一道習(xí)題引發(fā)的“洪荒之力”

安徽馬鞍山市四村小學(xué)教育集團(tuán)（243000） 唐 明

隨著里約奧運(yùn)會上游泳運(yùn)動員傅園慧的一次采訪，“洪荒之力”迅速成為網(wǎng)絡(luò)熱詞。在我的數(shù)學(xué)課堂上，因?yàn)橐坏懒?xí)題引發(fā)的討論、思考和啟示，也讓學(xué)生腦洞大開，使出了“洪荒之力”。

習(xí)題：

圖1

【題意簡析】在日常生活中平均分物體，結(jié)果無非是兩種情況：一種是恰好分完，沒有剩余；另一種是平均分后還有剩余。新人教版教材二年級下冊第六單元“有余數(shù)的除法”要解決的問題大多是對單一物體的平均分，而課本70頁的第8題是一道綜合題，需要學(xué)生綜合考慮3種花的情況，這對二年級學(xué)生來說有一定難度：要以3種花中要求的枝數(shù)所能扎的束數(shù)最少的那種花為標(biāo)準(zhǔn)才能確定答案。此題有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性與靈活性，使學(xué)生能辯證地思考問題。

【鏡頭回放】教學(xué)時，我預(yù)設(shè)到這道題對學(xué)生來說很難理解，于是讓學(xué)生在審題后交流思路。生1第一個舉手：“我打算先把這些花的總數(shù)算出來，再把每束花的枝數(shù)算出來，然后用總數(shù)除以枝數(shù)?！逼渌麑W(xué)生有的點(diǎn)頭表示同意，有的保持觀望。生2小聲地嘀咕：“7+3+2=12（枝），除數(shù)是12，我們沒學(xué)過?。俊鄙?表示反對：“我覺得應(yīng)該分開算，把玫瑰、百合、郁金香分別能扎成幾束先算出來再比較?！眱煞N方法都有支持者，但誰也沒有足夠的理由說服對方。于是我讓學(xué)生先自己試試看。在巡視的過程中，我發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生選擇了生3的算法，小部分學(xué)生仍在糾結(jié)。生1很快就算出了答案：22+16+10=48（枝），7+3+2=12（枝），48÷12=4（束）。他的答案剛好給生2的想法一個“回?fù)簟保骸澳悴皇钦f除數(shù)是12，沒學(xué)過就不能算嗎？我能計算是不是就對呢？”我把生1的解題過程進(jìn)行展示，并提問：“最多能扎成4束，這樣做行嗎？怎么驗(yàn)證？”“畫圖！”有幾個學(xué)生不約而同地說。學(xué)生用圖形表示各種花，然后按照要求圈出相應(yīng)的枝數(shù)后，發(fā)現(xiàn)最多只能扎3束。（如圖2）

圖2

“為什么算出來的是4束，圈出來的是3束呢？”我把問題拋給學(xué)生，并引導(dǎo)他們觀察每種花剩下的枝數(shù)“1+7+4=12（枝）”，而每束花需要的枝數(shù)恰恰也是7+3+2=12（枝）。終于真相大白了，“玫瑰只剩下1枝，根本不夠扎一束?！薄半m然多扎了一束，但不符合要求?！睂W(xué)生七嘴八舌地議論開來?！澳銈冇X得利用畫圖來分析這道題是不是更清楚？”學(xué)生紛紛點(diǎn)頭。“我有不同的想法?！鄙?從不人云亦云，“雖然畫圖很清楚，但我們畫了幾十個圖形，太麻煩了。如果花的枝數(shù)更多，那怎么畫？老師不是說數(shù)學(xué)語言要簡潔嗎？”我緊接著說：“你們有沒有辦法讓畫圖變得更簡單呢？”大家都沉默了，生5突然眼前一亮，脫口而出：“線段圖！”學(xué)生在二年級上冊就接觸過線段圖，所以當(dāng)聽到生5的想法后，也有不少學(xué)生能根據(jù)題意畫出線段圖。（如圖3）

圖3

在解決問題的過程中，“回顧與反思”這一環(huán)節(jié)是不能省略的。學(xué)生以結(jié)果作為已知條件，驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)：按照要求只能扎成3束花，雖然每種花都有剩余，一共剩余12枝，每個花束也需要12枝，但只是數(shù)量上相等，花的品種卻不符合要求。（如圖4）

