關(guān)于主-從混沌蔡氏電路系統(tǒng)滯后同步的若干新判據(jù)*

盧雪菁，吳曉鋒

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建漳州363000）

蔡氏電路系統(tǒng)是一類由三階常微分方程描述并且可用簡單的非線性電路實現(xiàn)的混沌系統(tǒng)[1-2]。多年來，它已成為研究混沌科學(xué)的一個基本模型。許多文獻(xiàn)已證實，在特定的主-從反饋控制框架下，兩個蔡氏電路系統(tǒng)可以實現(xiàn)混沌同步[3-33]。這些反饋控制框架包括線性狀態(tài)誤差反饋控制[3-20]、脈沖控制[21-23]、 采樣控制[24-26]、 自適應(yīng)控制[27-31]、基于觀測器的控制和自適應(yīng)滑膜控制等[32-33]。

本文研究線性狀態(tài)誤差反饋控制下的主-從蔡氏電路系統(tǒng)滯后混沌同步問題。所謂的線性狀態(tài)誤差反饋控制可描述為u（t）＝K（x-z），其中，x，z∈R3分別是主系統(tǒng)和從系統(tǒng)的狀態(tài)變量，K∈R3×3為待定的常數(shù)控制增益矩陣。

文獻(xiàn)[3]首先通過數(shù)值仿真證實了基于線性狀態(tài)誤差反饋控制的主-從蔡氏電路系統(tǒng)可以在控制增益矩陣K＝diag（k，0，0）、K＝diag（0，k，0）和K＝kI3等情況下達(dá)到混沌同步。文獻(xiàn)[4]隨后從理論上證明了控制增益矩陣K＝diag（k，0，0）情形下混沌同步的條件是反饋增益k＞6．4足夠大，并且猜想控制增益矩陣K＝diag（0，k，0）情形也有類似的混沌同步條件。文獻(xiàn)[5]進(jìn)一步從理論上證明了這一猜想，但只得到了控制增益k在一個較小的區(qū)間內(nèi)可保證混沌同步的保守結(jié)果。文獻(xiàn)[6]改善了這一結(jié)果，證明了主-從蔡氏電路系統(tǒng)在控制增益矩陣K＝diag（0，k，0）情形下的混沌同步條件可以表示為k＞k*的形式。

許多研究者其后開始轉(zhuǎn)向?qū)ふ宜^的代數(shù)型混沌同步判據(jù)，這種判據(jù)能夠直觀地用代數(shù)表達(dá)式給出由控制增益與蔡氏電路系統(tǒng)參數(shù)表示的混沌同步條件，因此很便于對控制器增益矩陣的設(shè)計。文獻(xiàn)[7-17]證明了主-從蔡氏電路系統(tǒng)關(guān)于K＝（0，0，K3）∈ R3×3、K＝diag（k1，k2，k3）、K＝kI3和K＝diag（k，0，0）等控制增益矩陣情形下的代數(shù)型混沌同步判據(jù)，其中K3∈R3。

在主-從反饋控制框架中，主系統(tǒng)的狀態(tài)變量信息傳遞到從系統(tǒng)端的控制器時客觀存在有通道時延問題。文獻(xiàn)[18-19]研究了主-從蔡氏電路系統(tǒng)在線性狀態(tài)誤差反饋控制下存在通道時延時的代數(shù)型滯后混沌同步判據(jù)，其中，控制增益矩陣為K＝diag（k1，k2，k3）和K＝diag（k，0，0）等情形。

上述對主-從蔡氏電路系統(tǒng)混沌同步的研究都是基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，因此，所獲得的混沌同步判據(jù)都是充分條件。如何改進(jìn)這些充分性混沌同步判據(jù)使它們更接近于混沌同步的必要條件，一直是混沌同步科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域的一個努力方向。本文基于文獻(xiàn)[15-16]的頻率域判據(jù)，采用多項式理論中的斯圖姆定理和因式分解定理等工具，試圖得到主-從蔡氏電路系統(tǒng)在線性狀態(tài)誤差反饋控制下達(dá)到滯后混沌同步的較少保守性的代數(shù)型判據(jù)，其中，混沌同步的滯后時間要求等同于主-從系統(tǒng)信息通道的時延時間，因此，這些新判據(jù)也適用于主-從系統(tǒng)通道時延為零的完全混沌同步問題。實例仿真表明，它們比現(xiàn)有的同類結(jié)果具有較少的保守性，即更接近于混沌同步的必要條件。

