三角翼俯仰振蕩的非定常氣動(dòng)力降階方法研究*

郭嘉瑞，關(guān)世璽，李立州，賈 凱，常 晶

(中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 太原 030051)

0 引言

大后掠三角翼能夠減小現(xiàn)代飛行器在高速飛行時(shí)的氣動(dòng)阻力，并改善大迎角飛行的操縱性能。隨著高性能計(jì)算設(shè)備與高精度計(jì)算流體力學(xué)(CFD)方法的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外對(duì)三角翼在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的非定常氣動(dòng)力開(kāi)展了大量數(shù)值模擬研究。Gordnier等[1]數(shù)值模擬了80°三角翼的滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，分析了動(dòng)態(tài)流場(chǎng)中渦運(yùn)動(dòng)對(duì)非定常氣動(dòng)特性的影響。Ekaterinar等[2-3]數(shù)值模擬了雙三角翼俯仰運(yùn)動(dòng)，計(jì)算得到的靜止?fàn)顟B(tài)下物面壓力分布和俯仰運(yùn)動(dòng)的非定常時(shí)滯力矩均與實(shí)驗(yàn)結(jié)果大致吻合。郭迪龍等[4]研究了俯仰滾轉(zhuǎn)耦合作用對(duì)三角翼非定常氣動(dòng)力的影響。劉昕等[5]數(shù)值模擬了雙三角翼的俯仰運(yùn)動(dòng)，研究了減縮頻率、平均迎角和振幅對(duì)非定常氣動(dòng)力的影響。

三角翼大迎角下非定常流場(chǎng)的高精度數(shù)值模擬需要花費(fèi)較多的計(jì)算資源和計(jì)算周期。因此，需要研究一種高效、高精度的降階模型來(lái)代替CFD方法預(yù)測(cè)三角翼的非定常氣動(dòng)特性。Suei Chin[6]等是用Fourier變換的數(shù)學(xué)模型來(lái)預(yù)測(cè)70°三角翼大振幅俯仰運(yùn)動(dòng)的非定常氣動(dòng)力。Huang等[7]采用NIR-ISS方法，建立了大攻角下三角翼大振幅滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的非定常氣動(dòng)力模型。史志偉等[8]采用非線(xiàn)性代數(shù)模型，建立了大振幅滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型并提取了動(dòng)導(dǎo)數(shù)。孫海生等[9]開(kāi)展了大迎角、大振幅運(yùn)動(dòng)的非定常氣動(dòng)力建模方法的比較研究。上述建模研究成果多集中于大幅度運(yùn)動(dòng)時(shí)氣動(dòng)力宏觀(guān)變化規(guī)律的預(yù)測(cè)，未涉及對(duì)小幅振蕩氣動(dòng)力的線(xiàn)性與非線(xiàn)性分量的精確重構(gòu)。

文中采用小波多分辨率分析方法對(duì)多輸入Volterra核進(jìn)行壓縮，并預(yù)測(cè)三角翼俯仰振蕩的非定常氣動(dòng)力。通過(guò)求解非定常Euler方程，得到了偽隨機(jī)信號(hào)激勵(lì)的三角翼氣動(dòng)力與力矩響應(yīng)，辨識(shí)了76°尖前緣三角翼在兩種典型迎角附近的俯仰振蕩氣動(dòng)力與力矩。討論了一階、二階Volterra核能夠辨識(shí)氣動(dòng)響應(yīng)的線(xiàn)性與非線(xiàn)性分量的能力。

1 數(shù)值模擬方法

流動(dòng)控制方程采用三維非定常Euler方程，在直角坐標(biāo)下的守恒積分形式為：

(1)

式中：Q為單位體積內(nèi)質(zhì)量、動(dòng)量和能量組成的守恒變量；F為對(duì)流矢通量；S為邊界外法向面積向量。利用有限體積法構(gòu)造空間半離散格式，對(duì)流項(xiàng)采用二階精度的Roe格式，時(shí)間推進(jìn)采用二階隱式LUSGS格式。動(dòng)網(wǎng)格采用剛性旋轉(zhuǎn)法，嚴(yán)格遵守幾何守恒律[10]的要求。

2 非定常氣動(dòng)力降階方法

2.1 單輸入Volterra級(jí)數(shù)

對(duì)于一個(gè)多輸入非線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，對(duì)時(shí)域離散的Volterra級(jí)數(shù)可表示為如下形式：

(2)

式中：n為離散時(shí)間變量；h是系統(tǒng)的Volterra核；M1、M2為記憶長(zhǎng)度。

傳統(tǒng)的非定常氣動(dòng)力特點(diǎn)是一階Volterra級(jí)數(shù)[11]，其向量形式為：

y(n)=h0+uTh1

(3)

為增強(qiáng)模型辨識(shí)非線(xiàn)性系統(tǒng)的能力，將Volterra級(jí)數(shù)擴(kuò)展至二階形式：

y(n)=h0+uTh1+uTh2u

(4)

