具飽和發(fā)生率的被修正HIV傳染病模型的全局穩(wěn)定性*

楊俊仙，王雷宏

（1.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，安徽合肥230036；2.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)林學(xué)與園林學(xué)院，安徽合肥230036）

艾滋病的病原體是人類(lèi)免疫缺陷病毒（Human Immunodeficiency Virus，簡(jiǎn)稱(chēng) HIV），主要感染人體免疫系統(tǒng)細(xì)胞CD4＋T，可引起細(xì)胞計(jì)數(shù)大幅度下降，導(dǎo)致人體免疫缺陷，嚴(yán)重影響患者抵御感染的能力[1]。

目前，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為分析和控制傳染病傳播的重要工具。近年來(lái)，對(duì)艾滋病在數(shù)學(xué)建模方面的研究已取得很大進(jìn)展[2-3]。對(duì)模型的改進(jìn)是為了更好地分析和解釋病情，并預(yù)測(cè)和控制發(fā)病率。最初的HIV/AIDS模型是由Nowak和Perelson等[4-5]提出的，該模型被廣泛應(yīng)用于艾滋病感染動(dòng)力學(xué)：

其中T（t），I（t），V（t）分別表示t時(shí)刻未感染 CD4＋T細(xì)胞個(gè)數(shù)、已感染CD4＋T細(xì)胞個(gè)數(shù)和病毒載量（HIV）。參數(shù)A表示未感染細(xì)胞的固有生成率，β表示病毒感染率，d1，d2，d3分別表示未感染細(xì)胞、已感染細(xì)胞和病毒的死亡率，k表示病毒復(fù)制率。A，β，d1，d2，d3，k均為正數(shù)。

在20世紀(jì)90年代，有一個(gè)關(guān)于HIV RNA轉(zhuǎn)錄成DNA的討論：當(dāng)HIV病毒進(jìn)入CD4＋T細(xì)胞后，HIV病毒可能并未完全反轉(zhuǎn)錄成DNA。在病毒基因組被整合到淋巴細(xì)胞基因組之前，一部分處于潛伏期的感染細(xì)胞可以恢復(fù)到未被感染的狀態(tài)[6]。最近，已有一些數(shù)學(xué)模型建立在這樣假設(shè)（部分感染細(xì)胞可恢復(fù)到未被感染狀態(tài)）的基礎(chǔ)上[7-8]。其中 Srivastava和 Chandra討論了如下模型[7]：

其中變量T（t），I（t），V（t）和參數(shù)A，β，d1，d2，d3，k與模型（1）具有相同的意義，這里參數(shù)p（p＞0）表示處于潛伏期感染細(xì)胞的恢復(fù)率。

在模型（1）和（2）中，感染率 βT（t）V（t）被假設(shè)為在未感染細(xì)胞個(gè)數(shù)T（t）和病毒載量V（t）之間是雙線性的。然而，實(shí)際發(fā)生率可能不是完全雙線性的。Sun等[9]提出了如下模型：

此處用的是非線性發(fā)生率即發(fā)生率不再是未感染細(xì)胞個(gè)數(shù)T（t）和病毒載量V（t）的雙線性關(guān)系。

在本文，我們提出了具有飽和發(fā)生率的被修正HIV傳染病模型：

假設(shè)參數(shù)α＞0且d1≤d2。

由系統(tǒng)（4）的前2個(gè)方程得，

再由系統(tǒng)（4）的第3個(gè)方程得

于是

因此系統(tǒng)（4）的正向不變集為

1 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

系統(tǒng)（4）總存在無(wú)病平衡點(diǎn)E0（T0，0，0），其中。定義基本再生數(shù)

易證：當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)（4）存在唯一的正平衡點(diǎn)E*（T*，I*，V*），其中

且正平衡點(diǎn)E*（T*，I*，V*）在Ω的內(nèi)部：

因此，只需要在Ω0上考慮E*（T*，I*，V*）的穩(wěn)定性。

1.1 無(wú)病平衡點(diǎn)E0的局部穩(wěn)定性

定理1當(dāng)R0＜1時(shí)，系統(tǒng)（4）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0（T0，0，0）是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時(shí)，E0（T0，0，0）是不穩(wěn)定的。

證明系統(tǒng)（4）在無(wú)病平衡點(diǎn)E0（T0，0，0）處的線性化系統(tǒng)的特征方程為

顯然，方程（9）總有負(fù)實(shí)根λ＝-d1，其余的根取決于方程

整理方程（10）得

當(dāng)，方程（11）所有的根均有負(fù)實(shí)部，因此無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的。當(dāng)R0＞1時(shí)，方程（11）有一個(gè)正實(shí)根，因此無(wú)病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的。

1.2 正平衡點(diǎn)E*（T*，I*，V*）的局部漸近穩(wěn)定性

定理2當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)（4）的正平衡點(diǎn)E*（T*，I*，V*）是局部漸近穩(wěn)定的。

證明系統(tǒng)（4）在正平衡點(diǎn)E*（T*，I*，V*）的線性化系統(tǒng)的特征方程為

由Routh-Hurwitz判別準(zhǔn)則知，正平衡點(diǎn)E*（T*，I*，V*）是局部漸近穩(wěn)定的。

2 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

2.1 無(wú)病平衡點(diǎn)E0的全局漸近穩(wěn)定性

定理3當(dāng)R0＜1時(shí)，系統(tǒng)（4）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0（T0，0，0）在Ω內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明令（T（t），I（t），V（t））是系統(tǒng)（4）的任一正解，定義Lyapunov函數(shù)：