1 系統(tǒng)描述與同步框架

考慮如下無量綱形式的第一類蔡氏電路系統(tǒng)[1]：

和第二類蔡氏電路系統(tǒng) ：

其中，a和b為正常數(shù)，r≥0，非線性項φ：R→R，且

m0和m1為滿足m1＞m0的任意常數(shù)。

令x＝（x1，x2，x3）T∈R3，并引入屬性參數(shù)α：當(dāng)蔡氏電路屬于第一類時，取α＝1；當(dāng)蔡氏電路屬于第二類時，取α＝0。那么，上述兩類蔡氏電路系統(tǒng)可以表示為統(tǒng)一的矩陣形式：

其中，

并且，dα＝a（α＋m1），α∈｛0，1｝，非線性項σ：R→R滿足

如果忽略蔡氏電路（1）或（2）中電感的電阻，那么r＝0。

把式（4）描述的系統(tǒng)作為主系統(tǒng)，如下的蔡氏電路系統(tǒng)作為從系統(tǒng)：

其中的A，B，C和非線性函數(shù) σ：R→ R如式（5）或式（6）所示。在對從系統(tǒng)（7）施加一個控制u（t）后，可以得到一個由主-從蔡氏電路系統(tǒng)組成的同步框架：

這里的u（t）選擇為帶有時延的線性狀態(tài)誤差反饋控制：

其中，K∈R3×3為待設(shè)計的常數(shù)控制增益矩陣，τ≥0是同步控制過程中主系統(tǒng)端的狀態(tài)變量信號x（t）傳輸?shù)綇南到y(tǒng)端的控制器時所可能存在的信號傳輸與處理時延，假設(shè)它為常值并且可能是未知的。顯然線性狀態(tài)誤差反饋控制器（9）具有結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點。

我們的任務(wù)是設(shè)計控制增益矩陣K，使得對于主、從蔡氏電路系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)x（0）和z（0），下列極限被滿足：

我們稱滿足條件（10）的主-從同步框架（8）達(dá)到滯后時間為τ的滯后同步。

令誤差變量e（t）＝x（t-τ）-z（t）。由同步框架（8）可知該誤差變量滿足如下動力系統(tǒng)：

其中，非線性項η：R×R→R，并且

由于e（t）＝0時，η＝0，因此e（t）＝0是誤差系統(tǒng)（11）的一個平衡點。顯然，滯后同步問題（10）等價于誤差系統(tǒng)（11）在平衡點e＝0的全局漸近穩(wěn)定性問題。