2.2 Volterra核的小波壓縮

對(duì)Volterra一階、二階核采用離散小波變換，得到小波域下表達(dá)形式：

一階核：

(5)

二階核：

(6)

式中

分別為一維與二維小波變換矩陣；W1、W2分別為一維與二維小波重構(gòu)矩陣，由Mallat算法得到[12-13]：

(7)

(8)

一階模型：

(9)

二階模型：

(10)

式中：

2.3 自適應(yīng)QR-RLS算法

采用自適應(yīng)QR-RLS算法[14]辨識(shí)小波域下的Volterra核。RLS算法用卡爾曼濾波的遞推公式推導(dǎo)出自適應(yīng)濾波器權(quán)重適量更新方程，該算法具有比LMS算法更快的收斂速度，且對(duì)特征值擴(kuò)展度不靈敏。其缺點(diǎn)是時(shí)間平均自相關(guān)矩陣的逆矩陣由于累計(jì)數(shù)值誤差而失去非負(fù)定性，算法將迅速發(fā)散。為了改善RLS算法的穩(wěn)定性，引入QR分解算法直接對(duì)輸入矩陣進(jìn)行三角分解，有效降低了自相關(guān)矩陣的條件數(shù)，提高了RLS算法的穩(wěn)定性。QR-RLS算法具體步驟為：

1)k=0時(shí)，初始化矩陣U(0)：

(11)

式中δ為一個(gè)小量。

2) 對(duì)每一個(gè)k=1,2,…有：

(12)

矩陣Qθ為酉矩陣，通過(guò)連續(xù)Givens變換得到。矩陣Qθ將新的輸入信號(hào)向量旋轉(zhuǎn)到主對(duì)角線(xiàn)的上三角矩陣上。

3) 對(duì)期望輸出進(jìn)行連續(xù)Givens變換，得到先驗(yàn)誤差eq1:

(13)

4) 向后迭代求解濾波器系數(shù):

U(k)η(k)=dq2(k)

(14)

5) 計(jì)算后驗(yàn)誤差:

(15)

式中：γ為旋轉(zhuǎn)因子，λ為遺忘因子，是一個(gè)不大于1的數(shù)。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 模型、網(wǎng)格與計(jì)算驗(yàn)證

模型為一尖前緣、76°后掠三角翼，這與文獻(xiàn)[15]中描述的風(fēng)洞模型一致，根弦長(zhǎng)作歸一化處理。網(wǎng)格拓補(bǔ)結(jié)構(gòu)為O-H型，適當(dāng)加密了前緣及物面法向。沿流向、周向、法向的網(wǎng)格點(diǎn)分布為81×129×44，且第一層網(wǎng)格距物面1×10-4倍弦長(zhǎng)。圖1給出了網(wǎng)格空間結(jié)構(gòu)。

通過(guò)三角翼大振幅俯仰運(yùn)動(dòng)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了數(shù)值方法的非定常計(jì)算能力[15]。來(lái)流Ma數(shù)為0.3，迎角變化為α=0.024t，旋轉(zhuǎn)中心為2/3根弦長(zhǎng)處。以零迎角時(shí)的定常流場(chǎng)為初場(chǎng)，時(shí)間步長(zhǎng)取(1×10-3) s，模擬迎角從0°～80°的俯仰運(yùn)動(dòng)。圖2(a)、圖2(b)比較了非定常升力、阻力系數(shù)的計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值?？梢钥闯?，計(jì)算程序?qū)θ且砀┭鲞\(yùn)動(dòng)具有模擬的能力。當(dāng)迎角大于40°時(shí)，計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值之間具有一定差異。這是由于迎角過(guò)大時(shí)三角翼前緣渦發(fā)生破裂，而Euler方程對(duì)渦破裂的模擬有所不足，但不失研究氣動(dòng)力降階方法的可行性。

3.2 非定常氣動(dòng)力降階

用上述小波壓縮的Volterra核，在25°和35°迎角附近，辨識(shí)出三角翼的俯仰振蕩非定常氣動(dòng)力。最優(yōu)多層偽隨機(jī)信號(hào)[16]作為輸入的迎角變化信號(hào)。為提高辨識(shí)效率，對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波，并使其帶寬覆蓋俯仰運(yùn)動(dòng)的減縮頻率。

為驗(yàn)證辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性，通過(guò)降階模型分別計(jì)算3°與5°幅值的俯仰振蕩運(yùn)動(dòng)，并與CFD結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，比對(duì)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為：

狀態(tài)1:α=25°+3°×sin(5t)

(16)

狀態(tài)2:α=25°+5°×sin(5t)

(17)

