一道課后練習(xí)題的多視角解析

費(fèi) 明

(江蘇省江陰市第一中學(xué) 214400)

學(xué)生在學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理后，在配套習(xí)題中遇到這么一個(gè)題目：

下面筆者給出幾種證明方法供大家參考.

方法一：考察函數(shù)f(x)=(1+x)n(n∈N*).

兩邊求導(dǎo)：

不妨把這種方法稱為“求導(dǎo)法”.

方法二：令

∴Tn=n·2n-1,

不妨把這種方法稱為“倒序相加法”.

=n·2n-1.

這種方法是利用了組合數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明的.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論正確.

則當(dāng)n=k+1時(shí),

=k·2k-1+2k+k·2k-1=k·2k+2k=(k+1)·2k,

∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論正確.

……

T=T1+T2+…+Tn

T=2n·n-T,

T=n·2n-1.

不妨稱這種方法為分組累加法.

甚至我們還有通過(guò)這樣的問(wèn)題情景來(lái)說(shuō)明這個(gè)等式的正確性：某校高二(3)班一共有n個(gè)學(xué)生，現(xiàn)在要在這n個(gè)學(xué)生中組建一個(gè)學(xué)習(xí)小組(人數(shù)大于等于1人)，并任命一個(gè)組長(zhǎng).

另一方面：學(xué)習(xí)小組的人數(shù)可以1個(gè)，2個(gè)，…，n個(gè).

…

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(數(shù)學(xué)選修2-2)[M].北京:人民教育出版社,2008.