帶有攻擊時(shí)間控制的修改比例導(dǎo)引法研究

陳永恒，相升海，姜登維，李 嘉，陳升富

(1.沈陽理工大學(xué) 裝備工程學(xué)院，沈陽 110159； 2.遼沈工業(yè)集團(tuán)有限公司 檢驗(yàn)中心, 沈陽 110045；3.南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 南京 210094)

隨著現(xiàn)代制導(dǎo)理論與技術(shù)的發(fā)展，攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)問題正越來越受到關(guān)注[1-5]。攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律目前廣泛應(yīng)用于聯(lián)合攻擊、炮火齊射等方面，通過對(duì)攻擊時(shí)間的控制可實(shí)現(xiàn)多個(gè)導(dǎo)彈同時(shí)擊中目標(biāo)，從而提高打擊效果。比例導(dǎo)引法因其魯棒性和簡易性而廣泛應(yīng)用于導(dǎo)彈的制導(dǎo)[6-7]，由于傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引法是以脫靶量為零所進(jìn)行的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)，并沒有考慮飛行時(shí)間的約束，因此很難實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間的控制。為了能夠應(yīng)用比例導(dǎo)引法實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間的控制，研究人員在一般比例導(dǎo)引法的基礎(chǔ)上結(jié)合現(xiàn)代控制理論，設(shè)計(jì)出能夠滿足控制需求，且?guī)в袀鹘y(tǒng)比例導(dǎo)引項(xiàng)的制導(dǎo)方法，這種制導(dǎo)方法稱為修改比例導(dǎo)引法。

目前，研究人員針對(duì)修改比例導(dǎo)引法的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)問題開展研究。如文獻(xiàn)[3]基于比例導(dǎo)引法中剩余飛行時(shí)間的估算和滑模控制理論，提出了修改比例導(dǎo)引法，實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間控制；文獻(xiàn)[4]在研究應(yīng)用比例導(dǎo)引法實(shí)現(xiàn)多個(gè)導(dǎo)彈聯(lián)合攻擊問題時(shí)，通過運(yùn)用剩余飛行時(shí)間的估算，提出一種能夠?qū)崿F(xiàn)攻擊時(shí)間控制的聯(lián)合制導(dǎo)律；文獻(xiàn)[5]采用最優(yōu)控制思想，在非線性條件下提出了基于廣義比例導(dǎo)引的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律，但并未開展深入研究，未能給出剩余飛行時(shí)間估算精度對(duì)制導(dǎo)律性能的影響。

本文以文獻(xiàn)[5]的思路為基礎(chǔ)，對(duì)非線性條件下基于修改比例導(dǎo)引的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律開展研究。針對(duì)基于不同剩余飛行時(shí)間估算方法下的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律，在不同初始條件和不同控制時(shí)間下進(jìn)行數(shù)值仿真，探索內(nèi)在變化規(guī)律及影響因素，并在此基礎(chǔ)上分析剩余飛行時(shí)間估算精度對(duì)攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律性能的影響，所得研究結(jié)果對(duì)該類制導(dǎo)律的實(shí)際工程應(yīng)用具有一定的理論指導(dǎo)作用。

1 問題的描述

考慮平面內(nèi)攔截靜止目標(biāo)的情況，其導(dǎo)彈和目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。圖1中，M表示導(dǎo)彈，T表示目標(biāo)。γ、θ、R分別表示導(dǎo)彈彈道角、目標(biāo)視線角以及彈目連線距離。φ表示導(dǎo)彈前置角，aM表示制導(dǎo)指令，(xm,ym)表示導(dǎo)彈的位置，下標(biāo)0表示初始條件。

假設(shè)導(dǎo)彈的速度VM為常值，則導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系滿足如下運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

(1)

(2)

(3)

φ=γ-θ,φ(0)=φ0

(4)

導(dǎo)彈是通過垂直于速度方向的加速度指令進(jìn)行控制。如式(3)所示，本文的加速度指令由兩部分組成：第一項(xiàng)aB為反饋控制指令，用于減少導(dǎo)彈的脫靶量，實(shí)現(xiàn)擊中目標(biāo)；第二項(xiàng)aF為附加控制項(xiàng)，用于自適應(yīng)攻擊時(shí)間，實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間控制。

由式(2)和式(3)可得前置角的變化規(guī)律

(5)

