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    不可輕視求根公式

    2018-06-05 01:18:33劉蘭芝
    關(guān)鍵詞:求根高考題一元二次方程

    劉蘭芝

    (云南省玉溪市教科所 云南玉溪 653100)

    求根公式不僅在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)中有了舉足輕重的地位與作用,而且在高中的數(shù)學(xué)中也有不同尋常的作用。不少高考題的解題過程中都離不開它,非它莫屬,下面我們一起看看求根公式在解高考題的過程中的作用。

    一、解一元二次方程(解析幾何題)時(shí)的應(yīng)用

    例1.(2008?陜西卷)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,過F1作傾斜角為30o 的直線交雙曲線右支于M點(diǎn),若MF2垂直x軸,則雙曲線的離心率為

    [解析]∵M(jìn)F2垂直x軸,

    [評析]在解一元二次方程時(shí)用到了求根公式,并且解此方程只能用求根公式來解。

    二、解指數(shù)方程時(shí)的運(yùn)用

    例2.(2008?上海卷)已知函數(shù)

    (Ⅰ)若f(x)=2,求x的值;

    (Ⅱ)若對于恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

    [解析] (Ⅰ)當(dāng)x<0時(shí),f(x)=0,不符合題意。

    當(dāng)x≥0時(shí),

    利用求根公式求得

    [評析]在解一元二次方程時(shí)只能用求根公式來解。

    三、解三角方程(解析幾何題)時(shí)的運(yùn)用

    例3.(2007?廣東卷)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在第二象限,半徑為的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O。

    橢圓與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10。

    (Ⅰ)求圓C的方程;

    (Ⅱ)試探究圓C上是否存在于異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q,使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段 OF 的長。若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。

    [解析](Ⅰ)設(shè)圓C的圓心為(m,n), 則

    解得m=-2, n=2。故所求圓的方程為

    (Ⅱ)因?yàn)閍=5,故橢圓為

    又 F(4,0),假設(shè)存在Q點(diǎn)

    使

    得有

    由求根公式得因此,不存在符合題意的點(diǎn)Q。

    [評析]方程的求解須依靠求根公式。

    四、解二元二次方程(集合題)時(shí)的運(yùn)用

    例4.(2004?全國Ⅱ卷)設(shè)集合則集合中的元素個(gè)數(shù)為( )

    A.1 B. 2 C.3 D.4

    [解析]由方程組

    解之得

    從而有兩解,所以,集合中的元素個(gè)數(shù)為2個(gè),故選B。

    [評析]本題也可以用圖象法解,即作圖后圖中有兩個(gè)交點(diǎn)。在解一元二次方程時(shí)少不了求根公式。

    五、求f′(x)=0的根(函數(shù)的單調(diào)性)時(shí)的運(yùn)用

    例5.(2008?全國Ⅰ卷)已知函數(shù)

    (Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

    (Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),求a的取值范圍。

    [解析](Ⅰ)

    ⑴當(dāng)△>0時(shí),4(a2-3)>0,即或時(shí),由f ′(x)=0

    解得兩根為則 ①x在

    函數(shù)f(x)是增函數(shù);②x 在

    f ′(x)<0,f(x)是減函數(shù);③x在

    f ′(x)>0, 函數(shù)f(x)是增函數(shù)。

    ⑵ 當(dāng)△<0及△=0時(shí)略。

    [評析]在解方程f ′(x)=0時(shí),再次展現(xiàn)了求根公式的特殊功能。

    從上面的考題中可以看出,不少的題解答都要用到求根公式,并且許多高考題必須用求根公式方能解答,所以,對求根公式應(yīng)該

    記牢、熟用,達(dá)到運(yùn)用自如,熟能生巧,熟能生思的狀態(tài),才有利于提高解題效率。

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