計(jì)算V1（t）沿系統(tǒng)（4）的全導(dǎo)數(shù)：

當(dāng)R＜1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)V（t）＝0時(shí)。因此，在 Ω內(nèi)的最大正向不變集為

于是有極限方程：

定義Lyapunov函數(shù)：

其中T0＝。計(jì)算V2（t）沿系統(tǒng)（13）的全導(dǎo)數(shù)：

其中當(dāng)且僅當(dāng)T（t）＝T0，I（t）因此的正向不變集為：

由 LaSalle不變集原理知，E0（T0，0，0）是全局漸近穩(wěn)定的。

2.2 正平衡點(diǎn)E*的全局漸近穩(wěn)定性

設(shè)開(kāi)集是C1函數(shù)?？紤]微分方程

設(shè)x（t，x0）代表方程（15）滿足條件x（0）＝x0的解。令是系統(tǒng)（15）的一個(gè)平衡點(diǎn)，Li等[10]作了下面兩個(gè)基本假設(shè)：

（H1）方程（15）在Γ內(nèi)存在一個(gè)緊吸引子集K?Γ；

（H2）方程（15）在Γ內(nèi)有唯一平衡點(diǎn)∈Γ。

給出了如下結(jié)論：

引理1[10]若下列條件成立：

（i）假設(shè)（H1）和（H2）成立；

（ii）方程（15）滿足 Poincare′-Bendixson性質(zhì)；

（iii）對(duì)系統(tǒng)（15）具有p（0）∈D的每一個(gè)周期解x＝p（t），系統(tǒng)（15）關(guān)于p（t）的二階復(fù)合矩陣

是漸近穩(wěn)定的，其中是f的Jacobian矩陣的第二加性復(fù)合矩陣；

則系統(tǒng)（15）的唯一平衡點(diǎn)在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

定理4當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)（4）的正平衡點(diǎn)E*（T*，I*，V*）在Ω0內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明根據(jù)引理，逐條驗(yàn)證四個(gè)條件：

（i）條件（H1）等價(jià)于系統(tǒng)（4）的一致持久性[11]。由式（8）知，Ω0是有界的，所以對(duì)于系統(tǒng)（4）的一致持久性的充分必要條件等價(jià)于平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的 。定理1已證：當(dāng)R0＞1時(shí)，E0是不穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)（4）一致持久的，從而（H1）成立。

同時(shí)，由于E*（T*，I*，V*）是系統(tǒng)（4）在Ω0內(nèi)的唯一平衡點(diǎn)，因此（H2）成立。

（ii）系統(tǒng)（4）的Jacobian矩陣為

取H＝diag（1，-1，1），則

顯然，HJH的非對(duì)角線元素非正，系統(tǒng)（4）滿足Poincare′-Bendixson性質(zhì)，因此引理1的條件（ii）成立。

（iii）令p（t）＝（T（t），I（t），V（t））是系 統(tǒng)（4）在Ω0內(nèi)的任意一個(gè)周期解，則系統(tǒng)（4）的Jacobian矩陣的第二加性復(fù)合矩陣為

沿系統(tǒng)（4）任一周期解（T（t），I（t），V（t））的二階復(fù)合系統(tǒng)為

考慮Lyapunov函數(shù)：

由一致持久性知，周期解p（t）＝（T（t），I（t），V（t））與邊界?Ω有一定的距離，故存在常數(shù)μ＞0，使得T（t）＞μ，I（t）＞μ，V（t）＞μ。并結(jié)合式（8）中的得

對(duì)全部（ω1，ω2，ω3）∈ R3及（T（t），I（t），V（t）），計(jì)算V3的右導(dǎo)數(shù)。注意到

于是由式（22），式（25）和Gronwall不等式得

由上式知故由式（19）知，當(dāng)t即二階復(fù)合系統(tǒng)（18）是漸近穩(wěn)定的。這樣就驗(yàn)證了引理1中的條件（iii）。

（iv）由式（13）可得，

由于J（E*）是3×3矩陣，即n＝3，于是

驗(yàn)證了引理1的條件（iv）。

因此，當(dāng)R0＞1時(shí)，由引理得，系統(tǒng)（4）唯一的正平衡點(diǎn)E*（T*，I*，V*）在Ω0內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù)值模擬

在系統(tǒng)（4）中，令參數(shù)A＝5，k＝10，β＝0.000 2，α＝0.5，p＝0.5，d1＝0.1，d2＝0.5，d3＝0.3，顯然R0＝＜1，此時(shí)系統(tǒng)存在一個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)E0（50，0，0）。由定理3可知，E0是全局漸近穩(wěn)定的，數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了上述結(jié)論（見(jiàn)圖1）。

圖1 R0 ＜1時(shí)，E0（T0，0，0）的穩(wěn)定性Fig.1 When R0 ＜1，the stability of E0（T0，0，0）

若令參數(shù)此時(shí)系統(tǒng)（4）有唯一的正平衡點(diǎn)E*（41.92，1.62，53.89）。根據(jù)定理4可知，E*是全局漸近穩(wěn)定的，數(shù)值模擬的結(jié)果與文中結(jié)論一致（見(jiàn)圖2）。

圖2 R0＞1時(shí)，E*（T*，I*，V*）的穩(wěn)定性Fig.2 When R0 ＞1，the stability of E*（T*，I*，V*）

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