關(guān)于函數(shù)極值，最值的教法研究

羅歡

【摘要】本文主要根據(jù)高職院校學(xué)生的特點(diǎn)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對(duì)如何講授極值和最值這個(gè)問題在教學(xué)方法上進(jìn)行了改進(jìn)。傳統(tǒng)的教法是講授函數(shù)單調(diào)性，極值再講最值；現(xiàn)在，通過函數(shù)f（x）的圖像，將單調(diào)性，極值和最值三者合一進(jìn)行教學(xué)，利用導(dǎo)數(shù)，切線斜率及增減函數(shù)的知識(shí)將函數(shù)定義域劃分區(qū)間，讓學(xué)生從抽象的定義、定理中解放出來，轉(zhuǎn)化為直觀形象來理解極值和最值。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) 圖像 最值 極值

【中圖分類號(hào)】G420 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）14-0119-01

一、研究背景

經(jīng)過實(shí)際的教學(xué)研究，發(fā)現(xiàn)高職學(xué)生學(xué)習(xí)的目的性不強(qiáng)，學(xué)習(xí)方法單一，學(xué)習(xí)情緒化較強(qiáng)，對(duì)感興趣的東西學(xué)習(xí)積極性高，而對(duì)于理論知識(shí)則學(xué)習(xí)效率就比較低。鑒于這些問題在組織教學(xué)過程中必須注意理論結(jié)合實(shí)際進(jìn)行教學(xué)，增強(qiáng)教學(xué)的生動(dòng)性和趣味性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

二、函數(shù)極值、最值的研究

在生活中，許多實(shí)際問題都可歸結(jié)為函數(shù)的極值或最值問題，如數(shù)學(xué)建模，路費(fèi)與經(jīng)費(fèi)，最優(yōu)化問題，保險(xiǎn)，價(jià)格策劃，航海，航空等眾多領(lǐng)域上都有很重要的應(yīng)用[1]。

定義設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x時(shí)，函數(shù)f（x）相應(yīng)的有增量△y= f（x0+△x）-f（x0），若兩個(gè)增量之比■，當(dāng)△x→0時(shí)的極限■■=■■存在，則稱此極限為函數(shù)y=f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)。

在直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，如圖1所示，任取xi∈[a，b]，過xi作函數(shù)f（x）的切線Ti，當(dāng) Ti平行于x軸時(shí)，則k=f '（xi）=0，我們把一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)叫作駐點(diǎn)，即圖中x1，x2，x3，x4，x5都是函數(shù)f（x）的駐點(diǎn)。同時(shí)，可見函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，x1]，[x2，x3]，[x4，x5]上有k=f '（x）>0，故函數(shù)f（x）是增加的。同理，函數(shù)f（x）在區(qū)間[x1，x2]，[x3，x4]，[x5，b]有k=f '（x）<0，故函數(shù)f（x）是增加的。

圖1

函數(shù)f（x）圖像在區(qū)間[a，b]上，以駐點(diǎn)為分界點(diǎn)把區(qū)間[a，b]分成了六個(gè)小區(qū)間[a，x1]，[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]，[x4，x5]，[x5，b]，在駐點(diǎn)X左邊的區(qū)間上任取該區(qū)間上的一點(diǎn)α，有f '（α）>0；右邊的區(qū)間上任取該區(qū)間上的一點(diǎn)β，有f '（β）<0時(shí)，則稱X為函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)（圖中呈凸?fàn)睿?，f（X）為函數(shù)的一個(gè)極大值。在駐點(diǎn)X左邊的區(qū)間上任取該區(qū)間上的一點(diǎn)α，有f '（α）<0；右邊的區(qū)間上任取該區(qū)間上的一點(diǎn)β，有f '（β）>0時(shí)，則稱X為f（x）函數(shù)的極小值點(diǎn)（圖中呈凹狀），f（X）為函數(shù)的一個(gè)極小值。

函數(shù)f（x）=■的極小值點(diǎn)在x=1處取得極小值，但是在x=1處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在。說明了導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。

可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)，但是，函數(shù)的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？如圖2所示，函數(shù)f（x）過x1，x2，x3，x4點(diǎn)的切線的斜率ki=f '（xi）=0（i=1，2，3，4），即x1，x2，x3，x4是函數(shù)f（x）的駐點(diǎn)。在區(qū)間[x1，x2]上有f '（x）>0，區(qū)間[x2，x3]上有 f '（x）>0，則在點(diǎn)x2處不存在極值點(diǎn)。所以函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。

我們可以利用極值的必要條件和第一充分條件或者用極值的第二充分條件來求解極值。

函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）在[a，b]上一定取得最大值和最小值。如果最大值和最小值在區(qū)間（a，b）內(nèi)取得，那么這個(gè)最大值和最小值一定是極大值和極小值。又由于函數(shù)f（x）的最大值和最小值可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，因此，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值最小值時(shí)應(yīng)計(jì)算出端點(diǎn)處的函數(shù)值，并把這些值加以比較，其中最大的為函數(shù)的最大值，最小的為函數(shù)的最小值[2]。

三、總結(jié)

在實(shí)際教學(xué)中，通過“文字與圖像”結(jié)合的方式來組織教學(xué)，較好的完成教學(xué)任務(wù)，使學(xué)生懂得了研究極值和最值知識(shí)是應(yīng)用數(shù)學(xué)重要的理論基礎(chǔ)之一，是生活生產(chǎn)中的必需品。通過對(duì)函數(shù)極值、最值的求解，反過來，事實(shí)告訴我們，只有掌握了函數(shù)極值和最值的理論知識(shí)，才能更好地運(yùn)用到實(shí)際生活中，使我們的生活變得快捷、有效、省事、省力。

參考文獻(xiàn)：

[1]萬金寶.工程應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009.140-147.

[2]李庶民.微積分基礎(chǔ)教程[M].北京：高等教育出版社，2016.121-130.