定義1對于μ1＜μ2＜＋∞，稱一維函數(shù)f（y）：R→R關(guān)于變量y∈R屬于扇形[μ1，μ2]，如果對于任意的y∈R，

f∈F[μ1，μ2]＝｛φ∈ R：φ連續(xù)且

引理1由式（6）和式（12）確定的非線性項η關(guān)于變量Ce屬于扇形[0，1]。

證明由式（6）描述的σ（y）可以表示為

顯然，σ（y）關(guān)于變量y∈R是連續(xù)、非減的，并且對于任意y2＞y1∈R，（y1，σ（y1）和（y2，σ（y2））兩點連線的斜率小于45°，即

（σ（y2）-σ（y1））/（y2-y1）≤1

因此，由式（12）描述的 η（Ce，Cz）關(guān)于變量Ce是連續(xù)的。

又當(dāng)Ce＝0，即Cx（t-τ）＝Cz（t）時，η（Ce，Cz）＝0。

當(dāng)Ce≠0，即Cx（t-τ）≠Cz（t）時，不妨先假設(shè)Cx（t-τ）＞Cz（t），那么必有

綜上可知，η（Ce，Cz）關(guān)于變量Ce屬于扇形[0，1]。

引理1表明，誤差系統(tǒng)（11）是非線性項屬于扇形[0，1]的Lur'e型系統(tǒng)。根據(jù)絕對穩(wěn)定性理論[15]，如果Lur'e型的誤差系統(tǒng)（11）在扇形[0，1]中是絕對穩(wěn)定的，那么對于由式（6）和式（12）確定的η，對應(yīng)的誤差系統(tǒng)（11）在e＝0處就是全局漸近穩(wěn)定的，這說明同步框架（8）達(dá)到（10）意義下的同步。因此，我們的任務(wù)轉(zhuǎn)變?yōu)樵O(shè)計控制增益矩陣K，使得誤差系統(tǒng)（11）在扇形[0，1]中達(dá)到絕對穩(wěn)定。

2 主要結(jié)果

為了簡化由（9）描述的控制器u（t）的結(jié)構(gòu)，首先取控制增益矩陣K＝kI3。下面證明誤差系統(tǒng)（11）在控制增益矩陣K＝kI3情況下達(dá)到絕對穩(wěn)定的一個較少保守性的充分性判據(jù)。

首先，由文獻(xiàn)[16]的定理1容易得到如下結(jié)果。

引理2令

其中，z為復(fù)變量，In為n×n維單位矩陣。令Rez為復(fù)數(shù)z的實部，λi（S）為實方陣S∈Rn×n的第i個特征值.如果Reλi（A-K）＜0，i＝1，2，…，n，并且

其中j2＝-1，那么誤差系統(tǒng)（11）在扇形[0，1]中絕對穩(wěn)定。

再令

定理1 誤差系統(tǒng)（11）在控制增益矩陣K＝kI3情況下達(dá)到絕對穩(wěn)定，即主一從同步框架（8）達(dá)到式（10）意義下滯后同步的條件是同時滿足

并且，

①當(dāng)蔡氏電路系統(tǒng)參數(shù)滿足q＞0且l＞0時，同時滿足

②當(dāng)蔡氏電路系統(tǒng)參數(shù)滿足q＞0且l＜0時，同時滿足式（25）-（26）且

③當(dāng)蔡氏電路系統(tǒng)參數(shù)滿足q＜0且l＜0時，同時滿足式（27）且

④當(dāng)蔡氏電路系統(tǒng)參數(shù)滿足q＜0且l＞0時，同時滿足式（24）、式（28）-（29）。

證明 當(dāng)控制增益矩陣K＝kI3時，令

注意到誤差系統(tǒng)（11）屬于扇形[0，1]，根據(jù)引理2，首先考慮矩陣A-K的特征值λ，它顯然滿足

根據(jù)矩陣?yán)碚撝械?Hurwitz定理[34]，Reλ（AK）＜0當(dāng)且僅當(dāng)以下不等式同時成立：

由于系統(tǒng)參數(shù)a＞0，b＞0，r≥0，上述三個不等式同時成立的充要條件為式（19）-（21）同時成立。

又因為

其中Ω（·）由式（30）確定，因此，經(jīng)過一些復(fù)數(shù)運算可以求得

其中，表示復(fù)數(shù)的模，F(xiàn)（ω）＝ω6＋E1ω4＋F1ω2＋H1，E1，F(xiàn)1，H1分別由式（15）-（17）確定，誤差系統(tǒng)（11）的扇形參數(shù)μ＝1。

由此可見，對于任意的μ（ReW（jω））＞0的充要條件F（ω）＞0。

令θ2＝ω。那么，不等式F（ω）＞0當(dāng)且僅當(dāng)

又因為多項式函數(shù)f（θ）＝θ3＋E1θ2＋F1θ＋H1關(guān)于θ∈[0，＋∞]是連續(xù)的，并有因此，不等式（31）成立的充要條件是f（0）＞0且f（θ）＝0在開區(qū)間（0，＋∞）上無實根。

