一個(gè)廣義Camassa-Holm方程的行波解*

涂郗，丘梅清，陸小釧，賴承棟，吳艾霞

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，廣東佛山528000）

隨著近代物理學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展，早在1834年由英國(guó)科學(xué)家Russell發(fā)現(xiàn)的孤立波現(xiàn)象近20多年引起了人們的極大關(guān)注，人們對(duì)這一現(xiàn)象的研究興趣與日俱增。這是因?yàn)橐环矫婀铝⒆泳哂辛Ｗ雍筒ǖ脑S多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理論也成功解釋了許多物理上長(zhǎng)期用經(jīng)典理論未能解答的現(xiàn)象；另一方面，隨著孤立子問(wèn)題的深入探究，孤立子的數(shù)學(xué)理論也應(yīng)運(yùn)而生，并已初步形成比較完善的理論體系。

孤立子理論自1965年由Zabusky和Kruskal對(duì)孤立子（soltion，簡(jiǎn)稱孤子）命名后得到了迅速的發(fā)展。究其原因是孤波現(xiàn)象無(wú)處不在，從天上渦旋星系的密度波、線、超流氦-3、超導(dǎo)Josephson結(jié)、磁學(xué)以及基本的粒子等等，都與我們上文提到的孤子有關(guān)。隨著社會(huì)的發(fā)展，描述孤立波現(xiàn)象的方程不只有KdV方程，還有Burgers方程，Sine-Gordon方程，KP方程，Camassa-Holm（CH）方程等等。

1993年，美國(guó)阿爾莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的科學(xué)家Camassa和 Holm[1]在研究淺水波運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)用Hamiltonian方法得到一個(gè)淺水波模型：

其中U是x方向上流體速度（或水的自由表面的高度），k是與臨界淺水波波速相關(guān)的一個(gè)參數(shù)，下標(biāo)表示偏導(dǎo)數(shù)。

CH方程是完全可積系統(tǒng)，具有哈密頓結(jié)構(gòu)和無(wú)窮多守恒律[1-3]，是一類非常奇特且重要的孤立波方程，且是一個(gè)小振幅的淺水波模型，當(dāng)k＝0是孤立子具有尖峰性質(zhì)，當(dāng)k≠0時(shí)孤立子無(wú)尖峰性質(zhì)[1]。CH方程是第一個(gè)被發(fā)現(xiàn)能同時(shí)描述波裂現(xiàn)象和孤立子現(xiàn)象的淺水波方程 ，并且可以作為Euler方程自由邊界問(wèn)題的近似模擬。正是因?yàn)镃H方程具有這些特性，許多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家對(duì)此產(chǎn)生極大的興趣，它的數(shù)學(xué)研究也已取得大量的成果，如適定性[4-8]，行波解[9-10]等。關(guān)于 CH方程的推廣也得到了一些結(jié)果[11-15]。

本文要研究的方程恰是CH方程的推廣，是一類特殊的廣義的Camassa-Holm方程，也是完全可積的淺水波方程[16]，即

其中U為流速。類似于CH方程，這個(gè)方程完全可積且可以很好地描述波裂現(xiàn)象和孤立子現(xiàn)象，且存在扭結(jié)解（波本身及其關(guān)于空間變量的一階導(dǎo)數(shù)有界但二階導(dǎo)數(shù)卻在有限時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生奇性）[14-15]。Rehman，Gambino和 Roy Choudhury研究了該方程的行波解[17]。

在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域內(nèi)，完全可積系統(tǒng)和淺水波模型的研究一直是熱點(diǎn)，許多物理數(shù)學(xué)家對(duì)此保持極高的關(guān)注。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，可積系統(tǒng)具有無(wú)窮多個(gè)守恒律。而守恒律是物理學(xué)中用于描述現(xiàn)實(shí)世界的基本定律，因此從數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)出來(lái)的可積系統(tǒng)必定與現(xiàn)實(shí)世界存在著某種聯(lián)系。我們對(duì)這些新型的可積系統(tǒng)進(jìn)行深入的研究，這有助于人們更清楚地理解和認(rèn)識(shí)客觀世界。從物理學(xué)和工程學(xué)的角度看，靠近陸地的水波都可以近似的看成是淺水波。淺水波理論的研究，對(duì)實(shí)際應(yīng)用是非常有幫助的。例如，海洋中最重要的一種現(xiàn)象：海嘯。此外孤立子的軌道穩(wěn)定性是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家最關(guān)注的問(wèn)題，也值得我們深入研究，故本項(xiàng)目的研究在數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用中都有重要的意義。