圖4

【精彩繼續(xù)】課堂練習(xí)中有一道類似的題目（如圖5），我要求學(xué)生在隨堂本上完成，這樣會有足夠的空間讓他們展示個性化的思考過程。

圖5

很快，學(xué)生就想到了將抽象的數(shù)學(xué)語言與形象的圖形有機(jī)地結(jié)合起來。（如圖6-1、6-2）

圖6-1

圖6-2

雖然只是圍繞這一道習(xí)題做文章，我卻覺得時間“浪費(fèi)”在這很值得。我們往往認(rèn)為教師的講授能節(jié)省教學(xué)時間，但學(xué)生自己習(xí)得知識的過程卻更加寶貴。在結(jié)束學(xué)習(xí)后，學(xué)生分享了許多經(jīng)驗(yàn)：這類題目可以命名為“混合包裝”，首先要看清關(guān)于包裝的要求，可以通過擺出實(shí)物圖、畫出線段圖等來理解題意，列式時要分類計算，確定答案時以商的最小值作為標(biāo)準(zhǔn)，最后還要將結(jié)果作為條件進(jìn)行驗(yàn)證。更有學(xué)生總結(jié)出了解題四部曲“理解要求、數(shù)形結(jié)合、分類計算、確定答案”，真正學(xué)習(xí)并體會到要解決一個數(shù)學(xué)問題所要經(jīng)歷的步驟。

當(dāng)天我安排了兩道數(shù)學(xué)作業(yè)題：

1.用2個雞蛋和3片吐司就可以做出一份三明治，現(xiàn)在有10個雞蛋、10片吐司，能做出幾份三明治？

圖7

學(xué)生在解決“做出幾份三明治”這一問題時還發(fā)現(xiàn)：在雞蛋和吐司總數(shù)相同的情況下，只要算10÷3就能確定答案。因?yàn)?>2,被除數(shù)相同，除數(shù)越大商就越小，只需要將商的最小值作為標(biāo)準(zhǔn)就能得到答案。

2.自編一道有關(guān)混合包裝的題目。

在自由編題的過程中，學(xué)生的想法更加鮮活。在他們的眼里，包裝的對象十分寬泛：

圖8-1

圖8-2

圖8-3

圖8-4

新教材從一年級開始就出現(xiàn)了大量的情境圖，二年級則通過條形圖呈現(xiàn)信息，三年級正式引入線段圖……這樣的編排符合學(xué)生對畫圖策略的認(rèn)識、理解和運(yùn)用的過程。然而在實(shí)際教學(xué)中，我們常常只把畫圖策略看作教師分析問題的工具，忽略了它也是學(xué)生解決問題的法寶。

數(shù)形結(jié)合，是一種數(shù)學(xué)思想方法，也是方法上的思想。雖然劉加霞在《數(shù)形結(jié)合思想及其在教學(xué)中的滲透》一文中提出“借助直觀模型理解抽象的數(shù)量關(guān)系并不算是嚴(yán)格意義上的數(shù)形結(jié)合”，但她也認(rèn)可這是數(shù)形結(jié)合的雛形?！坝杏鄶?shù)的除法”重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生在解決問題時注意借助直觀幫助理解題意、分析數(shù)量關(guān)系。但在實(shí)際學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生解決問題時往往忽視對題意的理解，雖然能做對題，但不見得真正懂了，有時題目稍加變化，就無法應(yīng)對。對于低年級學(xué)生來說，理解題意的過程，往往需要借助直觀。教師在教學(xué)時應(yīng)充分借助直觀，讓學(xué)生學(xué)會利用圖形來描述和分析問題，從而清晰地“看到”數(shù)量關(guān)系，找到解決問題的思路，并最終得到解決問題的方案。

考慮到學(xué)生不同的認(rèn)知水平，教師可以先從實(shí)物圖開始，再過渡到幾何符號表示的圖，最后抽象成線段圖。這樣就是將多種表征結(jié)合起來，借圖促思，據(jù)圖說理，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明和形象。畫圖策略的滲透不能停留在“教師畫，學(xué)生看”的狀態(tài)，而是要提升到“學(xué)生畫，學(xué)生用”的水平。這實(shí)際上是一個“數(shù)”與“形”互相轉(zhuǎn)化的過程，通過引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系等與幾何圖形或圖像結(jié)合起來思考，使“數(shù)”與“形”優(yōu)勢互補(bǔ)、相輔相成，就能使學(xué)生的邏輯思維和形象思維完美地統(tǒng)一起來。

在解決問題的過程中，畫圖不是最終目的，學(xué)生把文字轉(zhuǎn)化成圖畫，再把圖畫轉(zhuǎn)化成思維，由數(shù)思形、見形想數(shù)，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。只要學(xué)生能不斷地運(yùn)用畫圖策略，就能提高自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和解決問題的能力。