由式（31）可知，f（0）＞0當(dāng)且僅當(dāng)H1＞0，或者在條件（21）下等價于不等式（22）成立。

又由多項式理論中的斯圖姆定理可知[36]，f（θ）＝0在開區(qū)間（0，＋∞）上無實根等價于V（0）-V（＋∞）＝0，其中V（θ）表示關(guān)于f（θ）的斯圖姆多項式序列在點θ∈[0，＋∞]上的符號變化次數(shù)[35-36]。

由f（θ）產(chǎn)生的斯圖姆多項式序列為，其中，

這里的E1，F(xiàn)1，H1，L1分別由式（15）-（18）確定。

由此可得到關(guān)于f（0）和f（＋∞）的斯圖姆多項式序列如下：

其中，sign（）表示符號函數(shù)。

由于要求H1＞0，關(guān)于f（0）的斯圖姆多項式序列的符號序列為

關(guān)于f（＋∞）的斯圖姆多項式序列的符號序列為

那么V（0）-V（＋∞）＝0成立當(dāng)且僅當(dāng)如下任一條件被滿足：

條件1：V（0）＝V（＋∞）＝0，或等價于

條件2：V（0）＝V（＋∞）＝1，或等價于下列任一條件成立：

條件3：V（0）＝V（＋∞）＝2，或等價于下列任一條件成立：

由式（19）-（21）可知，上述同步條件中每個關(guān)于變量k的不等式都要得到形如k＞k*的解，才能保證與不等式（19）-（21）存在公共解。根據(jù)多項式因式分解定理[37]，這就要求每個不等式在變換成多項式不等式G（k）＞0的情形下，多項式G（k）關(guān)于變量k的最高次冪（有非零系數(shù)）的系數(shù)均要大于0。

由式（16）可知，多項式F1的最高次冪k4的系數(shù)為3，因此，我們應(yīng)選擇F1＞0的同步條件，這就排除了條件（34）、（37）、（40）-（41）作為同步條件的可能。

又由式（15）-（17）可知，多項式-3F1關(guān)于變量k具有非零系數(shù)的最高次冪為k2，其系數(shù)為q，多項式E1F1-9H1關(guān)于變量k具有非零系數(shù)的最高次冪為k4，其系數(shù)是2q，而由式（18）確定的多項式L1關(guān)于變量k具有非零系數(shù)的最高次冪為k6，其系數(shù)為16l。因此，

① 當(dāng)q＞0，l＞0時，必須選擇F1＞0，E21-3F1＞0，E1F1-9H1＞0，L1＞0作為同步條件，這時，只有條件（32）滿足，這等同于不等式（23）-（26）同時成立。

② 當(dāng)q＞0，l＜0時，應(yīng)該選擇F1＞0，E21-3F1＞0，E1F1-9H1＞0，L1＜0作為同步條件，這時，只有條件（33）滿足，這等同于不等式（23）和（25）-（27）同時成立。

③當(dāng)q＜0，l＜0時，應(yīng)選擇F1＞0，E21-3F1＜0，E1F1-9H1＜0，L1＜0作為同步條件，這時，只有條件（38）滿足，這等同于不等式（23）和（27）-（29）同時成立。

④ 當(dāng)q＜0，l＞0時，應(yīng)該選擇F1＞0，E21-3F1＜0，E1F1-9H1＜0，L1＞0作為同步條件，這時，只有條件（39）滿足，這等同于不等式（23）-（24）、（28）-（29）同時成立。

綜上所述，得證定理1。

下面進(jìn)一步討論一種更簡單的控制增益矩陣K＝diag（k，0，0）的混沌同步判據(jù)。

令

定理2誤差系統(tǒng)（11）在控制增益矩陣K＝diag（k，0，0）情況下達(dá)到絕對穩(wěn)定，即主一從同步框架（8）達(dá)到式（10）意義下滯后同步的條件是同時滿足

