初探數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

江蘇省泰興市第四高級中學(xué) 孫建新

高中的所有數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)形結(jié)合思想是一種始終貫穿高中數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法。它的關(guān)鍵在于用代數(shù)的方法解決一些復(fù)雜的幾何問題，用簡便的幾何方法解決一些復(fù)雜的代數(shù)問題，這樣可以將代數(shù)和幾何這兩個(gè)完全不搭邊的名詞及其所代表的范疇進(jìn)行了有效的連接，可以讓學(xué)生在大腦意識形態(tài)里面建立起代數(shù)與圖形互相轉(zhuǎn)換的概念，重點(diǎn)培養(yǎng)解決問題方法的多樣性、簡便性、發(fā)散性。

一、用具體的圖形輔助復(fù)雜的代數(shù)問題

數(shù)形結(jié)合的思想方法的重要作用之一就是用具體的圖形輔助復(fù)雜的代數(shù)問題。用幾何的本質(zhì)來反映、解決復(fù)雜的代數(shù)問題是數(shù)形結(jié)合思想的重要運(yùn)用。我們用具體的數(shù)學(xué)例子來進(jìn)行說明。

例1 已知，若的最小值記作寫出g（t）的表達(dá)式。

解析：由于，所以拋物線的

對稱軸為開口是向上的。

1.當(dāng)時(shí)，（fx）在[t,t+1]上單調(diào)遞增，如圖1所示。

所以當(dāng)x=t時(shí)，f（x）最小，即

2.當(dāng)上遞減，

在上遞增，如圖2所示。

所以當(dāng)

3.當(dāng)在[t,t+1]上單調(diào)遞減，如圖3所示。

所以當(dāng)x=t+1時(shí)，f（x）最小，即f（x）

綜合①②③可知：

圖 1

圖 2

圖 3

例題總結(jié)：通過二次函數(shù)的圖象我們可以確定解題的思路，我們可以更加直觀、明確、清楚、清晰地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。但是需要我們特別注意的是，對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值問題，最重要的是應(yīng)該抓住對稱軸和所給定區(qū)間的相對位置關(guān)系進(jìn)行分類討論和仔細(xì)解決。第一步要確定的是對稱軸與對稱區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象確定在封閉區(qū)間的單調(diào)情況，然后再確定是在什么位置取得最值。

方法總結(jié)：對含有參數(shù)的問題利用數(shù)形結(jié)合思想。第一，解決這類問題時(shí)要準(zhǔn)確畫出大致的函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域（非常重要）。第二，用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個(gè)數(shù)是一種非常有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先做適當(dāng)調(diào)整，這樣以便于畫圖），然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖然后求解。第三，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)：首先，要準(zhǔn)確理解一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；其次，要恰當(dāng)設(shè)定參數(shù)，合理利用參數(shù)，建立相互之間的關(guān)系，然后做好轉(zhuǎn)化；再者，正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏，思路一定要清晰；最后，“數(shù)”與“形”緊密聯(lián)系起來，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化、困難的幾何問題代數(shù)化，便于問題得以解決。

二、用代數(shù)方法解決復(fù)雜的幾何問題

我們經(jīng)常用到的就是空間向量的代數(shù)式子將復(fù)雜不容易看見的、不容易解決的幾何問題進(jìn)行簡便化。

例2 如圖4所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)。證明：（1）AE⊥CD；（2）PD⊥平面ABE。

圖4

證明：AB、AD、AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝AB＝BC＝1，則P（0,0,1）。

（1） ∵∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，

∴C（12，32，0），E（14，34，12），

設(shè)D（0，y,0），由AC⊥CD，得即y＝ 233，則D（0，233，0），

∴＝（－12，36，0），又＝（14，34，12），

∴·＝－12×14+36×34＝0，

∴⊥，即AE⊥CD。

（2）方法一：

∵P（0,0,1），∴＝（0，233，－1），

又＝34×233+12×（－1）＝0，

∴⊥，即PD⊥AE，

＝（1,0,0），∴·＝0，

∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面AEB?！?/p>

方法二：

＝（1,0,0），＝（14，34，12），

設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為n＝（x，y，z），

則x＝0，14x+34y+12z＝0，

令y＝2，則z＝－3，

∴n＝（0,2，－3），

∵＝（0，233，－1），

顯然＝33n。

∵∥n，

∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE。

三、高考題型涉及數(shù)形結(jié)合思想的題型

（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運(yùn)用；

（2）數(shù)軸及直角坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用；

（3）函數(shù)圖象的應(yīng)用；

（4）數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式幾何意義的應(yīng)用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合。

四、在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí)，要遵循以下三個(gè)原則

①等價(jià)性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來的負(fù)面效應(yīng)；

②雙方性原則。既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，如果僅僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析容易出錯(cuò)，容易漏掉；

③簡單性原則。不要一味地為了“數(shù)形結(jié)合”而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，在具體運(yùn)用時(shí)，首先要考慮方法是否可行；其次是要選擇一個(gè)很好的突破口，合理設(shè)定參數(shù)、運(yùn)用參數(shù)、建立數(shù)形結(jié)合的關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；最后是要善于挖掘隱含的條件，準(zhǔn)確確定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與固定的二次曲線為最好的方法。

綜上所述，要想真正把數(shù)形結(jié)合思想徹底弄清楚，那么就需要多去練習(xí)這樣的題目，在大腦里面建立自己的做題體系。