在整個(gè)導(dǎo)彈導(dǎo)引過程中，彈目連線距R應(yīng)在有限的時(shí)間內(nèi)收斂到零，同時(shí)前置角φ也要收斂到零。假設(shè)在整個(gè)制導(dǎo)過程t∈[0,tf](其中0表示制導(dǎo)初始時(shí)間，tf表示制導(dǎo)結(jié)束時(shí)間)有|φ(t)|<π/2，則由式(1)和式(5)可得到前置角φ關(guān)于彈目連線距R的關(guān)系式

(6)

式(6)左右兩端乘以cosφ，整理得

(7)

(8)

式(8)的邊界條件為η(0)=0,η(R0)=η0，其中η0=sinφ0。將式(1)進(jìn)行微分變換，并代入變量η有：

(9)

其中：t(R0)=0，t(R=0)是所要控制的攻擊時(shí)間td。需要指出的是，所需要控制的攻擊時(shí)間td應(yīng)大于導(dǎo)彈只通過比例導(dǎo)引攻擊目標(biāo)所需的攻擊時(shí)間tP。

2 攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律的推導(dǎo)

經(jīng)分析，通過直接求解非線性方程組式(8)和式(9)獲得制導(dǎo)指令aM較為困難。為此，考慮求解一個(gè)帶邊界約束的最優(yōu)控制問題，假設(shè)附加控制指令uF為常值，則滿足方程式(8)的最優(yōu)控制能量為

(10)

通過解這個(gè)最優(yōu)控制問題，得到uB關(guān)于uF的方程，然后求得滿足邊界條件式(9)的附加指令uF。需要指出的是，關(guān)于該最優(yōu)控制問題的解并不能保證實(shí)際應(yīng)用于導(dǎo)彈的加速度指令aM的控制能量最優(yōu)。

解方程式(8)和方程式(10)所組成的最優(yōu)控制問題[8-9],得到以下最優(yōu)解：

(11)

其中常數(shù)N定義為N=3+m, (m>-1)。當(dāng)附加控制項(xiàng)uF為零時(shí)，反饋項(xiàng)aB就是比例導(dǎo)引法下的制導(dǎo)指令。

由式(11)可知，一個(gè)非零的附加控制項(xiàng)uF，將使導(dǎo)彈形成一條新的彈道軌跡，這條新的彈道軌跡攝動(dòng)于由比例導(dǎo)引法產(chǎn)生的彈道軌跡，直至uF為零時(shí)，兩者重合。將方程式(11)帶入方程式(9)并積分，有

(12)

若將方程式(12)等號(hào)右端的第二項(xiàng)看做彈道軌跡曲率的控制方程，則uF可以看做是該控制方程的比例因子。

對(duì)方程式(9)進(jìn)行泰勒展開并忽略高階項(xiàng)有

(13)

代入方程(12)并積分有

(14)

令方程式(14)中的uF為零，得到導(dǎo)彈僅在比例導(dǎo)引法下飛行時(shí)間的估算公式如下：

(15)

解方程式(15)，可求出附加控制項(xiàng)uF的解析形式為

(16)

其中s(·)為符號(hào)函數(shù)

(17)

(18)

由方程式(11)和式(16)可以得到制導(dǎo)指令aM的最優(yōu)解

(19)

3 數(shù)值仿真和驗(yàn)證

3.1 剩余飛行時(shí)間估算精度驗(yàn)證

由式(19)可知，剩余飛行時(shí)間估算的估算精度決定著附加控制指令uF準(zhǔn)確性，從而影響制導(dǎo)律的性能。為了研究剩余飛行時(shí)間估算精度對(duì)攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律性能的影響，需要對(duì)不同剩余飛行時(shí)間算法的估算精度進(jìn)行比較。

為獲得較為精度的剩余飛行時(shí)間估算精度，將式(9)進(jìn)行高階泰勒展開，代入式(12)并令uF為零進(jìn)行積分，所得高階剩余飛行時(shí)間估算公式如下：

(20)

為驗(yàn)證式(20)的估算精度，在N=3,R=10 000 m，VM=300 m/s,φ0=90°的條件下，取式(20)的不同階次解與文獻(xiàn)[10]所提出的剩余飛行時(shí)間估算方法:

(21)

所得結(jié)果如圖2所示，圖2中，實(shí)際值指實(shí)際的剩余飛行時(shí)間，二階、四階分別指式(20)取二階和四階的估算值。

由圖3可知，隨著制導(dǎo)過程中前置角φ的減小，式(20)的二階、四階估算精度提高，且階數(shù)越高，精度越好。而文獻(xiàn)[10]的估算方法在整個(gè)制導(dǎo)過程中估算精度都較好。