并且

①當(dāng)蔡氏電路系統(tǒng)參數(shù)滿足4b＜（r-1）2時，同時滿足

②當(dāng)蔡氏電路參數(shù)滿足2（r2＋1）＞4b＞（r-1）2時，同時滿足式（51）-（52）且

③當(dāng)蔡氏電路參數(shù)滿足4b＞2（r2＋1）時，同時滿足式（54）且

證明在式（14）-（18）中令＋dα，h2＝1，h3＝r便可以得到對應(yīng)于K＝diag（k，0，0）且由式（43）-（46）確定的E2，F(xiàn)2，H2和L2。

簡單計算可以知道，多項式的最高次冪k4的系數(shù)為1，多項式F2的最高次冪k2和多項式E2F2-9H2的最高次冪k4的系數(shù)均為（r2＋1-2b），多項式L2的最高次冪k8的系數(shù)為（r2-1）2-4b（r＋1）2。那么，類似于定理1的證明方法可以得證本定理。

應(yīng)該注意到同步目標(biāo)（10）中的混沌同步滯后時間τ等同于主-從蔡氏電路系統(tǒng)的通道時延τ，而上述同步判據(jù)都與時延τ無關(guān)。這說明只要滿足上述同步判據(jù)，主-從混沌蔡氏電路系統(tǒng)對于任意的通道時延τ都可以達(dá)到滯后同步，并且同步滯后時間自然地跟隨主-從系統(tǒng)的通道時延。這個性質(zhì)為工程應(yīng)用帶來了便利，同時也表明這些同步判據(jù)同樣適用于如文獻(xiàn)[3-17]所涉及的不考慮通道時延（即τ＝0）的主-從蔡氏電路系統(tǒng)完全混沌同步問題。

3 實例分析

關(guān)于主-從蔡氏電路系統(tǒng)在控制增益矩陣為K＝kI3和K＝diag（k，0，0）的線性狀態(tài)誤差反饋控制下的混沌同步判據(jù)已有一些結(jié)果[9，12，14，16-18]。本節(jié)將進(jìn)一步地把本文得到的新的混沌同步判據(jù)與這些結(jié)果進(jìn)行實例仿真比較。

文獻(xiàn)[17]研究了主-從的第一類蔡氏電路系統(tǒng)在控制增益矩陣K＝kI3情況下的同步判據(jù)。令第一類蔡氏電路系統(tǒng)的參數(shù)值為：

再令主蔡氏電路系統(tǒng)的初始條件為x（0）＝（0.1，-0.2，-0.3）T，從蔡氏電路系統(tǒng)的初始條件為z（0）＝（-10，-5，-5）T。第一類主蔡氏電路系統(tǒng)的多螺旋混沌軌跡如圖1所示。

圖1 第一類主蔡氏電路系統(tǒng)的混沌軌跡Fig.1 The chaotic orbits of the first class of the master Chua's circuits

文獻(xiàn)[17]證明了控制增益矩陣K＝kI3情況下的同步判據(jù)，由文獻(xiàn)中的式（27）-（30）、（33）確定。根據(jù)該判據(jù)可以求得主-從蔡氏電路系統(tǒng)在上述參數(shù)值條件下的同步條件為：k＞6.4。文獻(xiàn)[9]的定理4給出了另一個關(guān)于控制增益矩陣K＝kI3的同步判據(jù)，由此也可以求得主-從蔡氏電路系統(tǒng)在上述參數(shù)值條件下的同步條件：k＞40.41。

現(xiàn)在，我們考慮本文定理1中的判據(jù)。對于第一類蔡氏電路系統(tǒng)，dα＝a（1＋m1）。不難驗證，在上述參數(shù)值情況下，q＝-56.75＜0，l＝-2.007×103＜0。因此，同步判據(jù)由式（19）-（23）、（27）-（29）確定。通過計算，可得到這些判據(jù)不等式的解依次為：k＞-1.4；k≥0.23；k≥-4.65；k≤-4.66或k≥3.85；任意實數(shù)k；任意實數(shù)k；k≤-6.2或k≥5.2；任意實數(shù)k。取這些解的交集可得關(guān)于控制增益矩陣K＝kI3的同步條件為：k≥5.2。顯然，本文得到的同步條件優(yōu)于文獻(xiàn)[9]和[17]的結(jié)果。

