程序設(shè)計(jì)求解數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用實(shí)例

王明菱 付云偉 王麗明

摘要：程序設(shè)計(jì)為解決數(shù)學(xué)問題提供了可行的思路和方法。借助程序可以快速解決不可積的積分問題、快速求冪問題、矩陣乘法問題、歐幾里德問題等數(shù)學(xué)問題，從應(yīng)用實(shí)例中領(lǐng)悟了程序設(shè)計(jì)在解決數(shù)學(xué)問題上的優(yōu)越性和便利性。

關(guān)鍵詞：程序設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)；積分；快速冪；矩陣；歐幾里德

中圖分類號(hào)：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2018）07-0078-04

程序設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)之間有著天然的聯(lián)系，兩者相輔相成。數(shù)學(xué)是程序設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，程序設(shè)計(jì)基于數(shù)學(xué)建模，又成為解決數(shù)學(xué)問題的一種重要途徑。實(shí)踐中，借助程序快速求解了不可積的積分問題、快速求冪問題、矩陣乘法問題、歐幾里德問題，用實(shí)例證明并展示了程序設(shè)計(jì)應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)問題的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)和便捷高效。

1 不可積的積分問題

在實(shí)際數(shù)學(xué)運(yùn)算中，經(jīng)常要用到各種積分。能夠直接積出來的積分已經(jīng)不是難題，但一旦遇到不可積的積分，人們往往束手無(wú)策。作者借助程序?qū)⒉豢煞e的積分進(jìn)行了求解。對(duì)不可積的積分問題的近似解，提出了兩種方法，一種是根據(jù)積分的性質(zhì)以及求積分的基本思想，利用分割取近似的方法，將積分的近似值求出來。另一種是使用Romberg算法，將被積函數(shù)展開，并使用梯形法遞推公式，以求出積分的值。

1.1分割取近似法（詳見附錄1：“求積分（近似）.cpp”）

分割取近似法是在求定積分的過程中常用的方法。具體方法是，設(shè)被積函數(shù)為f（x），將積分區(qū)間平均分成n等份，每份的寬度為h，則：

實(shí)踐中，可以用類似于上述實(shí)例的求解方法，在求gcd（m，n）的過程中，通過逆推將線性組合表示出來。

擴(kuò)展歐幾里德算法實(shí)現(xiàn)：詳見附錄6：“歐幾里德.cpp”。

5 結(jié)束語(yǔ)

借助程序快速求解不可積的積分問題、快速求冪問題、矩陣乘法問題、歐幾里德問題等實(shí)例，從新的視角展示了程序設(shè)計(jì)在解決數(shù)學(xué)問題上的應(yīng)用優(yōu)越性。利用分割取近似的方法求解積分的近似值，使用Romberg算法展開被積函數(shù)，并運(yùn)用梯形法遞推公式求出積分的值，結(jié)合滿二叉樹定律及遞歸思想，將O（n）求冪的算法優(yōu)化至[O（log2n）]，使用矩陣乘法+快速冪的思想解決斐波那契數(shù)列問題等等，為人們?cè)诳焖偾蠼馄渌麛?shù)學(xué)問題時(shí)提供了新的思路。今后，隨著程序設(shè)計(jì)應(yīng)用的不斷深入，必將使更多更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題迎刃而解。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳宇.數(shù)論及應(yīng)用[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2012.

[2]俞勇.ACM國(guó)際大學(xué)生程序設(shè)計(jì)競(jìng)賽：算法與實(shí)現(xiàn)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013.

[3]趙一煊.淺析數(shù)學(xué)與程序設(shè)計(jì)的關(guān)系[J].通訊世界，2015（23）：296-297.

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附錄：

1.求積分（近似）.cpp

#include

#include

#include

#include

#include

#include

#define MIN_LIMIT 1e-5

#define e 2.71828182

#define pie 3.1415926

#define INF 100000

using namespace std；

int N；

double H，A，B，V，ak[10]，bk[10]，hk[10]；

inline double f（double x）

{

return pie*（A*A*pow（e，-2.0*x*x）+B*B*x+2*A*B*pow（e，-x*x）*pow（x，0.5））；

}

template

double simpson（const T &f;，double a，double b，int n）

{

const double h=（b-a）/n；

double ans=f（a）+f（b）；

for（int i=1；i

ans+=4*f（a+i*h）；

for（int i=2；i

ans+=2*f（a+i*h）；

return ans*h/3；

}

int main（）

{

double a，b；

while（cin>>a>>b>>A>>B）

{

cout<

}

return 0；

}

2. 求積分（精確）.cpp

3. 快速冪.cpp

#include

#include

#include

#include

using namespace std；

int a，n；

int ksm（int a，int n）

{

if（n<=1）

return a；

int ans=ksm（a，n/2）；

ans*=ans；

if（n&1）

ans*=a；

return ans；

}

int main（）

{

while（scanf（"%d%d"，&a;，&n;）！=EOF）

{

printf（"%d＼n"，ksm（a，n））；

}

return 0；

}

4. 矩陣乘法.cpp

5. 經(jīng)典歐幾里德.cpp

#include

#include

#include

#include

using namespace std；

typedef long long ll；

ll gcd（ll m，ll n）

{

if（！n）

return m；

return gcd（n，m%n）；

}

int main（）

{

ll m，n；

while（cin>>m>>n）

{

cout<

}

return 0；

}

6. 擴(kuò)展歐幾里德.cpp

#include

#include

#include

#include

using namespace std；

typedef long long ll；

ll exgcd（ll m，ll &x;，ll n，ll &y;）

{

ll x1，y1，x0，y0；

x0=1；y0=0；

x1=0；y1=1；

ll r=（m%n+n）%n；

ll q=（m-r）/n；

x=0；y=1；

while（r）

{

x=x0-q*x1；

y=y0-q*y1；

x0=x1；y0=y1；

x1=x；y1=y；

m=n；n=r；r=m%n；

q=（m-r）/n；

}

return n；

}

int main（）

{

ll m，n；

while（cin>>m>>n）

{

ll x，y；

ll ans=exgcd（m，x，n，y）；

cout<

}

return 0；

}