對(duì)于本文要研究的特殊的廣義的Camassa-Holm方程，我們用直接積分的方法計(jì)算出這個(gè)方程的所有初等積分形式，并分別討論了c1≠0，且c2≠0與c1＝c2＝0兩種情況下方程的積分形式，其中在計(jì)算當(dāng)c1≠0，且c2≠0的其中一種Δ＜0的情況時(shí)，采用了天珩公式來(lái)計(jì)算方程的積分形式。

方程（1）等價(jià)于下述方程

令 ξ＝x-ct，則U（t，x）＝V（ξ）。方程（2）可化為：

對(duì)ξ進(jìn)行二次積分，并化簡(jiǎn)得

1 一般情況下行波解的積分表達(dá)式

（a）當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程（4）有實(shí)數(shù)解：

即方程（3）有實(shí)數(shù)解：

令Vξ＝0，該方程無(wú)解，故無(wú)積分表達(dá)式。

（b）當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程（4）有2個(gè)實(shí)數(shù)解。

（I）方程（4）的第 1個(gè)實(shí)數(shù)根為X1＝，即方程（3）有實(shí)數(shù)解

這是一個(gè)一元三次方程。令

由卡爾丹公式可得：

① 當(dāng)Δ1＞0時(shí)，方程（5）有解：

則其行波解的積分形式為

（i）當(dāng)V11＞0時(shí)，

（ii）當(dāng)V11＜0時(shí)，

②當(dāng)Δ1＝0時(shí)，方程（5）有2個(gè)實(shí)數(shù)根：第1個(gè)實(shí)數(shù)根為

則其行波解的積分形式為

（iii）當(dāng)V21＞0時(shí)，

第2個(gè)實(shí)數(shù)根為

則其行波解的積分形式為

③當(dāng)Δ1＜0時(shí)，方程（5）有3個(gè)實(shí)數(shù)根：第1個(gè)實(shí)數(shù)根為

則其行波解的積分形式為

（vii）當(dāng)V31＞0時(shí)，

第2個(gè)實(shí)數(shù)根為

則其行波解的積分形式為

（ix）當(dāng)V32＞0時(shí)，

第3個(gè)實(shí)數(shù)根為

則其行波解的積分形式為

（xi）當(dāng)V33＞0時(shí)，

（II）方程（3）第二個(gè)實(shí)數(shù)根為

這也是一個(gè)一元三次方程，同理情況（I），我們可以得到在此情形下的積分形式。

（c）當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程（5）有3個(gè)解。

（III）方程（3）的第1個(gè)實(shí)數(shù)根為：

令Vξ1＝0，我們發(fā)現(xiàn)，滿足以下方程

這是一個(gè)一元九次方程，由天珩公式可知，當(dāng)時(shí)，該方程（6）有一實(shí)數(shù)根為

即方程Vξ1＝0存在一解：

則其行波解的積分形式為

（IV）方程（3）的第2個(gè)實(shí)數(shù)根為

令Vξ2＝0，我們可以得到滿足一個(gè)一元九次方程，同樣由天珩公式可知該方程的實(shí)數(shù)根，故同理可得到積分表達(dá)式。

（V）方程（3）第3個(gè)實(shí)數(shù)根為

這種情況與情況（III）和情況（IV）相似，這里就不一一闡述。

2 特殊情況下行波解的積分表達(dá)式

當(dāng)c1＝c2＝0時(shí)，

（a）當(dāng)Δ＝c（16V＋3c）＜0時(shí)，該一元三次方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根：

令Vξ1＝0，則V＝0為非極限零點(diǎn)，故無(wú)積分表達(dá)式。

（b）當(dāng)Δ＝c（16V＋3c）＝0時(shí)，該一元三次方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根。

第1個(gè)實(shí)數(shù)根為

第2個(gè)實(shí)數(shù)根為

令Vξ2＝0則V＝為非極限零點(diǎn)，故無(wú)積分表達(dá)式。

（c）當(dāng)Δ＝c（16V＋3c）＞0時(shí)，該一元三次方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根。

第1個(gè)實(shí)數(shù)根為

第2個(gè)實(shí)數(shù)根為

第3個(gè)實(shí)數(shù)根為

① 令Vξ2＝0，得

該方程等價(jià)于

可得V＝0，V＝-，其中V1為極限零點(diǎn)，V2為非極限零點(diǎn)。其方程行波解的根的積分表達(dá)式為

（i）當(dāng)c＞0時(shí)，

（ii）當(dāng)c＜0時(shí)，

可得V1＝0，V2＝-，其中V1為極限零點(diǎn)，V2為非極限零點(diǎn)。其方程行波解的根的積分表達(dá)式為

（iii）當(dāng)c＞0時(shí)，

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