圖2 主—從蔡氏電路混沌系統(tǒng)在控制增益矩陣K＝5.5I3下的同步過程Fig.2 The synchronization evolution of the master-slave Chua's circuits by K＝5.5I3

取k＝5.5，它滿足本文得到的同步條件，但不滿足文獻(xiàn)[9]和[17]得到的同步條件。圖2顯示了主—從蔡氏電路混沌系統(tǒng)在控制增益矩陣K＝5.5I3情形下的同步過程。

現(xiàn)在考慮控制增益矩陣K＝diag（k，0，0）的情況。

文獻(xiàn)[16]研究了主-從的第二類蔡氏電路系統(tǒng)在控制增益矩陣K＝diag（k，0，0）情形下的同步問題，得到了文獻(xiàn)中式（19）、（22）和（25）所示的3個同步判據(jù)。如果取第二類蔡氏電路系統(tǒng)的參數(shù)值為：

那么，由該3個判據(jù)得到的控制增益矩陣K＝diag（k，0，0）情形下的同步條件分別為：

現(xiàn)在采用本文定理2中的判據(jù)，此時dα＝am1。對于由式（58）給定的參數(shù)值，顯然有2b＞r2＋1。因此，同步判據(jù)由式（47）-（50）、（54）-（56）確定。通過計算可以得到這些判據(jù)不等式的解依次為：k≥-3.571；k≥4.71或k≤-1.85；k≥-2.57；k≥1.29或k≤-2.58；k≤1.28或k≥9.166；k≤-2.47或k≥1.297；k≤-3.17或k＞1.23。取這些不等式解的交集，可以得到關(guān)于控制增益矩陣K＝diag（k，0，0）的同步條件為：k≥9.166。該條件顯然優(yōu)于上述文獻(xiàn)[17]得到的3個結(jié)果。

令主蔡氏電路系統(tǒng)的初始條件為x（0）＝（0.1，-0.2，-0.3）T，從蔡氏電路系統(tǒng)的初始條件為z（0）＝（-10，-5，-5）T。取k＝10，它滿足本文得到的同步條件，但不滿足文獻(xiàn)[16]得到的同步條件。圖3和圖4分別顯示了第二類主蔡氏電路系統(tǒng)的混沌軌跡和主—從蔡氏電路系統(tǒng)在控制增益矩陣K＝diag（10，0，0）情形下的同步過程。

圖3 第二類主蔡氏電路系統(tǒng)的混沌軌跡Fig.3 The chaotic orbits of the second class of Chua's circuits

文獻(xiàn)[12，14，17-18]考慮了主-從的第一類蔡氏電路系統(tǒng)在控制增益矩陣K＝diag（k，0，0）情形下的同步問題。文獻(xiàn)[12]得到的同步判據(jù)由其定理1描述；文獻(xiàn)[14]得到的同步判據(jù)由其式（25）表達(dá)；文獻(xiàn)[17]得到的同步判據(jù)由其式（36）確定；文獻(xiàn)[18]得到的同步判據(jù)由其推論2描述。如果取蔡氏電路系統(tǒng)的參數(shù)值如式（57）所示，那么，文獻(xiàn)[12，14，17-18]的同步判據(jù)所得到的控制增益矩陣K＝diag（k，0，0）情形下的同步條件分別為：k≥12.7λ（λ＞1）；k＞12.7；k≥18.40；k＞12.7?，F(xiàn)在取本文定理2中的判據(jù)，此時dα＝a（1＋m1）。由于式（57）給定的參數(shù)值滿足2b＞r2＋1。因此，同步判據(jù)由式（47）-（50）、（54）-（56）確定。通過計算可以得到這些判據(jù)不等式的解依次為：k＞-4.2；k≥5.3或k≤-2.61；k＞-3.2；k＞2.7或k＜-3.2；k≥11.77或k≤2.68；k≥2.73或k≤-3.13；k≥2.52或k≤-3.71。取這些不等式的交集，可以得到關(guān)于控制增益矩陣K＝diag（k，0，0）的同步條件為：k≥11.77。該條件顯然優(yōu)于文獻(xiàn)[12，14，17-18]得到的上述結(jié)果。