3.2 制導(dǎo)律性能分析

為便于研究評(píng)價(jià)本攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律，引入以下評(píng)價(jià)指標(biāo)：控制能量J；加速度極值A(chǔ)M；前置角極值ΦM。分別用于表征制導(dǎo)過程中控制導(dǎo)彈所需能量，最大過載以及導(dǎo)彈彈道曲率。

在N=3,R=1 000 m,VM=300 m/s,γ=0°的條件下，分別對(duì)不同初始前置角φ0和不同控制時(shí)間td進(jìn)行數(shù)值仿真，所得結(jié)果如表1所示。表中，PNG指比例導(dǎo)引法，二階、四階和文獻(xiàn)10分別指用式(20)的二階解、四階解以及文獻(xiàn)[10]的剩余飛行時(shí)間估算方法為基礎(chǔ)的攻擊時(shí)間控制導(dǎo)律，tf指導(dǎo)彈的實(shí)際飛行時(shí)間，無控制導(dǎo)指沒有進(jìn)行攻擊時(shí)間控制的制導(dǎo)。

表1 不同條件下制導(dǎo)律的仿真結(jié)果

對(duì)比表1中的第3和第4、第7和第8以及第11和第12可知，當(dāng)所需攻擊時(shí)間td確定之后，初始前置角的增加將減少所需的控制能量以及制導(dǎo)過程中的最大過載。對(duì)比第1和第2僅由比例導(dǎo)引法制導(dǎo)的tf可知，這是由于初始前置角的增加使得攻擊時(shí)間誤差減小。對(duì)比表中的第4、第5、第6和第8、第9、第10以及第12、第13、第14這3組相同剩余飛行時(shí)間估算精度下的攻擊時(shí)間可控范圍，可以發(fā)現(xiàn)，剩余飛行時(shí)間估算精度越高，攻擊時(shí)間可控范圍越大，當(dāng)剩余飛行時(shí)間估算精度不足時(shí)，將導(dǎo)致攻擊時(shí)間控制失敗，即導(dǎo)彈的實(shí)際飛行時(shí)間與所需控制的攻擊時(shí)間不等(如第5、第6和第10)。對(duì)比表中第3、第7、第11和第4、第8、第12這兩組不同剩余飛行時(shí)間估算精度下的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)可以發(fā)現(xiàn)，在攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)過程中，較為準(zhǔn)確的剩余飛行時(shí)間估算精度所需的最大過載較小，導(dǎo)彈彈道曲率較小，但所需的控制能量相對(duì)較大。

圖4～圖7是第3和第11兩種不同剩余飛行時(shí)間估算精度下的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律與相同條件下的比例導(dǎo)引法(第1)的制導(dǎo)過程中彈目連線距離、加速度指令、前置角變化以及攻擊時(shí)間估算誤差對(duì)比圖。

由圖4可知傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引法無法實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間的控制，本文所研究的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律能夠較好的實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間的控制；對(duì)比圖5和圖6不同剩余飛行時(shí)間估算精度下的攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)過程中的前置角以及加速度變化指令可知較好的剩余飛行時(shí)間估算精度下，其制導(dǎo)過程中的導(dǎo)引彈道的曲率越小，所需最大過載越小。對(duì)比圖6和圖7可知，在文獻(xiàn)[10]估算精度下的攻擊時(shí)間誤差趨向于零的速度比二階估算精度下的要慢。這是因?yàn)檩^好的剩余飛行時(shí)間估算精度下，制導(dǎo)過程的攻擊時(shí)間誤差較為精確，導(dǎo)致制導(dǎo)過程中前期二階的加速度較文獻(xiàn)[10]的要小，而中期比文獻(xiàn)[10]的加速度要大，從而攻擊時(shí)間誤差更快的趨向于零。這也是表1中相同控制條件下，剩余飛行時(shí)間估算較為準(zhǔn)確所需的控制能量較多的原因。

4 結(jié)論

1) 攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律的原理是通過附加一個(gè)與攻擊時(shí)間誤差和剩余飛行時(shí)間估算精度有關(guān)的控制指令uF改變基準(zhǔn)彈道的曲率以形成新的彈道軌跡，從而實(shí)現(xiàn)攻擊時(shí)間的控制；

2) 在相同參數(shù)條件下，剩余飛行時(shí)間的估算精度決定了在攻擊時(shí)間控制制導(dǎo)律的攻擊時(shí)間可控范圍；

3) 當(dāng)剩余飛行時(shí)間的估算精度越高，制導(dǎo)過程中的加速度極值和前置角極值越小，則所生成導(dǎo)引彈道的性能也越好，所需的控制能量相對(duì)較大。

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