期望效用函數(shù)在投資組合中的應(yīng)用

（西安歐亞學(xué)院 陜西西安 710065）

一、EU理論及發(fā)展

期望效用函數(shù)理論（Expected Utility Theory）是20世紀(jì)50年代，馮·諾依曼和摩根斯坦（Von Neumann and Morgenstern）在公理化假設(shè)的基礎(chǔ)上，運用邏輯和數(shù)學(xué)工具，建立了不確定條件下對理性人（rational actor）選擇進(jìn)行分析的框架。2 0 世紀(jì)中期誕生的期望效用理論（簡稱EU理論）將效用的分析從確定性條件或環(huán)境帶入了不確定性條件或環(huán)境，成為了人們在不確定性條件或環(huán)境下的決策依據(jù)。[1]

如果某個隨機變量X以概率Pi取值Xi，i=1,2,...,n，如果確定地得到Xi時的效用為u（Xi），那么，該隨機變量給他的效用便是：

其中，E[u（X）]表示關(guān)于隨機變量X的期望效用。因此U（X）稱為期望效用函數(shù)，又叫做馮·諾依曼—摩根斯坦效用函數(shù)（VNM函數(shù)）。概率的效用函數(shù)表達(dá)式叫期望效用函數(shù)。

期望效用理論描述理性人在風(fēng)險或不確定性環(huán)境下的消費（ 投資）選擇。若一個決策是在風(fēng)險下做出的則意味著決策者能夠列出該決策可能產(chǎn)生的所有后果及其相對應(yīng)的可能性（ 概率），風(fēng)險意味著決策者對于決策結(jié)果的概率分布是已知的。

如果u（w）為一連續(xù)且二階可導(dǎo)的 V N M 效用函數(shù)

為投資者在財富水平為w 時的絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)；

為投資者在財富水平為w 時的相對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)。

常見的效用函數(shù)有以下幾種：

1.負(fù)指數(shù)效用函數(shù)u（w）=-exp（-rAw ）

3.冪指數(shù)效用函數(shù)u（w）=-exp（-βwα），α＜0，α β＞0

4.對數(shù)效用函數(shù)u（ w）=ln（w ）

6.雙曲線效用函數(shù)

二、EU理論在投資組合中的簡單應(yīng)用

利用期望效用理論解決投資決策問題，主要解決的是資產(chǎn)配置問題和收益最大化問題，通過決策優(yōu)化得到預(yù)期收益。所以，作為現(xiàn)代資產(chǎn)定價理論的基石，依據(jù)EU理論建立的投資模型，在投資組合優(yōu)化中具有重要的應(yīng)用價值。

在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究和金融投資領(lǐng)域，投資者追求的是自身的期望效用最大化。所以，做出最優(yōu)資產(chǎn)組合，決策的關(guān)鍵是要設(shè)計一個投資比例，使其保證投資者的期望效用最大化。[2]

假如有一投資者，其投資風(fēng)險行為符合對數(shù)效用函數(shù)，其擁有初始財富值為100000人民幣。假定他選擇兩種投資產(chǎn)品，產(chǎn)品一投資x 元（產(chǎn)品一為風(fēng)險型投資產(chǎn)品，比如股票），剩余資金投資產(chǎn)品二（為無風(fēng)險的固定收益投資產(chǎn)品，比如國債），并獲5% 的年化收益率。[3]

現(xiàn)考慮風(fēng)險產(chǎn)品的單期損益情形：

情形一：

投資者的風(fēng)險資產(chǎn)價值在一年后會增值5 0%，即變?yōu)?1.5x ；

情形二：

投資者的風(fēng)險資產(chǎn)價值在一年后會損失30%，即變?yōu)?0 . 7x 。

在上述兩種情形下投資者一年后的財富分別為

投資者詁計情形一發(fā)生的概率為0.6，情形二發(fā)生的概率為0.4

可以得出期望效用函數(shù)

要使該投資者風(fēng)險資產(chǎn)投資份額 x 效用最大化，對上式一階求導(dǎo)并令其等于0，則有

可得x≈86666.7

得到相應(yīng)的期望效用E[u（x）]=11.56

這樣投資者對風(fēng)險型產(chǎn)品一，投份額為86666.7元，就可以得到效用最大化的收益。

該理論的應(yīng)用前提是投資者對風(fēng)險型產(chǎn)品的損益要有量化估計，要對產(chǎn)品損益情況發(fā)生的概率有所估計，這本身是一件難事。所以該理論的應(yīng)用具有一定得局限性。

[1]宋立軍楊永愉基于效用函數(shù)的投資組合[J].北京化工大學(xué)學(xué)報,2008,35(2):110-112.

[2]馮素芬效用函數(shù)在金融學(xué)中的應(yīng)用[J].北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2010,9(1):119-121.

[3]陳凱黃滋才基于期望效用與前景理論的行為決策精算定價模型[J].保險研究2017(J):56-67