圖4 主—從蔡氏電路系統(tǒng)在控制增益矩陣 K＝diag（10，0，0）下的同步過程Fig.4 The synchronization evolution of the master-slave Chua's circuits by K＝diag（10，0，0）

圖5 主—從蔡氏電路系統(tǒng)在控制增益矩陣K＝diag（12，0，0）情形下的同步過程Fig.5 The synchronization evolution of the master-slave Chua's circuits by K＝diag（12，0，0）

令主蔡氏電路系統(tǒng)的初始條件為x（0）＝（0.1，-0.2，-0.3）T，從蔡氏電路系統(tǒng)的初始條件為z（0）＝（-10，-5，-5）T。取k＝12，它滿足本文得到的同步條件，但不滿足文獻(xiàn)[12，14，17-18]得到的同步條件。圖5顯示了主-從蔡氏電路系統(tǒng)在控制增益矩陣K＝diag（12，0，0）情形下的同步過程。

4 小 結(jié)

本文采用多項式理論中的斯圖姆定理和因式分解定理，嚴(yán)格證明了主-從蔡氏電路系統(tǒng)在線性狀態(tài)誤差反饋控制下存在通道時延時的若干滯后混沌同步判據(jù)，其中涉及控制增益矩陣K＝diag（k，0，0）和K＝kI3等情形。實例分析表明，本文得到的同步判據(jù)比文獻(xiàn)[12，14-15，17-19]的同類判據(jù)更少保守性。這一方法也可用于尋找其它控制增益矩陣或其它主-從混沌系統(tǒng)的同步判據(jù)。

[1]CHUA L O.Global unfolding of Chua's circuit[J].IEICE T Fund Electronics Commun Comput Sci，1993，76（5）：704-734.

[2]CHUA L O.Chua's circuit 10 years later[J].Int J Circuit Theory Appl，1994，22（4）：279-305.

[3]KAPITANIAK T，SEKIETA M.Monotone synchronization of chaos[J].Int J Bifurc Chaos，1996，6（1）：211-217.

[4]WU C W，CHUA L O.A unified framework for synchronization and control of dynamical systems[J].Int J Bifurc Chaos，1994，4（4）：979-987.

[5]WANG，X F，WANGZQ，CHEN G.A new criterion for synchronization of coupled chaotic oscillators with application to Chua's circuits[J].Int J Bifurc Chaos，1999，9（6）：1169-1174.

[6]ZHENG Y，LIU Z，ZHOU J.A new synchronization principle and application to Chua's circuits[J].Int JBifurc Chaos，2002，12（4）：815-818.

[7]WANG X F，WANG Z Q.Synchronization of Chua's oscillators with the third state as the driving signal[J].Int J Bifurc Chaos，1998，8（7）：1599-1603.

[8]LIU F，REN Y，SHAN X M，et al.A linear feedback synchronization theorem for a class of chaotic systems[J].Chaos Solitons Fractals，2002，13（4）：723-730.

[9]LIAO X X，CHAO G R.Some new results on chaos synchronization[J].Control Theory Appl，2003，20（2）：253-257.

[10]JIANG G P，ZHENG W X，CHEN G R.Global chaos synchronization with channel time-delay[J].Chaos Solitons Fractals，2004，20：267-275.

[11]WU X F，ZHAOY.Frequency domain criterion for chaos synchronization of Lur'e systems via linear state error feedback control[J].Int J Bifurc Chaos，2005，15（4）：1145-1154.

[12]LIAOX X，CHEN GR，XUB J，et al.On global exponential synchronization of Chua circuits[J].Int J Bifurc Chaos，2005，15（7）：2227-2234.

[13]JIANG G P，TANG W K S，CHEN G.A simple global synchronization criterion for coupled chaotic systems[J].Chaos Solitons Fractals，2003，15（5）：925-935.