1)25°迎角情形

從圖2(a)可以看出，在25°迎角附近，三角翼俯仰運(yùn)動(dòng)的非定常升力系數(shù)保持較好的線(xiàn)性特性，因此用一階Volterra級(jí)數(shù)辨識(shí)非定常氣動(dòng)力。Volterra核記憶長(zhǎng)度為32，小波壓縮后的實(shí)際辨識(shí)個(gè)數(shù)為24。圖3給出了輸入信號(hào)激勵(lì)下的升力系數(shù)與力矩系數(shù)的CFD計(jì)算結(jié)果。圖4給出了一階Volterra核辨識(shí)結(jié)果，可以看出，Volterra核衰減得較快，而振蕩幅值較弱。

圖5、圖6分別比較了CFD和降階模型得到的非定常升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)的時(shí)域和頻域結(jié)果?？梢钥闯?，兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的非線(xiàn)性氣動(dòng)特性相對(duì)較弱。當(dāng)振幅為3°時(shí)，降階模型和CFD的計(jì)算結(jié)果在時(shí)域和頻域中基本一致。當(dāng)振幅增加到5°時(shí)，氣動(dòng)響應(yīng)的非線(xiàn)性主頻的能量略有增加。一階Volterra級(jí)數(shù)準(zhǔn)確地捕捉了非定常氣動(dòng)響應(yīng)的線(xiàn)性主頻。在峰值處兩者的時(shí)域結(jié)果略有不同，是因?yàn)榻惦A模型無(wú)法表征非定常氣動(dòng)響應(yīng)的非線(xiàn)性分量。

2)35°迎角情形

從圖2(a)所示的升力系數(shù)曲線(xiàn)可以看出，在35°迎角附近，非定常升阻力系數(shù)開(kāi)始出現(xiàn)明顯的非線(xiàn)性特性。非線(xiàn)性氣動(dòng)響應(yīng)分別用一階、二階Voltterra級(jí)數(shù)辨識(shí)。一階核記憶長(zhǎng)度為128，小波壓縮后的實(shí)際辨識(shí)個(gè)數(shù)為96。二階核記憶長(zhǎng)度為32，對(duì)應(yīng)的辨識(shí)參數(shù)個(gè)數(shù)為1 024，小波壓縮后的實(shí)際辨識(shí)個(gè)數(shù)為576。圖7給出了在輸入信號(hào)激勵(lì)下的升力系數(shù)與力矩系數(shù)的CFD計(jì)算結(jié)果。與25°迎角相比，升力和俯仰力矩響應(yīng)的平均值更高且振幅相對(duì)較小。這表明隨著迎角的增大，前緣渦吸力增加，但所產(chǎn)生的非線(xiàn)性特性抑制了氣動(dòng)響應(yīng)的振幅。圖8給出了一階Volterra核辨識(shí)結(jié)果，可見(jiàn)與25°迎角相比，一階核的收斂比較緩慢，且振蕩幅值比較明顯。圖9,圖10分別給出了升力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)的二階Volterra核的辨識(shí)結(jié)果。

圖11、圖12比較了兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，一階、二階Volterra級(jí)數(shù)與CFD計(jì)算得到的氣動(dòng)力時(shí)域和頻域響應(yīng)。可以看出，與25°迎角相比，氣動(dòng)響應(yīng)的非線(xiàn)性主頻能量均大幅增加。由于一階Volterra核無(wú)法辨識(shí)出非線(xiàn)性分量的頻率和幅值，因此一階模型所得結(jié)果與CFD計(jì)算結(jié)果有較大差異。而二階Volterra核能較為準(zhǔn)確地捕捉非線(xiàn)性分量，辨識(shí)效果明顯優(yōu)于一階模型。

4 結(jié)論

Euler方程用于數(shù)值模擬76°尖前緣三角翼的俯仰運(yùn)動(dòng)。利用小波壓縮Volterra級(jí)數(shù)，辨識(shí)三角翼正弦振蕩的非定常氣動(dòng)力，得出如下結(jié)論：

1) 隨著平均迎角的增大，三角翼前緣渦能量和渦吸力的非線(xiàn)性效應(yīng)顯著增加。渦能量的增加增大了氣動(dòng)響應(yīng)的均值，而渦吸力的非線(xiàn)性效應(yīng)抑制了氣動(dòng)響應(yīng)的振幅。

2) 一階Volterra核具有精確的能力來(lái)辨識(shí)氣動(dòng)響應(yīng)線(xiàn)性分量的頻率和幅值。但無(wú)法辨識(shí)出非線(xiàn)性分量，對(duì)小迎角小振幅下的氣動(dòng)響應(yīng)辨識(shí)效果較好。二階Volterra核能較為準(zhǔn)確的捕捉到非定常氣動(dòng)力和力矩的二次非線(xiàn)性分量，明顯提高了在較大迎角和振幅下，對(duì)三角翼俯仰振蕩非定常氣動(dòng)響應(yīng)的預(yù)測(cè)能力。

3) 小波變換有助于減少一階和二階Volterra核的實(shí)際識(shí)別參數(shù)的個(gè)數(shù)，提高識(shí)別效率。