為1，注意這里的分母■轉(zhuǎn)化為次數(shù)來看的話，最高次是一次對(duì)應(yīng)的系數(shù)就應(yīng)該是■，分子■-x轉(zhuǎn)化成比次數(shù)來看的話，最高次也是一次，而且有兩項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系數(shù)分別是■和-1，所以■■=■=■.

例3：求■■.

解：由規(guī)律2可知，該式子的分子的最高次數(shù)為■次，分母的最高次數(shù)為2，所以分母的次數(shù)大于分子的次數(shù)，該極限為0，即■■=0.

參考文獻(xiàn)：

[1]陸永懷.極限運(yùn)算在有理函數(shù)積分中的應(yīng)用[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào)（自科版）.1992（2）：56-60

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