[14]JIANG G P，TANG W K S.A global synchronization criterion for coupled chaotic systems via unidirectional linear error feedback approach[J].Int JBifurc Chaos，2002，12（10）：2239-2253.

[15]CURRAN P F，CHUA L O.Absolute stability theory and the synchronization problem[J].Int J Bifurc Chaos，1997，7（6）：1375-1382.

[16]WU X F，ZHAOY.Frequency domain criterion for chaos synchronization of Lur'e systems via linear state error feedback control[J].Int J Bifurc Chaos，2005，15（04）：1445-1454.

[17]WU X F，CAI JP，ZHAOY.Some new algebraic criteria for chaos synchronization of Chua's circuits by linear state error feedback control[J].Int J Circuit Theory Appl，2006，34（3）：265-280.

[18]JIANG G P，ZHENG W X，CHEN G.Global chaos synchronization with channel time-delay[J].Chaos Solitons Fractals，2004，20（2）：267-275.

[19]SUN J.Global synchronization criteria with channel time-delay for chaotic time-delay system[J].Chaos Solitons Fractals，2004，21（4）：967-975.

[20]王建根.非恒同主從耦合混沌系統(tǒng)一致同步的判據(jù)[J].中山大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2005，44（2）：19-22.WANG J G.Uniformly synchronization criterion for non-identical coupled master-slave chaotic system[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni，2005，44（2）：19-22.

[21]SUN J T，ZHANG Y P.Impulsive control and synchronization of Chua's oscillators[J].Math Comput Simul，2004，66（6）：499-508.

[22]LI Z G，WEN C Y，SOH Y C，et al.The stabilization and synchronization of Chua's oscillators via impulsive control[J].IEEE T CAS-I，2001，48（11）：1351-1355.

[23]WANG Y W，WEN C，XIAO J W，et al.Impulsive synchronization of Chua's oscillators via a single variable[J].Chaos Solitons Fractals，2006，29（1）：198-201.

[24]ZHANG C K，JIANG L，HE Y，et al.Asymptotical synchronization for chaotic Lur'e systems using sampleddata control[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simul，2013，18（10）：2743-2751.

[25]WANG Y Y，SHI P.On master-slave synchronization of Chaotic Lur'e systems using sampled-data control[J].IEEE T CAS-II，2016（99）：1.

[26]LEE T H，PARK J H.Improved criteria for sampleddata synchronization of chaotic Lur'e systems using two new approaches[J].Nonlinear Analysis：Hybrid Systems，2017，24：132-145.

[27]LIAO T L，LIN SH.Adaptive control and synchronization of Chua's circuits[J].Asian J Control，1999，1（2）：75-87.

[28]YASSEN M T.Adaptive control and synchronization of a modified Chua's circuit system[J].Appl Math Comput，2003，135（1）：113-128.

[29]YAOYAOL A N.Adaptive control for synchronization of Chua's circuit[J].J Comput Inform Systems，2013，9（14）：5751-5759.

[30]SALARIEH H，ALASTY A.Adaptive chaos synchronization in Chua's systems with noisy parameters[J].Math Comput Simul，2008，79（3）：233-241.

[31]SIDERSKIY V，KAPILA V.Parameter matching using adaptive synchronization of two Chua's oscillators[J].Int J Bifurc Chaos，2014，24（11）：212-3470.

[32]解玲麗，周毅.基于同步方法的觀測器設(shè)計[J].中山大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008，47（5）：5-10.XIE L L，ZHOU Y.Observer design based on some synchronization technique[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni，2008，47（5）：5-10.

[33]YAN J J，LIN J S，LIAO T L.Synchronization of a modified Chua's circuit system via adaptive sliding mode control[J].Chaos Solitons Fractals，2008，36（1）：45-52.

[34]廖曉昕.穩(wěn)定性的理論、方法和應(yīng)用[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2010.

[35]李師正.多項式代數(shù)[M].濟(jì)南：山東教育出版社，1983.

[36]JACOBSON N.Basic algebra I[M].San Francisco：W H Freeman and Company，1974.

[37]王住登.高等代數(shù)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2009.